확률과 통계

Question 1

확률개념에 대한 역사적 발생 맥락

Answer 1

확률의 개념은 평소 도박을 즐기던 카르다노나 갈릴레이 연구에서 그 단서를 찾아볼 수 있으나 본격적인 연구가 진행된 것은
유명한 도박사 중의 한 사람인 드메레의 도박 문제를 해결하기 위한 파스칼과 페르마 간의 서신왕래에서 나타난다.
파스칼은 그 당시 유명한 수학자인 페르마와 서신을 교환하며 이 문제에 대해 논의하였는 데 여기서 확률론의 기원을 찾을 수 있다.

Question 2

대수의 약법칙(큰 수의 법칙)

Answer 2

성공과 실패의 두 가지 가능성을 가정하는 베르누이 실험에서 관찰 횟수를 늘리면 미지의 확률에 대한 개연적 확실성을 얻을 수 있다는 내용

Question 3

중심극한 정리

Answer 3

이항분포에서 시행횟수가 무한히 커지면 정규분포에 가까워진다는 것

분포를 알 수 없는 일반적인 변량 조차도
거대한 분포를 이루면 정규분포에 가까워진다.

정규분포에 대한 성질을 세밀하게 분석하면 대부분의 확률현상을 이해할 수 있다.

Question 4

직관과 확률교육(피시바인)

Answer 4

확률에 대한 구체적인 교육을 받기 이전에 학생들이 발달시키는 직관은 확률개념을 이해하는 데 방해가 되며 이를 세밀하게 고려하는 것이 확률 교육에서 매우 중요하다.

• 확률 개념을 이해하기 위해서는 자연스러운 사고과정을 거부하는 태도가 필요하다.
• 확률 교육을 통해서는 무엇보다 귀납적 사고의 가치와 역할을 가르쳐야 하며, 이미 발달시킨 직관의 한계를 이해하고 수정하여 균형을 추구하는 것이 중요하다.

Question 5

판단전략과 확률교육

Answer 5

대표성 전략
정보의 이용가능성 전략
조정과 고정의 전략
결과중심 판단전략
도수에 관한 정보보다는 인과적 정보에 주목하여 판단

Question 6

전체 교사의 3분의 1이 여자라고 하면, 세 명의 교사 중 한 명은 반드시 여자라고 기대한다.

동전 6개를 던지면 HHHTTT 보다는 HTTHHT 로 나타날 가능성이 더 높다고 생각하는 경향을 가리킨다.

Answer 6

대표성 전략
:표본이 크기에 상관없이 모집단과 유사할 것을 기대하거나,
표본을 추출하는 과정에서 무작위성을 반영하기를 기대하는 것이다.

Question 7

최근에 교통사고를 목격한 경험이 있는 사람은 그렇지 않은 사람보다 교통사고 확률에 대해서 훨씬 높게 추측하는 경향이 있다
a로 시작하는 영어단어가 a가 세 번째에 오는 단어보다 많을 것이라고 생각한다.

Answer 7

정보의 이용가능성 전략
:판단을 내릴 때 개인적으로 이용할 수 있는 정보에 영향에 받는다.
정보를 떠올릴 수 있는 정도, 곧 개인적으로 그 정보를 얼마나 이용 가능한가 하는 것이 확률 추정에 영향을 주는 것이다.

Question 8

학생들에게 987654321을 어림하면? 과 123456789을 어림하면? 이라는 문제를 제시했다고 하자. 많은 학생들이 앞의 경우에는 평균 250, 뒤의 경우에는 평균 512를 답으로 제시했다. 처음에 큰수에서 시작하는가 작은 수에서 시작하는가에 따라 다르게 추측한다는 것을 알 수 있다.

Answer 8

조정과 고정 전략

: 최종적인 답을 얻기 위하여 최초의 값을 조정하되, 초기값을 어떻게 정했는가에 따라 다른 값을 얻는다.

Question 9

비가 올 확률이 60%라고 하면 비가 올 것으로, 40%라고 하면 비가 오지 않을 것으로 단정 지어 생각한다.
이때 판단의 기준점은 50%고, 어떤 사건의 확률이 50%를 초과하면 확실합 긍정으로 50%미만이면 확실한 부정으로 생각하게 된다.
일어날 확률이 50%인 사건의 경우에는 그 결과를 ‘모른다’또는 ‘결정할 수 없다’라고 표현한다.

Answer 9

결과 중심 판단 전략

: 많은 사람들은 일어날 가능성이 얼마나 되는가를 추정하기 보다는 특정한 결과가 실제로 일어날 것인가 여부를 결정하는 것, 곧 결과가 어떻게 될 것인가를 판단하여 결정하는 경향이 있다.

Question 10

비가 올 확률 70%에 대해서 이것이 도수에 관한 정보가 아니라 습도가 70% 또는 하늘에 구름이 70%라고 추측한다.

Answer 10

도수에 관한 정보보다는 인과적 정보에 주목하여 판단

:특이한 모양의 주사위를 던진 후 도수를 제시하고, 어느 면이 가장 많이 나타날 것인가를 예측하도록 하였더니, 학생들은 제시된 자료보다는 주사위의 모양 또는 던지는 사람의 행동에 기초하여 판단한다.

Question 11

패러독스와 궤변의 교육적 이용

Answer 11

확률과 관련된 패러독스는 모호한 확률적 상황에 대한 분석하는 것과

확률의 직관과 추론의 특성을 지도하는 데 도움을 준다.

패러독스나 궤변은 직관적 추론과 형식적인 수학적 추론 사이의 인지적 갈등을 나타내는 것이므로 패러독스에 대한 논의는 학생의 개념적 반성을 촉진한다.

Question 12

확률적 사고 수준

Answer 12

비확률적 사고 수준

원시 확률적 사고 수준

발생 단계의 확률적 사고 (중학교)

실제적인 확률적 사고 (고등학교)

교사가 이러한 수준을 이해하고 수업을 이끌어간다면 확률직관의 원시적 형태나 오개념을 미리 예측하고 고려하여 수준상승을 이끌 수 있을 것이라고 주장한다.

Question 13

확률적 사고- 비확률적 사고 수준

Answer 13

비확률적 사고 수준
:신념에 근거하여 판단하고 단일 결과만을 예측하고 확인한다.
우연 현상이나 무작위 사건에 대하여 주목하지 않으며, 주목한다고 해도 잘 이해하지 못한다.

Question 14

확률적 사고 -원시확률적 사고 수준

Answer 14

원시 확률적 사고 수준
:대표성, 이용 가능성 등의 판단 전략을 초보적이고 직관적으로 사용하는 수준이다.
과거의 경험에 기초하여 판단하며, 우연이나 무작위 사건의 의미를 불완전하게 이해한다.

Question 15

확률적 사고 - 발생단계의 확률적 사고

Answer 15

발생 단계의 확률적 사고 (중학교)
:간단한 문제상황에 수학적 확률 또는 통계적 확률 개념을 적용하는 단계를 의미한다.
신념과 수학적 모델 간에는 차이가 있음을 인지하기도 한다.
확률 교육을 받은 초기 단계에 도달하는 수준으로 볼 수 있다.

Question 16

확률적 사고 - 실제적인 확률적 사고

Answer 16

실제적인 확률적 사고 (고등학교)
:우연에 대한 여러 수학적인 관점, 곧 통계적 확률과 수학적 확률 등의 의미를 이해하며, 이들 사이의 차이점을 알고 적절하게 적용하는 능력을 가지는 단계이다.
불확실한 상황에서 판단할 때 수학적인 확률 개념을 적용하고 그 판단의 전제조건과 제한점도 이해하는 수준이다.

Question 17

확률적 사고 발달 수준 - 표본공간 개념의 발달 수준

Answer 17

1수준 주관적 사고 : 단일 사건의 경우를 불완전하게 나열

2수준 이행기 : 단일 사건의 모든 경우를 나열, 제한적이거나 체계적이지 않은 전략을 사용하여 복합 사건의 모든 경우를 나열

3수준 비형식적 양적 사고 : 부분적으로 전락을 활용하여 복합 사건의 모든 경우 나열

4수준 수치적 사고 : 둘 또는 세 사건이 복합된 사건의 경우를 전략에 의하여 나열

-확률 교육의 주요 내용 요소에 대해 네 수준을 사전에 설정해보거나, 학생들의 학습 과정을 이 수준에 비추어 이해한다면 수업을 계획하고 진행하는 데 유용할 것이다.

Question 18

통계적 사고

Answer 18

자료의 변이성이 우리 주변에 그리고 우리가 행동하는 모든 것에 존재하고 있음을 인식하는 사고 과정이다.

통계적 사고의 발달
통계적 사고는 자료의 수집, 설계, 탐색, 해석을 거치는 가운데 발전되며 이 과정은 상황에 의존하여 진행된다.

Question 19

조사 활동 과정에서 주로 활용하는 기본적인 통계적 사고

Answer 19

1) 자료의 필요성 인식
2) 수량화
3) 자료의 변이성 탐구
4) 통계 모델에 따른 추론
5) 통계와 맥락의 통합

Question 20

탐색적 자료 분석 관점에 따른 통계 교육 - 탐색적 자료 분석

Answer 20

간단한 계산과 간단한 그림에 대한 해석에 기초하여 자료 이면에 들어 있는 의미를 파악하는 시도

-자료를 표로 정리하고, 자료의 추세와 분포에 주목하는 것은 탐색적 자료 분석의 주요한 방법이다.

목표 : 자료의 구조와 특징을 있는 그대로 제한 없이 탐색하는 것이며, 결론은 자료에서 관찰된 것에 기초한 비형식적인 것

Question 21

저항성

Answer 21

일부 자료가 파손되어도 자료 전체에 대하여 비교적 합리적인 해석을 내릴 수 있어야 한다는 의미

-만약 설문 응답자가 부주의하게 자료를 기입한다면, 예를 들어 천 원 단위로 기입해야 할 것을 만 원 단위로 기입한다면 평균은 큰 영향을 받으나 중앙값은 그다지 영향을 받지 않는다.
그러므로 탐색적 자료 분석의 관점에서는 평균보다 중앙값이 더 선호된다. 그러므로 학교 수학에서도 중앙값에 더 주목해야 하는 상황을 이해하도록 지도해야 한다.

Question 22

그래프의 현시성

Answer 22

자료를 그래프로 나타내는 것이 다양한 해석을 가능하게 한다는 것이다.

Question 23

프로이덴탈 - 확률과 통계 교육의 문제

Answer 23

1. 현실과 단절된 추상체계로 다룬다.
2. 수량적인 자료로 가득한 계산패턴 체계로 다룬다.
   - 아동은 상황에서 문제를 인식하는 것을 배워야 하며, 이것이 가능하려면 아동 스스로 현실감을 느끼고 문제 파악에 적극적으로 참여해야 한다는 것이다.

프로이덴탈의 관점을 반영한 학습 내용을 개발
— 여러 통계 개념의 역사를 조사한 후 아동의 심리를 고려한 학습 상황을 개발하고 적용하였다.

Question 24

통계적 소양 교육

Answer 24

통계교육의 초점은 고립된 지식보다는 통계적 소양에 놓여야 한다.

지식요소 : 기본소양, 통계적 지식, 수학적 지식, 맥락적 지식, 비판적 질문

성향 요소 : 신념과 태도, 비판적 자세

통계적 소양의 교육을 통해, 비판적이고 합리적인 추론의 한 가지 도구로 통계를 배우도록 할 필요가 있다.

Question 25

기본소양

Answer 25

말하고, 읽고, 쓰고 , 간단히 계산하는 능력

Question 26

통계적 지식

Answer 26

학교 수학의 통계 단원에서 다루는 내용,

곧 자료의 중요성과 의미, 자료 수집 또는 자료 생성 방법, 표와 그래프 관련 지식, 대푯값과 산포도, 표본조사와 표집오차, 확률 관련 지식, 확률변수, 확률 분포, 통계적 추정 관련 지식

Question 27

수학적 지식

Answer 27

통계적 지식을 다룰 때 활용하는 내용으로, 수 감각, 사칙계산, 비와 비율, 방정식과 부등식, 미분과 적분 등을 뜻한다.

Question 28

비판적 질문의 예

Answer 28

수집한 자료에 적합한 통계값을 제시하였는가?

확률적 판단을 어떻게 내렸는가? 신뢰할 만한 자료를 근거로 확률을 추정하였는가?

전체적으로 합리적인 주장을 제시하였으며 자료가 그 주장을 뒷받침하고 있는가?

Question 29

신념과 태도

Answer 29

통계 관련 내용, 행동, 주제 등에 대한 느낌과 관련된다.

-학교에서 복잡한 계산과 공식 위주로 통계를 배웠다면 통계에 대한 부정적인 태도와 신념을 발전시킬 가능성이 매우 높다.
이와 달리 다양한 정보를 통계적으로 표현하고 해석하는 것이 왜 필요하고 어떤 점에서 흥미로운지를 이해하는 식으로 통계를 배운다면, 통계에 대한 긍정적인 태도와 신념을 발전시킬 수 있다.

Question 30

비판적 자세

Answer 30

통계와 더불어 주어지는 정보를 무조건 거부하거나 수용하지 않고 비판적으로 검토하는 태도를 가리킨다.

Question 31

2-1=1

자연수의 범위에서는 큰 수에서 작은 수를 뺄 수 있다.

Answer 31

대상수준 : 구체적인 수학적 대상에 직접 관여하는 수준

메타수준 : 대상수준보다 상위에 있는 것으로, 수학적 대상들을 파악하고 조절하는 포괄적인 활동에 관련되는 수준

Question 32

메타수준 학습에 의한 탈배경화와 탈개인화

Answer 32

-메타수준에서의 학습은 대상수준의 학습을 반성하도록 촉진함으로써 이루어진다.

-메타수준에서의 학습을 하는 것이 곧 탈배경화와 탈개인화를 적절히 수행하는 것이고,
그렇게 학습한 내용은 필요할 때 얼마든지 회상하거나 다시 유도하여 활용할 수 있게 된다.

-개념과 원리에 대한 깊이있는 이해
\+언제 그 연산을 수행할 수 있는 가 - 제한 조건 이해
\+언제 조건이 적용될 수 있는 지 이해
\+왜 정리가 성립하는 지 이해
\+언제 어떤 법칙을 적용해야 하는 가에 대한 이해

예) 풀이가 성립하는 이유를 설명하시오.

Question 33

대푯값 관련 교과서 과제의 변형의 수업사례

Answer 33

주어진 자료의 대표값을 구하는 것이 아니라 조건을 제시하고 그 조건에 맞는 자료 집합을 생성하도록 한다.

예) 7개의 수로 이루어졌고, 최빈값이 5, 중앙값이 6, 평균이 7인 자료집합을 제시하여라.

• 가역적 사고 촉진, 메타수준의 학습을 유도하여 탈배경화, 탈개인화 촉진
• 다양한 표상을 개발하여 사용
• 과제중심평가를 실행하는 데에 매우 적합한 과제

Question 34

평균

Answer 34

실생활에서 자료의 모든 값을 사용하여 대푯값을 정해야 하는 경우에 사용

예)학급의 수학성적 평균

Question 35

중앙값

Answer 35

: 자료를 작은 값에서 부터 크기순으로 나열할 때, 한 가운데 놓이는 값

자료에 극단적인 값이 있어서 극단적인 값이 대푯값에 영향을 미치지 않게 해야하는 경우에 사용

예)학생들의 용돈에 대한 대푯값

Question 36

최빈값

Answer 36

: 자료 중 가장 많이 나오는 값

선호도, 지지도, 인지도 등을 측정하여 대푯값을 정해야 하는 경우에 사용
(변량이 중복되어 나타난 자료, 수로 나타낼 수 없는 자료의 대푯값으로 유용)

예)학습의 반 티셔츠 색깔을 정하기 위해 학생들이 가장 좋아하는 색을 정해야 하는 경우, 규격화된 경우, 신발사이즈.

대부분의 자료가 서로 다른 값을 가지면 부적절

Question 37

통계적 확률의 가치를 높이기 위해서는

Answer 37

수학적 확률이 정의되지 않는 사건에 대해 통계적 확률을 구해보는 상황을 제시.

학생들은 통계적 확률이 상대도수의 극한으로 정의되므로 어떤 상황에서나 극한값이 존재한다고 가정
그러나 실제로는 무한번의 시행 또는 관찰을 할 수 없으므로 신뢰구간에 의해 확률을 다루게 된다.
윷과 같이 대칭성을 만족하지 않는 소재를 이용하면 통계적 확률이 실제적인 현상을 다루는 데 활용되는 정의이지만, 신뢰구간에 의해 다루어질 수 밖에 없음을 인식시키는 데 도움을 줄 수 있다.

Question 38

공학도구의 활용 - 유의점

Answer 38

• 분명한 필요성이 있을 때 사용해야 한다.
• 공학적 도구의 제한점을 충분히 파악하여 학습에 장애가 생기지 않도록 해야한다.
• 공학도구를 활용한 활동들을 대상으로 반성적으로 사고함으로써 탈배경화와 탈개인화가 진행되도록 이끌어야 한다.

Question 39

수학적 확률의 취약점 vs 통계적 확률의 취약점

Answer 39

수학적 확률의 취약점

1) 어떤 시행에서 사건 A가 일어날 가능성을 수로 나타낸 것이 사건 A가 일어날 확률로 정의하고 있는데, ‘일어날 가능성=확률’로 정의하고 있는 것은 순환적 정의에 불과하다.
2) 각각의 일어날 가능성이 동등할 때만 수학적 확률을 정의할 수 있다.

통계적 확률의 취약점

1) 우연 실험의 통제 : 현실에서 같은 조건의 실험을 반복하는 것이 쉽지 않다.
2) 상대도수 극한의 존재성에 대한 의문 : 현실에서는 시행을 한없이 크게 할 수 없다.

Question 40

조건부확률 지도방안

Answer 40

1. 일상적으로 사용하는 표현 중, ‘한다면 …일 것이다.’, ‘~의 가능성은 …의 영향을 받는다.’, ~은 …에 달렸다.’,’~와 …는 관련이 없다.’와 같은
   조건문에 주목하고 그 의미와 형식을 파악하게 한다.

2.조건에 의하여 확률이 수정되는 과정으로 조건부확률을 지도한다.
공식으로 나타내어지는 대상일 뿐만 아니라 사전확률이 사후확률로 변화하는 과정이라는 것을 이해하게 한다.

3. 조건사건이 반드시 먼저 일어나는 사건일 필요가 없다는 것을 분명히 하고, 시간 순서와 조건관계는 관련이 없다는 것을 이해하게 한다.
4. 조건관계를 인과관계와 구분하여 지도한다. 이를 위해 결과가 조건이 되는 상황을 제시하고, 인과관계가 전혀 포함되지 않은 조건관계를 제시하여 오개념을 수정할 수 있도록 지도한다.