ВОПРОС 17

Question 1

Момент инерции стержня

Answer 1

(страница 43)
Разобьём стержень на элементарные участки длиной dr. Масса такого участка dm = m/N,
N - кол-во участков
N = l/dr => dm = mdr/l
l/2 l/2
I = 2∫m/l dr = 2m/l∫ r²dr = 2mr³/l3 |l/2 =
0 0 |0
= 2m/l (l³/(3 • 8) - 0) + 2ml³/l24 = ml²/12

I = 1/12 (ml²)

Question 2

Момент инерции цилиндра

Answer 2

Разобьём цилиндр на концетрические полые цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r + dr

Момент инерции каждого такого цилиндра будет равен dI = r²dm, его объем dV = 2πrhdr считается как объем прямоугольной фигуры, т.к. цилиндр пустотелый (его надо разрезать)

dm = ρdV = ρ2πrhdr
R R
I = ∫r²ρ2πrhdr = 2πρh∫r³dr =
0 0
= 2πρhr⁴/4 |R = 2πρh(R⁴/4 - 0) =
|0
= 2πρhR⁴/4 = πρhR⁴/2 = VρR²/2 = mR²/2

I = mR²/2