cap 2 par 6 : equazione intrinseche di una curva algebrica

Question 1

definizione equazioni intrinseche di curva in spazio

Answer 1

torsione e curvatura sono equazioni intrinseche per spazio poiché riescono ad classificare completamente una curva
immagine con 9 equazioni

Question 2

Teorema classificazione curve sghembe

Answer 2

HP: J aperto e connesso, che contenga 0
k(s) e tao(s) funzioni c infinito differenziabili su J con K(s)>0
per ogni punto P0 appartenente a E3
per ogni terna ortonormale destrosa (t0,n0,b0) con b0=t0 ^ n0
TH: esiste ed è unico l’arco differenziabile gamma di E3 con rappresentazione parametrica normale delta(s): J -> E3 con seguenti proprietà
delta(0)=P0
t(0)=t0, n(0)=n0, B(0)=b0
in ogni punto P(s)=dleta(s) ha curvatura K(s) e torsione tao(s)

Question 3

dimostrazione teorema di classificazione curve sghembe

Answer 3

le 9 funzioni scalari incognite scalari devono soddisfare le 9 equazioni differenziali. Scelgo come base (t0,n0,b0)= tre vettori canonici.
Le 9 funzioni scalari soddisfano il primo criterio ovvero a terne, in 0, sono uguali ai vettori canonici.
per teoria dei sistemi di equazioni differenziali esiste ed è unica la 9-ulpa alfa1(s)…. che soddisfi 9 equazioni differenziali e le condizioni iniziali.
Allora esiste ed é unica la curva individuata dalla rappresentazione parametrica normale così fatta vedi immagine

Question 4

Teorema CNS elica circolare

Answer 4

HP: curva differenziabile contenuta in elica circolare
TH: curvatura K>0 e torsione tao diversa da zero, tutte e due costanti