cap 3 par 3 : applicazioni geometriche del contatto

Question 1

Teorema attraversamento

Answer 1

HP: due curve differenziabili,
P0 punto regolare per entrambe le curve,
due curve hanno contatto esattamente di ordine k
TH: le due curve (non) si attraversano se k è (dispari) PARI
dim
scelgo riferimento cartesiano E2 in modo che P0 sia origine.
Posso supporre che in intorno di x0=0 le curve abbiano forma esplicita y=f(x) e y=psi(x), una per ogni curva.
la funzione risultante è fi(x)=f(x)-psi(x) ora faccio sviluppo in serie di Taylor di fi in intorno x0 (che è sufficientemente piccolo)
per ipotesi fino alla derivata di ordine k la funzione risultante è uguale a zero
da qui vedi immagine

Question 2

teorema retta tangente per contatto

Answer 2

HP: curva differenziabile piana
P0 punto regolare in curva piana
TH: retta tangente a curva in P0 è retta con un contatto, oppure retta che ha contatto di almeno ordine 1, in P0
dim
per costruzione
immagine

Question 3

teorema Flessi per contatto CNS

Answer 3

HP: curva differenziabile piana
P0 punto regolare
P0 flesso
TH: retta tangente e curva a P0 e curva differenziabile abbiano in P0 contatto di almeno ordine 2
dim
per costruzione vedi immagine

Question 4

Teorema cerchio osculatore per contatto

Answer 4

HP: curva differenziabile piana
P0 é regolare e non di flesso
TH:cerchio osculatore, é cerchio con contatto almeno di ordine 2 in P0
dim
per costruzione vedi immagine

Question 5

Teorema parabola osculatrice con contatto

Question 6

Teorema piano osculatore on contatto