capitolo 2, par 1 Flashcards
definizione punto regolare in E3
un punto P0 di dice regolare calcolato in t=t0 se la sua derivata prima è diversa da 0
quindi se gamma’(t0) diverso da 0 oppure se [x’(t0),y’(t0),z’(t0)] diverso da [0,0,0]
definizione di retta tangente
sia P0=gamma(t0) punto regolare la retta tangente alla curva in P0 è la retta passante per P0 la cui giacitura è data da gamma’(t0) diverso da 0
diverse equazioni della retta
Equazione vettoriale
P=P0 + landa gamma’(t0)
Equazione parametriche:
x= x(t0) + landa x’(t0)
y= y(t0) + landa y’(t0)
z= z(t0) + landa z’(t0)
Equazione frazionarie
x-x(t0)/x’(t0)=y-y(t0)/y’(t0)=z-z(t0)/z’(t0) ovviamente derivate diverse da zero e landa appartenente al campo dei reali
definizione piano normale in punto P0=gamma(t0)
è il piano passante per P0 e perpendicolare a retta tangente in P0
equazione cartesiana:
x’(t0)[x-x(t0)]+y’(t0)[y-y(t0)]+z’(t0)[z-z(t0)]=0
definizione di lunghezza
lunghezza ristretta ad un intervallo chiuso e limitato della [a,b] con a<b è uguale all’integrale da a a b su norma della derivata prima di gamma di to in dt (vedi immagine)
definizione coordinata ascissa curvilinea
la curva deve essere regolare in modo da avere la norma della derivata prima diversa da zero.
s=s(t)= integrale tra t e t0 della norma della derivata prima di gamma su xsi in dxsi, vedi immagine
rappresentazione parametrica normale
è possibile?
proprietà
la rappresentazione è possibile perché la derivata prima si s(t) è maggiore di zero, quindi s è strettamente crescente e la sua inversa è ammessa. immagine per vedere come diventa rappresentazione parametrica.
Proprietà:
il campo dei vettori tangenti è campo di versori
definizione di flesso
diremo che un punto P0=gamma(t0) è un flesso se è punto regolare e se i vettori derivato primo e derivato secondo sono paralleli, ovvero linearmente dipendenti
Teorema CNS per flesso
deve soddisfare 2 condizioni:
1) punto deve essere regolare
2) le derivate prime e seconde devono essere lin. dip. (ovvero ragno di loro matrice deve essere 1)
flessi in rappresentazione parametrica normale
in questo caso i flessi sono dati da un sistema che si può vedere dall’immagine. Rispetto al caso in due dimensioni qui landa(s) è uguale a 0.
teorema CNS curva sia rettilinea
HP: curva con tutti i punti regolari, curva contenuta in retta
TH: tutti punsi siano flessi
dimostrazione:
-> curva rettilinea quindi può essere compresa in asse x, questo vuol dire che delle equazioni parametriche l’unica diversa da zero è la componente x, quindi il rango della matrice delle derivate prime e seconde è uguale a 1, quindi tutti punti sono flessi
<- ho curva con tutti punti regolari, quindi è immersione locale quindi ammette rappresentazione parametrica normale, che non è altro che una derivata seconda, quindi pra integro 2 volte e ottengo un nuovo sistema vedi immagine. A questo punto so che derivate prime sono diverse da zero, quindi curva è continua in retta con equazioni uguali a immagine solo con landa al posto di s
forma esplicita
equazione retta tangente, piano normale, lunghezza, funzione ascissa curvilinea, flessi
immagine
forma implicita
esplicitare il collegamento con la forma esplicita
uso teorema della funzione implicita e ottengo intorno sufficiente piccolo U di x0 su asse x e 2 funzioni differenziabili y=y(x)=f(x) e z=z(x)=fi(x), queste soddisfano due proprietà: primo y0=y(x0) e z0=z(x0), secondo rendono le funzioni della curva identicamente nulle con x, y(x), z(x)
equazione reta tangente, piano normale, flessi
immagine
