수와 연산 Flashcards
듀이의 수개념의 원천이 되는 활동(구성적 활동의 방법)
1단계 : 모호한 전체 (명확히 규정될 필요가 있는 한정된 크기나 양)
- 그 양이 명확하게 규정되지 않은 상태의 대상이라고 할 수 있는 ‘모호한 전체’를 경험하는 단계이다.
2단계 : 전체를 명확하게 구성하는 데 도움이 되는 부분 (단위)
-측정을 위한 단위를 파악하는 단계로, 단위는 측정하는 주체로서의 인간이 주목하는 행동에 의해 결정된다.
3단계 : 명확한 전체를 구성하는 측정의 과정 (수 값의 결정)
-모호한 전체를 단위의 반복을 통하여 표현함으로써 명확한 전체로 나타내는 단계
고정단위 방법
개개의 사물이 질적으로 구별된다는 것을 전제로 하여 개별 사물을 단위로 고정하는 것.
-고정 단위 방법은 측정하여야 할 전체량이 아닌 분리된 단위에서 출발하기 때문에 엄밀하게 말하면 전체를 부분으로 변별하는 분석 과정이 생략된 것이며, 동시에 출발부터 절대적으로 분리된 존재임을 가정했기 때문에 그들을 서로 연결시키는 종합의 과정도 어려워지는 것이다.
음수 개념의 역사적 발생
일차방정식의 일반적인 해법을 형식적으로 완성하고자 하는 필요에 의해 도입하였다.
—수 개념을 크기, 개수, 길이, 넓이 등의 양적인 관념과 연결 지어 생각함으로써 음수를 하나의 수로 받아들이는 데 많은 어려움을 겪었다.
—음수는 완전한 수 개념으로 정립되는 것과 관계없이, 그 자체의 실용적인 유용성 때문에 많은 수학자들이 계속 사용
—한켈에 의해 음수 체계가 완전히 확립 : 음수가 어떤 실제적인 것을 나타낸다는 관점을 버리고 / 형식적인 구조만으로 음수를 이해하였으며,/ 양수 체계를 구성하는 여러가지의 원리들이 그대로 유지되도록 하면서 /음수 체계를 확장하였고,
이렇게 얻은 음수의 구조가 대수적으로 모순이 없다는 것만을 보였다.
음수 지도를 위한 모델
셈돌모델
우체부모델
수직선모델
귀납적 외삽법
셈돌모델
- 두 가지 색의 돌을 이용하여 정수를 나타내고 연산을 정의하는 모델
- 검은 돌 : 양수 , 흰 돌 : 음수
- 소멸법칙 : 검은 돌 하나와 흰 돌 하나는 같이 없앨 수 있다. - 장점
- 덧셈과 뺄셈이 비교적 자연스럽게 설명
- 양수와 음수를 동등한 수로 다루고 있다.
- 덧셈과 뺄셈이 서로 반대 연산이라는 것을 명확하게 해준다.
3.단점
-곱셈과 나눗셈을 설명하는 데 한계를 갖는다.
흰 돌 곱하기 흰돌이 검은 돌 이라는 것을 특별한 이유없이 선언해야만 하는데,
이는 음수 곱하기 음수가 양수가 된다는 것을 그냥 받아들이게 하는 것과 다르지 않다.
우체부모델
1.우체부 모델은 어음과 고지서를 배달하는 우체부를 등장 - 음수의 연산에 대한 실용적인 맥락을 제공
- 어음 : 양수, 고지서 : 음수 , 가져오는 것 : + , 가져가는 것 :-
- 피승수를 고지서와 어음으로 해석하고 승수는 우체부가 가져온 것의 개수(양수인 경우)나 가져간 것의 개수(음수인 경우)로 해석한다.
- 장점
- 실생활과 관련성이 높은 모델을 제시함으로 학생들의 흥미를 유발시키고 학습 참여도를 높인다.
- 일상적으로 일어나는 현상을 통하여 음수 개념의 필요성을 제기
- 실제적인 맥락에서 음수의 의미를 해석할 수 있는 상황을 제공한다.
- 덧셈, 뺄셈, 곱셈 설명 가능. - 단점
- 나눗셈을 설명하기 힘들다.
- 학교에서 활용하기에 시간이 많이 걸리고 준비가 필요하다.
수직선 모델
- 기준점을 0을 임의로 잡고 한쪽 방향(보통 오른쪽)에 일정한 간격으로 양수를 배열하며 반대쪽 방향으로 음수를 같은 간격으로 배열한다.
- 덧셈과 뺄셈 : 화살표의 머리에 더하거나 뺄 수를 나타내는 화살표의 꼬리를 두되, 뺄셈의 경우에는 화살표를 반대 방향으로 놓는다.
- 곱셈 = 반복되는 덧셈 (단, 음수를 곱할 때에는 음의 부호를 ‘방향을 바꾸는 것’으로 이해한다.)
- 나눗셈 = 반복되는 뺄셈을 통하여 피제수를 나타내는 화살표를 원점으로 줄이는 과정으로 설명된다. 단, 줄이는 방향이 제수의 반대 방향일 때 그 결과를 양으로 간주한다. - 장점
- 크기와 방향이란 요소가 음수 개념에 포함되어야 한다는 것을 잘 보여준다.
- 수직선상에서 정수가 배열되는 방식, 순서 구조를 그대로 유지하고 있어 두 정수 사이의 대소 관계가 잘 드러난다.
3.단점
-음의 부호가 다중적인 의미를 갖는다.
음수 표현에서는 ‘왼쪽을 향한다’
곱셈이나 나눗셈에서는 ‘반대 방향’
기호가 뺄셈을 의미
귀납적 외삽법
1.자연수 체계에서 성립하는 사칙계산이 그대로 지속되리라는 전제 아래 / 귀납적인 방법을 통해 정수 체계에서의 사칙계산을 하는 방법에 대해 예측
- 장점
- 자연수의 대수적 성질을 일관되게 정수의 연산에 적용가능
- 모델의 수동적인 측면을 보완해 줄 수 있는 능동적인 것
- 곱한 값의 부호가 결정되는 원리를 자연스럽게 파악 가능 - 단점
- 실제적인 의미를 반영하지 못함.
형식불역의 원리
어떤 대수적 또는 기하적 구조를 확장할 때에는 기존의 체계에서 인정된 성질이 유지되도록 해야한다는 것.
대수적 원리
자연수 a에 대하여 방정식 x+a=0의 해로 음수 -a를 정의하고 자연수에서 성립하는 계산법칙(교환법칙, 결합법칙 등)이 음수에서도 성립하도록 음수의 연산을 정의하는 방식이다.
내연적 정의
어떤 개념을 그 개념이 나타내는 대상의 공통적인 속성에 의해 정의
외연적 정의
어떤 개념을 그 개념이 포괄되는 대상 전체로 정의하는 방식
유리수의 정의는 외연적 정의라 할 수 있다.
기하적 대수적 형식불역의 원리
3을 빼는 연산은 x에 대하여 x-3을 대응시키는 함수로 이해할 수 있는데, 음수가 도입되기 전의 상태에서는 함수의 정의역이 x>3으로 제한되는 상황이므로 이 함수의 그래프는 1사분면에만 그려지는 반직선이 된다.
반직선이 직선이 되도록 자연스럽게 확장하는 것은 결국 x<3일 때 x-3이 어떻게 정의되어야 하는 가을 나타내는 것이다.
이는 대수적 구조를 유지하는 방식의 확장임을 알 수 있다.
유리수 개념의 발생과 관련되는 다양한 맥락
부분과 전체
분배결과의 몫
비율
연산자
유리수 - 부분과 전체
전체를 같은 부분으로 나누었을 때, 전체와 부분사이의 관계를 나타내는 것으로 이해
유리수 - 분배결과의 몫
주어진 양을 n개로 나누어야 하는 분배 상황에서 비롯된다고 이해하는 것.
분배결과의 몫으로 나타내는 유리수 개념은 방정식 ax=b의 해를 의미한다.
유리수 - 비율
계속 변화하는 외적인 상황과 두 양의 값에도 불구하고 본질적으로 내재되어 있는, 변화하는 두 양 사이의 동일한 관계로 유리수 개념을 파악하는 것.
동치관계라는 유리수 개념의 본질적인 아이디어를 경험하게 해준다.
유리수 - 연산자
유리수 집합위에서 정의되는 함수.
말뿐인 수세기
어린 아동의 경우 일찍부터 ‘수 세기’를 할 수 있지만 자신이 셈을 한 것이 몇개인지에 대해 정확한 관념을 갖지 못하는 경우
통약불가능 - 대수, 기하
대수 - 모든 수를 정수의 비로 나타낼 수 없다.
기하 - 모든 크기를 같은 표준크기로 측정할 수 없다.
- 정사각형의 한 변과 대각선의 길이 사이에는 공통 측정단위가 없으므로 통약불가능하다.
실무한 , 가능적 무한
실무한 = 1,2,3,…와 같이 계속되는 상태가 종결된 결과
가능적 무한 = 1,2,3,…과 같이 끝없이 계속되는 상태
무리수를 순환하지 않는 무한소수로 정의하기 위해 필요한 필요충분조건
유리수를 소수로 나타내면 유한소수 또는 순환소수의 형태이다.
유한소수 또는 순환소수는 항상 분수로 나타낼 수 있으므로 유리수가 된다.
수 개념(피아제)
집합의 포함관계에 대한 가법 군성체와 비대칭적 추이 관계의 가법 군성체의 종합
음수 지도 모델의 한계를 보완하기 위한 지도 방법
1) 형식불역의 원리 - 자연수에 대하여 / 방정식의 해로 음수를 정의하여 / 정수를 도입한 후 / 자연수 체계에서 성립하는 여러 가지 성질들이 그대로 유지되도록 하면서 정수 체계로 확장
- 장점 : 학생들에게 익숙한 자연수 연산의 성질로부터 출발하여 설명하는 것이므로 / 음수의 형식적인 본질에 익숙하게 될 수 있다.
2) 귀납적 외삽법 – 자연수 체계에서 성립하는 사칙계산이 그대로 지속되리라는 전제 아래 / 귀납적인 방법을 통해 정수 체계에서의 사칙계산을 하는 방법에 대해 예측
- 장점 : 학생들은 자연스럽게 정수의 사칙계산을 하는 원리를 파악할 수 있게 된다.
유한소수를 순환소수로 나타내는 것은 다루지 않는 이유
- 0.000…에 대응하는 소수가 없으므로 실수와 무한소수 사이에 1대1 대응이 성립하지 않게 된다.
- 나눗셈 알고리즘에 맞지 않는다. - 1나누기2는 0.5 가 되어야 하는 데 0.499…도 될 수 있다고 하면 문제가 발생한다.
- 중학교 수준에서는 급수에 대한 개념을 파악하지 못하므로 이를 지도하기가 어렵다.
- 사칙계산을 지도하기 어렵다. - 두 유한소수를 순환소수로 나타내어 더한 것의 결과가 0.1999…+0.7999…=1 이라는 것은 지도하기 어렵다.
루트2는 유리수가 아니다 지도
루트2는 유리수가 아니다
- 유리수는 정수와 정수가 아닌 유리수로 분류한다.
- 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이를 x 라고 하면 피타고라스 정리에 의해 1^2+1^2=x^2이 성립하므로 x=루트2가 된다. 루트2는 1과 2사이의 수이므로 정수가 아니다.
- 정수가 아닌 유리수는 모두 기약분수로 나타낼 수 있고, 이 기약분수를 제곱하면 정수가 아닌 유리수가 나와야 한다. 하지만 루트2를 제곱하면 정수가 나오므로 정수가 아닌 유리수도 아니다.
