Cap 1, Par 5 : punti di flesso, archi rettilinei

Question 1

definizione di punto di flesso

Answer 1

P (di arco differenziabile piano) è punto regolare e in una rappresentazione parametrica i vettori derivato secondo e primo sono lin. dip.

Question 2

regola cambiamento di derivata seconda

Answer 2

immagine

Question 3

matrice di trasformazione tra delta, derivata primo e secondo, e gamma, derivata primo e secondo
caratteristiche

Answer 3

immagine
1) CNS per dipendenza o indipendenza dei vettori di gamma è lineare dipendenza o indipendenza dei vettori di delta
2) matrice trasformazione è regolare, det diverso da 0

Question 4

primo caso particolare: forma esplicita
CNS per flesso

Answer 4

CNS è avere f’‘(x) = 0

Question 5

relazione tra massimo e minimo e flesso
sono 3

Answer 5

1) f’(x)=f’‘(x)=..f^(2R-1)(x)=0 e f^(2R)(x)>0 supponendo R maggiore o uguale a 2. Dato P=(x,y) punto appartenente alla curva allora y=f(x) sarà punto di massimo relativo. (stesso discorso lo posso fare per il minimo)
2) se f’(x)=f’‘(x)=…=f^(2R)(x)=0 e f^(2R+1)(x)diverso da 0 supponendo R maggiore o uguale a 2. Dato P=(x,y) punto appartenente alla curva allora esso sarà punto di flesso orizzontale
3) f’(x) diverso da 0, f’‘(x)=…=f^(R)(x)=0, f^(R+1)(x) diverso da 0, supponendo R maggiore o uguale a 2. Dato P=(x,y) punto appartenente alla curva, sarà flesso obliquo

Question 6

secondo caso: forma implicita
CNS

Answer 6

per teorema della funzione implicita , il det é detto orlato di Hessiana

Question 7

rappresentazione parametrica normale dei flessi

Answer 7

det della matrice composta dai vettori derivati primi e secondi sarà uguale a zero solo per determinati valori. funzione che ci dice questi valori é landa(s)[somma della derivata prima x e y rispetto ad s elevate entrambe alla seconda]=0.
Ricordiamo che s è un parametro.

Question 8

Teorema caraterizzazione

Answer 8

arco differenziabile piano con rapp. para allora i flessi sono quei punti la cui coordinata ascissa curvilinea annulla entrambe le derivate.
no dim

Question 9

teorema caraterizzazione CNS

Answer 9

HP: curva che é immersione locale, curva è rettilinea
TH: se solo se tutti punti sono flessi
Dim:
-> essendo rettilinea allora mi metto in riferimento cartesiano e includo la curva in asse x, ora sapendo che la derivata prima della funzione deve essere diversa da zero, per HP, ho eq parametrica del tipo x=x(t) e y=0 e poi ho solo derivata prima e seconda della x quindi il determinante è sempre uguale a zero, quindi tutti punti sono flessi
<- curva con immersione locale, quindi posso prendere rappresentazione parametrica normale x=x(s) e y=y(s).
Tutti i punti sono flessi quindi derivate seconde sono uguali a zero ora interando due volte ottengo che x(s)= a+bs e y(s)=c+ds osserviamo che la somma del quadrato delle derivate prime è uguale a 1 quindi anche b^2+d^2=1 allora posso dire che la coppia è diversa da quella nulla e trovo facilmente una retta(r) con la stessa equazione parametrica [x=a+landa b e y= c+ landa d] tale per cui la curVA APPARTENGA ad r.