프로이덴탈

Question 1

교수학적 현상학

Answer 1

수학적 개념과 구조라는 본질을 그 본질이 조직의 수단으로 작용하는 어떤 현상과 관련하여 기술하고 교수학적으로 적용하는 것.

Question 2

수학화

Answer 2

현실을 수학적 수단인 본질로 조직하는 과정이며,

수학화 과정은 현상과 본질의 교대 작용에 의한 사고 수준 상승의 불연속적 과정이다.

Question 3

수평적 수학화

Answer 3

트래퍼스 - 현실 내의 문제 장면을 형식적인 수학적 처리가 가능하도록 변환하는 것.

프로이덴탈 - 현실적인 것으로 체험된 세계에서 좀 더 추상화된 기호의 세계로 이행되는 것.

Question 4

수직적 수학화

Answer 4

트레퍼스 - 수학적 경험이 축적되면서 좀 더 높은 수학적 처리가 가능하도록 하는 것

프로이덴탈 - 추상화된 기호의 세계에서 기호들이 계속 형성되고, 이해되고 반성되는 것

Question 5

응용적 수학화

Answer 5

추상화된 개념, 원리, 법칙 등을 현실적 문제에 응용하여 수학 본질의 가치를 인식하고 활용가능성을 확장한다.

Question 6

수업에서의 수학화 과정 4단계

Answer 6

1단계 : 현실 세계의 문맥을 직관적으로 탐구하는 단계
- 문제의 수학적 측면들은 알아내고 규칙성을 발견하는 것

2단계 : 현실 상황으로부터 수학적 개념을 추출해내는 수평적 수학화
- 반성의 과정이 필수적으로 이루어질 것

3단계 : 형식화와 추상화가 중심인 수직적 수학화 단계
- 수학적 개념에 대한 기술과 엄격하고 형식적인 정의가 뒤따름

4단계 : 개념을 새로운 문제에 적용함으로써 개념을 강화하고 일반화하는 응용적 수학화의 단계

서술시
1단계 : 직관적 탐구단계 - 규칙성 이해
2단계 : 수평적 수학화 단계 - 수학적 개념이 무엇이었는지 적어야 함 - (다각형의 대각선의 개수)에 대한 수학적 개념을 이해한다.
3단계 : 수직적 수학화 단계 - 엄격하고 형식적 정의가 무엇인지 적어야 함 - ( 다각형의 대각선의 개수)에 대한 엄밀한 정의를 하게 된다.

Question 7

실행수학

Answer 7

수학화 활동에 초점을 둔 수학

Question 8

반교수학적 전도

Answer 8

수학의 연역적 체계만을 중시하고 그것을 초등화하여 지도하는 것으로 단지 본질을 학습자에게 부과하는 방식 — 학생이 수학화하는 경험을 할 수 없다.

Question 9

프로이덴탈의 수학화 교수학습 원리

Answer 9

1. 안내된 재발명의 원리
2. 반성적 사고의 원리
3. 현실과 결부된 수학의 원리
4. 심상의 원리
5. 전형적인 보기를 통한 개념지도

Question 10

수학화 교수 학습 원리 - 안내된 재발명 방법

Answer 10

아동의 정신적 발달은 역사를 그대로 재현하는 것이 아니다.

아동의 현실을 출발점으로 해서 이미 발명된 수학을 아동 스스로 개선된 방법에 의해서 재창조하자는 것

재발명 방법이 가능하기 위해서는 사고실험이 중요하다.
서술시 - 사고실험 수업장면, 수업내용 관련해서 서술에 포함시켜야 함.

Question 11

역사발생적 원리

Answer 11

수학을 완성된 생산품으로 제공하는 것이 아니라 수학을 발생되는 것으로 보고 수학이 발생해온 과정을 경험하게 하기 위해 수학적 개념의 원형이나 그 개념에 들어있는 아이디어를 활용하는 교수학습 원리.

여러 가지 내용 사이의 지도 순서를 인류에 의해 처음 발견되었던 순서대로 정해야 한다는 원리
+ 발생적 원리는 수학적 개념을 발생되는 것으로 보고 그 발생을 수업 과정에 재실행하는 것을 의미

Question 12

사고실험(두 가지 장면(의의) + 역할)

Answer 12

재발명 방법을 가능하게 하기 위한 방법

-수업장면과 관련된 사고 실험은, 한 학생 또는 한 그룹의 학생들을 생각하면서 머릿속에서 가능한 반응을 생각하고 그에 대응하면서 가르치는 교사나 교과서 저자들의 태도를 의미한다.
(의의 : 학생들의 반응을 생각하면서 그에 따라 가르칠 태도를 결정할 수 있다.)

-수업내용과 관련된 사고 실험은, 수학 개념을 발명했거나 수학적 방법을 개선한 수학자의 마음속에서 어떤 일이 일어났는지를 추측하는 것을 의미한다.
(의의: 개인 수학자에 의해 발명된 수학적 방법을 통해 수업내용을 개선할 수 있다.)

사고실험의 역할: 교사의 입장에서 학생들의 재발명을 돕기 위해 학생의 입장과 반응을 고려함과 동시에 자신의 입장에서 개인 수학자의 마음에 대해 추측하는 것이다.

Question 13

수학화 교수학습 원리 - 반성적 사고의 원리(수준의 원리)

Answer 13

수학화 활동에서 수준의 비약을 가능하게 하는 중요한 정신적 활동을 반성적 사고에 두었다. 반성적 사고란 자신의 행동과 사고를 의식화해서 객관적으로 분석하는 과정이다.

-반성적 사고를 통해 학습자로 하여금 자신의 사고와 행동에 대해 당연하다고 생각했던 부분에 대해 의문을 제기하게 함으로서, 학습자 자신의 사고와 행동을 의식하고 확실성을 추구하는 수학적 태도를 길러주는 것이 중요하다.

서술시 : (중2때 배운 유리수 개념)을 다시 한번 생각해보도록 하는 발문을 통해 / 반성적 사고가 유발 / 학생은 (유리수는 유한소수 아니면 순환하는 무한소수로 나타낼 수 있다고 배운 점)을 사고의 대상으로 의식/ (루트2가 유리수가 아니다)라고 답하여 수준의 비약이 나타남

Question 14

바닥수준으로부터의 점진적인 수학화

Answer 14

바닥수준에서의 활동을 탐구수준의 활동과 구분하여 / 실제 수학을 하는 것은 아니지만 / 탐구 수준에서 수학을 할 준비를 하는 / 예비 수학적 활동으로 간주되어야 한다고 보고 있다.

학생의 학습 과정은 바닥 수준의 활동이 탐구 수준에서 반성됨으로서 / 비로소 수학이 시작되는 것이다.

바닥 수준의 활동이 탐구 수준에서 반성되는 것은 아주 필수적인 것이며, 이것은 학생의 현실적 경험을 수학화하는 것이다.

이런 바닥 수준에서의 수학화 활동은 계속적인 수준의 상승에 의해 좀더 세련된 수학으로 발달하게 된다.

Question 15

수학화 교수학습 원리 - 현실과 결부된 수학의 원리

Answer 15

수학적 개념, 관계, 구조로 정리될 필요가 있는 현실로부터 출발하여 그 정리 수단인 본질로서 수학을 학습하도록 해야 한다.

서술시
(일차함수 기울기라는 수학 개념)으로 정리될 필요가 있는 현실인 (스키점프대의 기울어진 정도를 구하는 탐구활동)에서 출발하여 /
그 정리 수단인 (일차함수의 기울기)를 본질로 학습하도록 지도하고 있다.

Question 16

수학화 교수학습 원리 - 전형적인 보기를 통한 개념 지도

Answer 16

수학적 개념이나 원리나 법칙은 여러 가지 보기의 관찰로부터 귀납적으로 획득되는 것이 아니라 전형적인 보기로부터 곧바로 그 구조를 파악하여 획득된다고 주장하였다.

서술시 전형적인 보기를 통해 파악한 구조가 무엇인지 지문에서 찾아서 서술해야함!
전형적인 보기인 (주어진 함수 그래프)로 부터 (함수의 연속과 불연속)에 대한 구조를 파악할 수 있다.

전형적인 예 : 곧바로 그 구조에 대한 깊은 통찰을 제공해 주면서 동형인 다른 상황에 신속하고 정확하게 전이 가능한 예를 의미

Question 17

수학화 교수학습 원리 - 심상 구성의 원리

Answer 17

개념의 형식화에 앞서 학습자로 하여금 개념이 발생한 맥락을 경험하게 하고 개념에 대한 심상을 구성하게 한 후 계속적으로 사고가 비약되도록 해야 한다.

따라서 심상을 구성하고 개념화할 수 있는 현상을 많이 다루어보는 것이 중요하다.

서술시
(일차함수의 기울기의 의미)를 형식화하기 앞서 /
(기울기 개념)이 발생한 실제적 맥락인 (스키 점프대의 기울어진 정도를 구하는 탐구활동)을 제시하여 학생들은 (기울기 개념)에 대한 심상을 구성하게 되었다.

Question 19

발전적 조작 가능성

Answer 19

수학은 관계가 풍부한 현실에서 발생해야 개인적으로나 역사적으로나 그것들이 창조된 후에 적용 가능하고 다음의 재창조를 위한 기반이 됨을 강조하고, 이런 수학의 재창조 가능성과 적용 가능성을 발전적 조작 가능성이라 명명한다.

Question 20

국소적 조직화 - 의미 + 의의

Answer 20

의미 : 학습자가 접하고 있는 영역에서 참이라고 인정되는 사실, 즉 학습자의 현실로부터 시작해서 부분적으로 조직화하는 활동이다.

의의 : 도형의 기본성질을 설정하는 과정인 ‘정의하기’를 경험하게 할 수 있다.

Question 20

귀납적 이해

Answer 20

여러 가지 보기의 관찰로부터 귀납적으로 파악하는 것

Question 21

각지

Answer 21

전형적인 보기로부터 곧 바로 그 구조를 파악하는 것

Question 22

브루너와 딘즈 이론에 대한 프로이덴탈의 비판

Answer 22

1. 딘즈의 놀이를 통한 수학적 개념학습과 브루너의 EIS 이론은 활동의 내면화를 시도하고는 있지만, 반성을 통해 사고 수준의 비약을 경험하지는 못하고 바닥수준에 머물러 있는 것이다.
2. 개념획득 후 적용이란 교수전략은 현상의 정리수단으로서의 본질에 대한 심상의 구성을 중시하는 수학화 접근법에서 볼 때 전도된 것이다.
3. 심상 없이 곧바로 개념을 초등화, 구체화하여 예시하고 형식화하여 가르치는 것은 반교수학적 전도가 된다.

Question 23

전반적 조직화

Answer 23

기하의 전체 영역을 정리와 공리로부터 출발하는 공리 체계로 조직하는 활동

Question 24

역사발생적 원리의 의의

Answer 24

수학을 이미 완성된 산물이 아니라, 인간 활동의 결과로 만들어진 것임을 이해한다.