cap 2, par 2 : piano osculatore e punti stazionari, archi differenziabili piani

Question 1

matrice di trasformazione in E3

Answer 1

matrice dove colonne sono derivate prime seconde e terze
imamgine

Question 2

definizione piano osculatore
equazione vettoriale, cartesiana

Answer 2

è il piano passante per P0 la cui giacitura é generata dai vettori derivato primo e secondo
eq. vettoriale:
P=P0 + Spam(gamma’(t0),gamma’‘(t0))
eq. cartesiana:
det della matrice che in immagine

Question 3

definizione di punto stazionario

Answer 3

P0, punto regolare, è punto stazionario se le sue derivate prime seconde e terze sono linearmente dipendenti, inoltre non deve essere punto di flesso

Question 4

Teorema CNS per punto stazionario

Answer 4

sono tre
1) P0 punto regolare -> derivate prime diverse dal vettore nullo
2) P0 non è punto di flesso -> rango derivate prime e seconde è 2
3) derivate prime seconde e terze sono flesso -> determinante dei tre vettori deve essere uguale a zero

Question 5

Teorema caratterizzazione punto stazionario

Answer 5

è una CNS
HP: curva sghemba, priva di punti di flesso e singolari, curva è continua
TH: tutti i suoi punti sono punti stazionari
dimostrazione:
-> posso assumere che curva sia contenuta in piano com z=0 e che abbia rappresentazione parametrica. Verifico che il determinante delle sue derivate prime seconde e terze sia uguale a zero(lo è perché il contributo dell’asse delle z è pari a zero), e da qui ho tesi
<- guarda immagine dove c’é spiegazione