미분과 적분

Question 1

개념정의와 개념이미지의 상호작용

Answer 1

정의와 이미지의 상호작용
(개념 정의로 입력되어 개념정의와 개념이미지의 상호작용한 후에 개념정의로 답을 출력)

완전 형식적 연역
(개념 정의로 입력되어 개념정의로 답을 출력)

직관적 사고를 따른 연역
(개념 이미지로 입력되어 개념 정의로 출력)

직관적 반응
(개념 이미지로 입력되어 개념이미지로 출력)
-개념 정의를 이해할 때 개념이미지를 동원하는 것이 효과적이지만,
개념이미지를 거치는 과정에서 여러가지 오류가 나타날 수 있다.

서술시
입력과 상호작용, 출력 용어를 사용하여 서술
( 개념정의가 입력되어 개념정의와 개념이미지가 상호작용한 후에 개념정의로 답을 출력하는 개념정의와 개념이미지의 바람직한 상호작용방식에 해당된다.)

Question 2

APOS 이론

Answer 2

행동 -과정 -대상 - 스키마

Question 3

APOS - 행동

Answer 3

행동 : 어떤 개념을 익히기 위해서는 우선 대상에 대한 변환을 적용해보게 되는 데 이러한 낱낱의 변환을 행동이라 한다.

Question 4

APOS - 과정

Answer 4

대상에 대한 행동을 반복하면서 반성하는 가운데 그 행동이 내면화되어 하나의 정신적 과정이 된다.

행동이 내면화되어 동일한 조작을 할 수 있는 정신적 구조가 생긴 상태

Question 5

APOS - 대상

Answer 5

과정을 전체적으로 인식하기 시작하면서 과정은 대상화되어 하나의 대상이 된다.

Question 6

APOS - 스키마

Answer 6

행동,과정, 대상이 조직화되고 연결되어 하나의 일관성있는 구조가 되면 이것을 스키마라 한다.

Question 7

Sfard 이론

Answer 7

• 수학적 개념은 대상과 과정 두 가지 측면이 있으며 상호보완적이다.
• 수학적 정의와 표상에는 대상으로서의 구조적 방법, 과정으로서의 조작적 방법이 있으며 이 두 가지가 교대로 나타나면서 개념이 구성된다.
• 계산적인 조작이 추상적인 대상으로 전이되기 위해서는 내면화, 압축, 실재화 단계를 거쳐야 한다.

내면화 : 실제로 수행한 행동을 통해 조작 구성
압축 : 일반화된 경우 파악
실재화 : 지금까지의 과정을 새로운 시작에서 조망

이 세단계는 위계적인 특징을 가지고 있으며, 실재화된 개념이 새로운 조작 대상이 되면 세 단계 다시 반복되면서 이미 형성된 개념이 상위 수준 개념으로 발달된다.

Question 8

미적분학의 기본정리가 수학사에서 갖는 의미

Answer 8

별개인 것으로 보이던 미분과 적분이 서로 역연산임을 밝혀주었다.

Question 9

미적분학의 제1기본정리와 제2기본정리의 흐름

Answer 9

반대

• 제1기본정리는 정적분에서 시작 - 부정적분에서 귀결
• 제2기본정리는 부정적분에서 시작 - 정적분에서 귀결

Question 10

미적분학의 제2기본정리

Answer 10

• 정적분을 계산하는 편리한 알고리즘 제공

- 개별적인 문제상황에 따라 매번 복잡한 계산을 해야하는 번거로움을 없애고 대수적인 절차에 따를 수 있는 일반적인 해법 제공

Question 11

로그의 역할

Answer 11

곱셈과 나눗셈을 각각 덧셈과 뺄셈으로 단순화하는 역할

Question 12

자연로그의 역사적 맥락

Answer 12

• 17세기 초에 발달했던 천문학에서 수반되는 큰 수의 복잡한 계산을 간편화하려는 실제적인 필요성에 의해 창안되었다.
• 복잡한 곱셈 또는 나눗셈 계산을 로그의 성질과 로그표를 이용하여 쉽게 알아낼 수 있다.
• 등비수열이 띄엄띄엄 있으면 계산하고 하는 수가 비어 있어 불편할 수 있다
• 이런 불편을 줄이고 로그를 계산도구로 활용하기 위해서는 등비수열을 조밀하게 만들 필요가 있다.

-조밀한 등비수열을 만들기 위해서는 등비수열의 초항을 크게 잡고 공비를 1에 가깝도록 만들어야 한다. - 자연로그 발견

발견순서 : 자연로그 - 상용로그 (자연로그는 계산도구라는 초기의 목적에 더 부합하기 때문에 자연로그의 발견시키가 상용로그보다 앞선다.)

Question 13

일차직관

Answer 13

체계적인 교육과 무관하게 개인적인 경험의 결과로 발달하는 인지적 신념을 바탕으로 하는 것

Question 14

이차직관

Answer 14

체계적인 교육의 영향으로부터 신념으로 전환된 것

Question 16

개념 정의

Answer 16

개념을 정확히 설명하는 언어적 정의

Question 17

개념 이미지

Answer 17

개념과 정신적으로 관련된 모든 성질과 과정 및 심상들로 이루어진 인지구조

Question 18

교수학적 변환 과정

Answer 18

학문적 지식 - 가르칠 지식 - 학습된 지식

Question 19

역사발생적 원리에 따른 미적분 지도

Answer 19

무한과정의 본질 - 정적분 - 미분과 적분 - 운동문제의 응용

Question 20

인지 과제가 입력되면 학습자는 공식적인 개념 정의를 먼저 떠올리게 된다. 이러한 개념 정의는 곧 학습자가 경험을 통해 얻은 개념 이미지와 상호작용을 하게 되고, 이를 토대로 인지과제를 해결하기 위해 다시 개념 정의로 출력되는 가상 이상적인 형태이다.

Answer 20

정의와 이미지의 상호작용

Question 21

인지과제가 입력되면, 학습자의 개념 이미지를 거치지 않고 형식적으로 개념 정의만을 거쳐서 내보내는 형태이다. 학습자의 이해가 수반되지 않고 기계적인 암기 학습에 의해 발생할 수 있는 상황이 된다.

Answer 21

완전 형식적 연역

Question 22

인지과제가 입력되었을 때, 바로 개념 이미지를 떠올리는 직관적 사고를 따르는 경우에 해당한다. 즉, 자신의 사적인 개념 정의에 근거하여 직관적으로 떠오르는 개념 정의를 출력하는 상태이다.

Answer 22

직관적 사고를 따른 연역

Question 23

인지 과제를 해결하기 위해 개념 이미지만을 거쳐 출력하는 상황에 해당된다.

Answer 23

직관적 반응

Question 24

수열의 직관적 정의 & 형식적 정의

함수의 관점 / 특성 / 무한의 입장 / 활용 측면 / 논리적 전개 순서

Answer 24

함수의 관점 : 함수의 종속적 관점 / 함수의 대응적 관점

특성 : 동적인 특성 / 정적인 특성

무한의 입장 : 가능적 무한에 기초 / 실무한의 개념에 기초

활용 측면 : 과정/결과
극한값을 계산하는 데 유용 / 극한값을 정당화하는 데 유용

논리적 전개 순서 : 원인 - 결과 / 결과 - 원인

Question 24

미분이 적분보다 먼저 다루어지는 이유

Answer 24

• 적분의 경우 일반적인 방법이 존재하는 미분과 달리 함수식의 형태에 따라 적분 방법이 달라지기 때문에 미분에 비해 전반적인 난이도가 높다.
• 미분의 역과정으로 적분을 도입하지 않을 경우 구분구적법으로 적분을 구해야 하는데, 이 과정이 상당히 복잡하고 번거롭다.