La démonstration Flashcards
Une démonstration, des preuves
Démontrer et prouver ont un même but : établir la vérité d’une proposition. Toutefois ce sont deux opérations mentales différentes. Le verbe prouver dérive du latin probare qui signifie « approuver », « faire approuver ». Il s’agit donc d’éprouver, de mettre à l’épreuve une proposition qui, de prime abord, est douteuse. Et si la preuve réussi à faire approuver la proposition qu’elle appuie, elle ne constitue pas une garantie absolue contre toute erreur. La preuve, en réalité, ne démontre pas. Elle cherche à établir par des moyens indirects la vérité d’une proposition qui n’est pas directement évidente. Lorsqu’on parle de preuve, le pluriel est significatif. Qu’il s’agisse de l’existence de Dieu ou des faits humains, il est rare qu’une preuve suffise. Devant les tribunaux, l’accusation cherche à multiplier les preuves dans l’espoir que de probabilité convergente résultera l’approbation. En revanche, en mathématiques, une démonstration suffit à elle seule à établir un théorème, même si d’autres démonstrations du même théorème sont possibles. En outre, si la preuve nous assure que la réalité est conforme à la proposition qu’elle justifie, elle ne montre pas pourquoi il en est ainsi. C’est là le propre de la démonstration.
Démonstration et logique
Aux yeux des Grecs, la valeur des mathématiques est lié à leur côté logique, à la rigueur de leur démonstration. La logique suppose au départ il y a des propositions vraies et des propositions fausse, et qu’on ne peut raisonner sans suivre les principes d’identité (A est A ), et de non-contradiction (une proposition ne peut être en même temps vraie est fausse), du tiers exclu (une proposition et soit vraie, soit fausse : il n’y a pas de juste milieu possible). Aussi surprenant que cela puisse paraître, on peut donc à partir de prémisses matériellement fausses obtenir une conclusion vraie. Dans les « premiers analytiques », Aristote expose sa théorie du syllogisme. Un syllogisme est un raisonnement rigoureux qui, de deux prémices(La majeure et la mineure), tire la conclusion qui s’y trouvait implicitement contenue. Exemple : tous les mammifères sont des vertébrés. Or, les poissons sont des mammifères. Donc, les poissons sont des vertébrés. Ce raisonnement est valide, car il respecte la forme logique, bien que la seconde proposition soit matériellement fausse. La logique formelle d’Aristote a énoncé les règles qu’il faut appliquer pour raisonner correctement. La géométrie d’Euclide part d’un petit nombre de données premières : les définition (concepts fondamentaux de la géométrie), les axiomes (propriétés essentielles appartenant aux grandeurs ; exemple : « le tout est plus grand que la partie ») et les postulats (proposition concernant les êtres mathématiques proprement dit et affirmant que certaines constructions sont possibles; exemple : « toute droite peut être prolongée indéfiniment »). En revanche, de la même manière que, dans le syllogisme, la vérité matérielle de la conclusion est relative à celle de ses prémisses, dans la géométrie d’Euclide la vérité des propositions démontrées est relative à un point de départ hypothétique (axiomes et postulats). Partant de ces données, le géomètre en déduis logiquement d’autres propositions : théorème ou proposition principale ; lemme ou proposition secondaire ; corollaire ou proposition exprimant une conséquence directe d’un théorème établi. Si, dans le syllogisme, la conclusion est implicitement contenue dans la prémisse appelée « majeure » (déduction analytique), dans la géométrie d’Euclide toute proposition démontrée est synthétiquement construite à partir de prémisses en combinant plusieurs propositions intermédiaire (déduction synthétique). De plus, la déduction n’est pas la simple application d’un mécanisme pur car elle exige du géomètre l’invention de moyens termes ou les constructions susceptibles de permettre les combinaisons de concept utiles à la démonstration.
Y’a t’il une démonstration parfaite ? La démonstration mathématique
Dans la première partie du « discours de la méthode » (1641), Descartes écrit : « je me plaisais aux mathématiques, à cause de la certitude et de l’évidence de la raison. » La rigueur de la démonstration mathématique vient de ce que, chaque proposition étant lié à la précédente par une évidence rationnelle simple et facile, l’ensemble de la démonstration résulte d’une évidence de proche en proche qui entraîne la certitude absolue de la conséquence. Pour Descartes, les mathématiques constituent donc un modèle de pensée rigoureuse.
La méthode parfaite est une impossibilité
Les mathématiques, tout en étant un système de déductions rigoureuses, ne constituent pas une méthode parfaite. Cette dernière consisterait à pouvoir tout définir de tout démontrer, ce qui nous engagerait dans une régression a l’infini. Les premiers termes ne pourraient être définis que par d’autres termes qui, à leur tour, supposeraient d’autres termes. De même, les premières propositions, pour être établies, exigeraient d’autres propositions qui, a leur tour, en exigeraient d’autres. Il y a une limite au pouvoir de la raison qui ne peut tout définir ni tout démontrer. En philosophie, la démonstration est un dispositif discursif visant à rendre crédible une thèse. Elle consiste dans une argumentation logique et contraignante. Mais toute thèse repose sur des présupposés qui, eux, peuvent être ébranlé. Tout vérité, en philosophie est donc aussi relative à des prémisses.
Connaissance immédiate et connaissance déduite
La démonstration de l’impuissance de la raison dans son domaine même, celui de la démonstration mathématique, permet à Pascal d’affirmer qu’il y a au-delà de la raison une forme supérieure de certitude. C’est le cœur, qui a le sentiment immédiat du vrai. Les connaissances des premiers principes–espace, temps, mouvement, nombre–sont des connaissances du cœur et de l’instinct. Elles sont aussi fermes que celles que nos raisonnement nous donnent. Et c’est sur ces connaissances qu’il faut que la raison s’appuie et qu’elle y fonde tout son discours.
Les mathématiques sont-elles purement déductives? Les géométries non euclidiennes
La géométrie d’Euclide postule que par un point extérieur à une droite donnée, on ne peut mener qu’une seule parallèle à cette droite. Au début du XIXe siècle, les géométries non euclidiennes postulent, a l’inverse, que par un point extérieur à une droite donnée, on peut mener plusieurs parallèle à cette droite (Lobatchevsky), qu’il n’existe pas de droites parallèles (Riemann). Si les géométries sont sans rapport avec notre présentation familière de l’espace, elles n’en sont pas moins légitimes à partir du moment où elle n’impliquent aucune contradiction logique.
Axiomatisation des mathématiques
Dès lors, les mathématiciens, se méfiant des évidences, construisent l’édifice mathématiques en partant d’axiomes aussi simple et aussi peu nombreux que possible et en enchaînant les propositions en vertu des seules règles de la logique. Parallèlement à cette axiomatisation, se constitue une logique capable de formaliser le discours mathématique. La tâche du mathématicien est de déduire des théorèmes à partir d’axiomes conçus comme purement formels. Quant à la validité des démonstrations, elle ne repose plus que sur la structure des énoncés qu’elles contiennent et non sur la nature particulière de ce dont elles parlent. Comme le constate Bertrand Russell, « les mathématiques pures sont cette discipline où on ne sait pas de qu’on parle ni si ce qu’on dit est vrai ». Dès lors, la vérité en mathématiques ne consiste plus dans leur accord avec le réel mais dans l’adéquation de la pensée avec elle-même (cohérence interne). Elle se réduit à la vérité logique (vérité hypothético–déductive).
Entre intuition et déduction
Ce projet d’une axiomatisation totale des mathématiques s’est révélé intenable. En 1931, le mathématicien Kurt Gödel démontre le théorème d’incomplétude qui porte son nom. Ce théorème établit que tout système d’axiomes comporte une part d’intuition non explicitement formulée et que la pensée mathématique est impropre à une reconstruction entièrement logique. La formation à l’intérieur d’un système axiomatique d’un seul paradoxe contraint le mathématicien à introduire de nouvelles règles, à poser de nouveaux axiomes, extérieurs au système. Toute axiomatique reste ainsi ouverte. Par ailleurs, s’il est vrai qu’une fois les axiomes posés il est relativement aisé d’en déduire des théorème de manière logique et mécanique, qu’en est-il du choix des axiomes eux-mêmes ? Ce qui importe au mathématicien, c’est que le point de départ axiomatique soit fécond. Par quelle opération logique pourrait-il savoir à l’avance qu’un système d’axiomes conduira à des découvertes utile ? Il convient, en fait, de distinguer la recherche du mathématicien, faite d’intuition, de tâtonnements et l’exposition hypothético–déductive qui est effectuée après coup. L’axiomatique se réfère à des théories déjà acquises. Le formaliste pourra oublier les significations intuitives initiales de ses symboles. Elle n’en ont pas moins commandé le dessein de sa construction et, seules, elles en font comprendre les lignes maîtresses et les contours.
Définition
Le verbe démontrer dérive du latin demonstrare qui signifie « montrer en partant de ». On y retrouve le “de” de déduire. En ce sens, la démonstration est une sorte de preuve. Elle est une opération qui montre, qui éclaire. On peut d’ailleurs, en mathématiques, démontrer une proposition universellement admise dans le seul but de montrer. C’est la raison pour laquelle on parle aussi de démonstration de joie ou de colère, de démonstration d’un appareil, de démonstration militaire. Mais, en fait, hormis la philosophie, on ne parle guère de démonstration qu’en mathématiques. La démonstration suppose une démarche où tout est clair parce qu’elle ne contient que ce que la pensée y a mis par convention explicite. Une telle démarche n’existe, à strictement parler, que dans les mathématiques. Et si il y a parfois des démonstrations un physique, ce n’est possible que parce que ces sciences sont mathématisées. La démonstration est donc une opération mentale consistant à établir la vérité d’une proposition en la rattachant à des propositions évidentes ou déjà établies.
