문자와 식

Question 1

대수의 발달 단계

Answer 1

대수의 발달 단계는 기호와 문자 사용을 중심으로 하여 언어적 대수, 생략적 대수, 기호적 대수의 세 단계로 구분된다.

Question 2

언어적 대수

Answer 2

문제를 해결하기 위하여 일상적인 언어 표현을 사용.

미지수를 표현하기 위해서 특정 부호나 기호를 사용하지 않았다.

Question 3

생략적 대수

Answer 3

자주 반복되어 사용되는 개념이나 계산을 축약된 용어나 머릿글자 같은 생략 기호로 나타낸 단계로
미지수를 표현하기 위해 문자를 사용하기 시작했다.

방정식의 풀이가 나타나게 되었으나 이때 사용된 모든 방정식은 수로 된 계수만을 가지고 있었고, 해는 오로지 수치로만 표현됨.

문자를 사용한 일반적인 풀이 방법은 나타나지 않음.

Question 4

기호적 대수

Answer 4

기호 대수 단계가 시작되면서 문자는 미지의 양뿐만 아니라 주어진 양까지도 나타내는 데 사용

수학의 문제를 일반적이고 형식적인 방법으로 취급하는 결정적인 계기가 됨

해법을 공식화하고 그 원리와 방법의 타당성을 연역적 추론에 의해 처리할 수 있게 됨.

주어진 양에 대해서도 문자를 사용하게 된 것은 문자의 의미에 대한 개념적 이해의 변화를 요구한다.

일반해 표현 가능
수치관계를 나타내는 규칙을 입증하는 도구

Question 5

구조적 대수로의 발달

Answer 5

대수의 기호체계가 발달하면서 대수에 대한 관점은 절차적인 관점에서 구조적인 관점으로 변화하였다.

Question 6

대수의 절차적인 면

Answer 6

수치를 얻기 위해 수를 가지고 행하는 산술적 연산을 의미한다.

수에 행하는 연산은 계산적이며 그 연산에 의해 수치적 결과를 얻는다.

Question 7

대수의 구조적인 면

Answer 7

대수식 자체에 대해 행해지는 여러 연산

수행되는 연산에 의해 식의 구조는 변형되고 그 연산 결과도 여전히 대수식으로 남아있다.

Question 8

닫힌 수학

Answer 8

이론이 실재와 주체로부터 완전히 분리되어 있는 상태

Question 9

열린 수학

Answer 9

닫힌 수학과 대립되는 개념으로 새로운 수학 내용을 학습하는 과정에서 주체의 참여와 수학적 개념이 발전될 때 개재되는 실재를 고려하는 것이다.

-변수 개념이 수학 학습에서 유용한 수단으로 작용하기 위해서는 열린 수학으로,
즉 실재와의 관련을 통해서 변수 개념의 발생 상태 혹은 아이디어의 배경을 중요하게 고려하면서 도입되어야 하며 그러한 과정속에서 변수 개념의 본질과 의미의 다양성이 부각되어야 한다.

Question 10

수학적 개념을 지도하는 과정에서 프로이덴탈이 강조하는 세가지 요소

Answer 10

개념의 본질, 그 본질로 조직되는 현상, 학습자의 능동적인 참여

Question 11

변수 개념의 본질 - 동적인 측면

Answer 11

동적인 측면 = 변하는 대상

• 실제로 변하거나 변하는 것으로 가정되는 운동학적 상태
• 변수의 본질 = 실제적 변화를 함의한다는 의미에서 동적 변화
• 프로이덴탈이 강조하는 이유 : 변하는 대상이라는 변수의 본질은 변수 개념의 핵심아이디어를 이루는 것으로서 수학적 상황에서 여전히 지배적으로 존재하고 있기 때문. + 변하는 대상 사이의 관계 설명
• 하나의 대상이 연속적으로 변해가는 실제적 변화이다.
• 변화의 의미를 설명하는 도구

Question 12

변수개념의 본질 - 정적인 측면

Answer 12

• 동치인 여러 대상을 동시에 나타내는 것 = 다가이름
• 변수의 본질 = 가상적인 변화를 함의한다는 의미에서 정적 변화
• 프로이덴탈이 강조한 이유 : 대수적 표현을 의미있게 경험하기 위해서

-다가이름으로서의 변수 사용법을 지도하는 방법 : 다가이름으로서의 변수 사용법을 지도하는 한 가지 방법으로 문자에 수를 대입하는 것이 아니라 수에 문자를 대입해보는 방법을 소개하고 있다.
여러 가지 구체적인 예를 통해 수가 놓여 있는 자리에 문자를 대입하여 일반적인 표현을 구성하게 하는 과정을 지도하는 것이 필요하다는 것이다.

• 일반화를 표현하는 도구
• 동시 고려의 필요성에서 발생

Question 13

Usiskin의 대수 구분-변수의 의미

Answer 13

1. 문제 해결 과정의 학습 : 방정식 풀이 - 자리지기로서의 미지수 - 어떤 수를 찾고자 하는 행위
2. 산술의 일반화의 학습 : 기호를 사용한 일반화 - 다가이름으로서의 부정소 - 패턴을 일반화하는 요소, 도구(맥락과 함께 제시 + 그 대상을 대표)
3. 양 사이의 관계 학습 : 기호에 의한 양의 탐구 - 독립변수, 종속변수 , 매개변수 - 관계를 유지하면서 변화
4. 구조의 학습 : 구조에 대한 연구 - 임의의 대상, 임의의 기호 - 대상에 대한 고려는 무의미, 변수에 대한 조작만 유의미

Question 14

변수 개념과 인지장애

Answer 14

1. 학생들은 변수 기호를 임의로 선택할 수 있다는 것을 잘 이해하지 못한다.
2. 학생들은 변수가 나타내는 대상을 제한하여 생각하는 경향이 있다.
3. 학생들은 변수를 포함한 대수식을 완결되지 않는 식으로 인식하기도 한다.
4. 학생들은 변수는 특정한 대상을 대신하는 것으로 이해한다.
5. 학생들은 독립변수, 종속변수 개념을 불완전하게 이해하고 있다.

Question 15

학생들은 변수 기호를 임의로 선택할 수 있다는 것을 잘 이해하지 못한다.

-원인, 해결방법

Answer 15

1) 변수를 표시하는 기호가 변화하면 변수가 나타내는 대상도 변화한다고 생각하는 경향이 있다.
2) 학생들은 미지수를 나타내는 문자가 변함에 따라 방정식의 해가 바뀐다고 생각하기도 한다.

원인

1) 학생들이 함수를 배우기 전에 종종 변수를 일차방정식의 하나의 해처럼 어떤 유일한 대상을 구하는 학습경험을 많이 하였다.
- –학생들은 변수로 사용되는 문자가 유일한 대상과 연결되어 있다고 생각
- –문자의 변화는 대상의 변화를 수반하는 것이고, 그 역도 성립한다고 생각하게 됨.

2)산술의 영향 : 학생들이 대수에서도 산술과 비슷한 방식으로 기호를 인식.

해결방법 : 교사는 때때로 다른 문자에 같은 값을 취해보면서 학생들의 인지장애를 완화시켜줄 수 있다.

Question 16

학생들은 변수가 나타내는 대상을 제한하여 생각하는 경향이 있다.

-원인

Answer 16

많은 학생들이 변수를 수를 대신하는 문자라고 생각하면서 변수가 나타내는 대상을 수에 국한시키고 있다.
변수는 지정된 집합 안의 임의의 원소로 볼 때 집합의 원소는 수만으로 한정되는 것이 아니므로 변수의 생각 역시 그 집합의 원소가 수로 주어졌거나 수가 아닌 것으로 주어졌거나 상관이 없는 것이다.

원인

1) 영어 variable을 변수로 해석하는 용어상의 문제가 변수는 ‘변하는 수’또는 여러 가지 수를 대입할 수 있는 기호라는 제한된 관념을 갖게 한다.
- 행렬변수, 연산변수, 관계변수 등을 나타내는 다가이름을 변수로 보기 어렵게 만든다.

Question 17

학생들은 변수를 포함한 대수식을 완결되지 않은 식으로 인식하기도 한다.

-원인

Answer 17

조작적 관점에서 구조적 관점으로의 대수 학습의 진전과 밀접한 관계가 있다.

원인
1)두 가지 이상의 수가 어떤 연산 기호로 연결되어 있을 때 그것은 연산의 결과에 의해 하나의 수로 대치되어야 한다는 산술 경험에 의존하고 있기 때문

Question 18

학생들은 변수는 특정한 대상을 대신하는 것으로 이해한다.

-원인

Answer 18

학생들은 변수를 방정식에서 특정한 값을 대신하는 문자로 생각하는 경향이 있고, 임의의 수를 나타내기 위해 사용된 문자를 변수로 생각하는 것에는 익숙하지 않다.

원인
1.학교 수업에서 학생들이 변수를 y=ax 와 같은 함수 관계에서의 문자 x,y나 일차방정식, 이차방정식, 고차방정식에서의 미지수 x 정도로만 이해하고 있으며, 일반화된 식에서 부정소로 사용된 문자를 변수로 인식하는 학습의 기회가 그다지 제공되고 있지 않은 것을 지적할 수 있다.

Question 19

학생들은 독립변수, 종속변수 개념을 불완전하게 이해한다.

Answer 19

어떤 관계에서 한 변수의 변화에 의해 다른 문자의 값이 따라서 변할 수 있다는 개념이 잘 인식되고 있지 못함을 의미한다.

Question 20

문자사용에 있어 학생들이 어려움을 겪는 이유

Answer 20

동시표현의 성질
한계결정의 자유성
문자선택의 자유성

Question 21

동시표현의 성질

Answer 21

• 수는 단일한 하나의 수를 표현하지만 문자는 동시에 많은 수를 표현할 수 있다는 것.

- 수학에서 정의, 공리, 정리, 공식 등을 간결하고 분명한 형태로 표현 가능하고 일반적인 진술이 가능하다.

Question 22

한계 결정의 자유성

Answer 22

일상언어에는 명시적으로 또는 암묵적으로 처음부터 저절로 부과된 의미가 있기 마련이다.
문자는 고정된 의미의 집합이 연결되어 있지 않다.
문자가 나타내는 범위의 한계를 우리가 원하는 방식으로 자유롭게 정할 수 있다.

Question 23

문자선택의 자유성

Answer 23

일상언어의 표현에서는 어떤 집합 내에 있는 원소들의 본질적인 특성이 그 집합을 언급하기 위해 사용하게 되는 단어나 구의 범위를 명확하게 제한하게 된다.

수학언어에서는 주어진 대상을 지칭하기 위해서 거의 아무거나 임의로 문자를 선택할 자유가 있다는 것이다.

Question 24

대수적 원리

Answer 24

기본적인 성질이 유지되도록 대수적인 구조를 확장하는 형식불역의 원리

Question 25

대수적 원리 - 산술 대수, 기호 대수

Answer 25

산술 대수 : 일상적인 양의 수를 나타내는 기호와 덧셈, 뺄셈과 같은 연산 기호를 사용해서 얻어지는 학문

기호대수 : 기호연산이 산술과 유사한 연산으로부터 유도되었다 하더라도
연산의 적용범위에 제한을 두지 않는다.

Question 26

피콕의 대수적 원리 - 형식불역의 원리

Answer 26

산술대수 법칙이 기호대수로 확장되는 것

Question 27

문자사용식 구성의 이점

Answer 27

1. 수에 범위에 대한 제한 없이 표현가능
2. 복잡한 상황에서 의미를 명확하게 표현가능
3. 지칭해야 할 대상이 많아져도 대상 표현 가능

Question 28

의미있는 이해가 가능하도록 하는 일반화 지도 방안

Answer 28

교과서에서 다루어지는 일반화된 식을 특수한 사례로부터 문자를 사용하여 일반화를 할 수 있는 경험을 통해 학습할 수 있도록 해야 한다.

Question 29

문자와 수, 문자와 일상언어의 공통점

Answer 29

1. 수 또는 문자를 사용한 식으로 관찰 결과를 나타내고 계산할 수 있다.

2. 문자와 일상 언어는 어떤 대상이나 상황을 표현하는 방식이다.

Question 30

변수 개념의 다면성

Answer 30

1. 자리지기(미지수) - 방정식에서의 해
2. 문자 : 일반화의 표현을 위해 사용
3. 부정소(임의의 상수) : 정해지지 않은 상수를 나타냄
4. 함수식에서의 독립변수, 종속변수, 매개변수, 연산변수, 관계변수 등

Question 31

방정식 지도의 문제점

Answer 31

1.방정식 풀이의 핵심이 분석적 사고라는 점이 간과되고 있다.

2. 등식의 성질은 대부분 양팔저울 모델로 직관화된다.
   - 그런데 곱셈 특히 음수와의 곱셈의 경우에 이 모델은 충족되지 않는다.
   - 양수 범위에서 등식의 성질을 직관적으로 이해시킨 다음에 이를 형식불역의 원리에 의해 곧바로 음수를 포함한 유리수로 일반화하는 것

Question 32

문자 선택에 대한 지도

Answer 32

학생들이 주체가 되어 /
문제 상황을 변수를 사용하여 식으로 표현할 필요성을 느끼고 /
문자를 스스로 선택하여 /
식을 구성하는 활동을 지도해야 할 필요가 있다.

예) 사다리꼴의 모양만 제시 + ‘사다리꼴의 넓이를 구하는 데 필요한 변의 길이에 대해 적당한 문자를 사용하여 넓이를 구하는 식을 만들어라’

• 문자 선택의 자유성 인식
• 서로 다른 대상은 다른 이름으로 지칭해야 한다는 대수적 언어 사용의 규칙을 경험 속에서 이해 가능