Cap. 1, Par 1: archi piani differenziabili Flashcards
definizione di differenziabile
mappa continua da I a E2 se le funzioni x(t) e y(t) sono continue e derivabili per tutti gli ordini e su tutto l’intervallo I
arco parametrico differenziabile
funzione diferenziabile, espressa parametricamente
CNS per avere 2 funzioni (gamma e delta) C-equivalenti
che esista omeomorfismo fi:I–J tale che gamma:delta composto fi se e solo se delta: gemma composto fi^(-1)
caratteristiche diffeomorfismo
1: deve essere biettiva
2: deve avere inversa continua
3: deve avere sia funzione che inversa differenziabili
teorema caratterizzazione dei diffeomorfismi fra intervalli della retta reale (CNS)
hp: intervallo è diffeomorfismo
TH: retta strettamente crescente o decrescente
DIMOSTRAZIONE:
derivata di tao(t) diversa da zero, quindi la derivata può essere o maggiore di zero(allora strettamente crescente) o minore di zero(allora strettamente decrescente) oppure avere punti in cui è positiva e punti in cui è negativa, allora per teorema del valor intermedio di Darboux avremo punto in cui derivata è uguale a zero. Assurdo.
definizione arco differenzibile piano
classe di equivalenza di archi parametrabili c-equivalenti
vettore derivato primo con rappresentazione parametrica dell’arco
derivata parziale delle singole componenti moltiplicate per vettore canonico relativo e sommate tra loro
legge di trasformazione dei vettori derivato primo
derivata prima di delta(T)= 1 su derivata prima di tao(T) moltiplicata per derivata prima di gamma(t)
definizione punto regolare
punto con derivate prime non nulle, ovvero derivate prime delle equazioni parametrali sono diverse da zero, o non lo sono contemporaneamente
proprietà geometriche di arco differenziabile
1) punto regolare
definizione punto singolare
punto non regolare, ovvero derivate prime nulle
immersione locale
tutti punti dell’arco sono regolari
immersione
se è immersione locale ed sua rappresentazione parametrica è iniettiva
