함수 Flashcards
함수의 역사적 발달
전 함수 단계 기하적 함수 단계 대수적 함수단계 논리적 함수단계 집합적 함수단계
전 함수 단계
- 함수가 무엇인지에 대한 논의 없었음
- 자연의 변화를 관찰하기 위한 함수표 등을 사용하였다.
- 비례 중시
- 포물선, 타원, 쌍곡선 - 일치, 부족 , 초과에 해당 - 변화된 넓이로 기술
기하적 함수 단계
- 함수 개념은 여러 가지 운동을 양적으로 수학화하려는 것에서 발생.
- 함수에 대한 연구는 운동을 나타내는 곡선을 중심으로 곡선의 접선, 곡선, 아래의 면적, 곡선의 길이, 곡선을 따라 움직이는 점의 속도 등을 구하는 것.
- 최초의 의식적인 함수는 운동을 나타내는 곡선과 관련해서 개념화되었다는 점에서 기하적 함수라고 볼 수 있다.
- 곡선을 중심으로 함수에 대한 연구가 진행되는 과정에서 / 함수에 대한 정의가 필요하게 되었는데 / 라이프니츠는 ‘곡선상의 한 점에서 접선의 길이, 접선, 법선의 길이, 법선 등을 구하는 일을 함수’라 하고, 이런 것들의 좌표에 따른 변화를 관찰하였다.
대수적 함수 단계
- 한 변수에 대한 함수는 어떤 방식으로든 변수와 수 또는 상수들의 결합되어 있는 해석적 표현이다.(오일러) — 진동현 문제 : 하나의 해석적 표현이 존재하지 않음 — 연속이면 하나의 해석적 표현 가능, 불연속이면 하나의 해석적 표현 불가능으로 받아들임.
- f(x)라는 기호를 처음으로 사용
-함수는 변화와 운동과 관련하여 연속적으로 변하는 양의 문제를 연구하는 과정에서 발생하였지만, 당시의 수학자들은 수학의 대상은 정적인 것으로 생각하였기 때문에, 가장 문제가 되는 변수라는 개념을 수학에서 다루는 것을 기피하였고,
결국 함수의 핵심적인 부분이라고 할 수 있는 변수를 제거하고 함수 개념을 다루고자 하였다.
논리적 함수 단계
- 함수 개념이 더 이상 대수식에 관련된 것이 아니라, 다만 두 변수가 대응이라는 논리적 조건에만 관련되어 있다는 의미이다.
- 연속 곡선에만 오일러의 해석적 표현이 존재하고, 불연속 곡선에는 오일러의 해석적 표현이 존재하지 않는 것으로 생각 (대수적 함수 단계) — (반례)푸리에 급수, 디리클레 함수
- (디리클레)주어진 구간에서 x의 각 값에 y의 유일한 값이 대응할 때, y는 x의 함수라고 정의하였다.
- 함수에서 변수 개념을 없앴을 뿐만 아니라 일가성과 임의성을 강조하게 된다.
일가성
정의역의 각 원소에 대해 치역의 단 하나의 원소가 대응된다는 조건으로 함수와 함수가 아닌 것을 구분하는 기준이 된다.
- 함수에 대한 최초의 접근에는 독립변수와 종속변수의 구분이 없었다.
- 곡선들은 다가함수이며, 필요에 따라 종속변수, 독립변수를 지정 - 고차 도함수에서 이런 구분 필요(이계도함수에서 분모와 분자의 비대칭성) - 함수를 일가함수로 제한 - 일가성을 일반적인 함수로 정의
임의성
함수는 어떤 특별한 표현에 의해 기술되거나 또는 어떤 규칙성을 따르거나 또는 어떤 특별한 형태를 가진 그래프에 의해 묘사될 필요가 없다는 것을 의미.
오일러의 해석적 표현 - 푸리에 급수, 디리클레 함수 - 임의의 대응
집합적 함수 단계
- 논리적 함수에 포함시켜 생각해도 무방하지만 좀더 엄밀한 의미의 공리론적 집합론을 기초로 함수의 정의하는 것을 의미.
- 함수를 관계로 정의, 함수는 순서쌍의 집합의 부분집합으로 정의
함수의 여러 측면
종속성, 그래프, 공식, 행동, 과정, 대응, 순서쌍, 대상
학생들에게 함수를 도입할 때 강조해야하는 함수의 측면
함수를 도입할 때 종속성을 강조할 것이나, 대응을 강조할 것인가.
종속성 강조 (전함수 ~ 대수적 함수, 7차~~~)
1) 함수는 역사적으로 현실세계의 변화와 종속성을 설명하기 위한 도구로서 발생한 역동적 개념이므로
2) 함수의 연산 특히 합성과 역함수 조작 가능성
3) 함수를 대응으로 도입하는 것은 학생들이 함수의 변화적 속성과 역동적인 측면을 파악하는 데 적절하지 못하다.
대응을 강조 (논리적 함수~집합적 함수 , 3차~ 6차)
1) 학생들에게 함수와 관련해서 지도해야 할 목표가 대응이라면 종속의 관점에서 대응의 관점으로 발전시키기가 어렵다.
2) 종속성의 관점은 엄밀하지 않기 때문에 함수를 대응으로 도입하는 것이 더 적절하다고 본다.
교수학적 현상학에 따른 함수의 지도(중학교)
처음에는 다양한 현상에 대한 직관적 경험을 제공(현상)
- –종속성의 특성(본질) (예: 증가와 감소, 비례적인 변화, 주기적인 변화, 지수적인 변화, 대응적인 관계) 등을 인식하게 하고
- –종속성의 특성(현상)을 좀 더 구체적이고 분석적으로 다루기 위해 표, 그래프, 식(본질) 등과 연결하여 특성을 더 명확히 하고,
- –표나 그래프, 식(현상) 에서 구체적인 함수 이름(본질)(에 해당하는 정비례와 반비례, 일차함수, 이차함수, 삼각함수, 지수함수, 임의의 대응)을 인식
—좀 더 구체적인 특성을 파악하게 한 후, 함수에 대한 여러 경험을 바탕으로 함수가 무엇인지에 대한 논의를 통해 적절한 함수 개념을 도입하고 미적분을 위한 기초를 제공하는 방법
- 다양한 현상을 출발점으로 점차적으로 함수의 형식적 지도로 나아가는 방향을 생각해볼 수 있다.
서술시
: ( 나라를 문화유산에 , 나라를 도시에 대응시키는) 현상에 대한 직관적인 경험으로부터 (대응관계)의 본질을 인식한다.
(대응관계)를 현상으로 하여 (대응도)를 본질로 인식해 (대응관계의 특성)을 분석한다.
(대응도)를 현상으로 하여 (함수와 대응)의 본질을 인식한다.
구조주의적 관점에 따른 함수지도(고등학교)
학생들에게 대응을 통해 함수를 정의하고
- –이와 관련하여 정의역, 치역, 공역 등을 지도하고
- –함수의 예로 특정한 함수들을 다루면서 응용문제로 몇 가지 함수 현상을 다룰 수 있을 것이다.
함수 그래프 지도
- 그래프를 읽거나 그릴때 공간의 초점을 어디에 두느냐
점별접근 : 그래프를 읽거나 해석할 때 한 점에만 초점을 맞추는 것
- 그 점에 해당되는 독립 변수에 대한 종속 변수의 값을 읽거나 그 점의 종속 변수에 해당하는 독립변수의 값을 읽는 것을 의미
국소적 접근 : 한 점의 근방에서 그래프의 변화를 보는 것
- 증가와 감소, 양수와 음수, 연속, 극대와 극소, 기울기의 정도, 불연속적인 점, 오목과 볼록 등의 성질을 읽는 것을 의미.
전체적 접근 : 어떤 구간이나 전체 구간에 걸쳐 그래프를 해석하는 것
- 양의 구간, 음의 구간, 증가와 감소 구간, 연속인 구간, 극대와 극소, 최대와 최소, 단소성, 주기성 등의 성질을 읽는 것
질적 접근에 따른 함수 그래프 지도
-수치적인 값에 초점을 두는지 그렇지 않은 지
양적접근 : 정확한 수치적 자료를 이용해서 좌표평면이나 좌표공간에 이를 정확하게 그림으로써 변화의 특징을 설명하고 예측하는 것
질적접근 : 어떤 상황을 수량화되지 않은 상태로 개략적으로 표현하고 설명하는 것을 의미
- 개략적으로 전체적인 변화를 파악하는 데 유용
- 물의 높이의 변화를 사고 실험으로 추측해보고 대략적인 그래프로 나타내 본 후 변화를 설명하고, 실제적인 측정활동을 통해 표를 작성하거나 가능하다면 컴퓨터 시뮬레이션을 통합 측정 활동 및 표나 정확한 그래프의 작성을 통해 결과를 확인해보는 등의 활동이 필요하다.
질적 접근과 양적 접근 지도
그래프를 처음 다루는 단계에서는 좌표평면이나 모눈종이와 같은 고정된 틀이 제시되기 이전에 비수치적이고 개략적인 형태의 그래프를 그려보고, 이를 해석하는 활동에 주목하는 질적인 접근으로 시작하고, 그 이후의 정교화 단계에서 수치적이고 좀 더 정확한 표현의 단계로 전환하는 것이 바람직하다.
개념정의
개념을 정확하게 설명하는 언어적 정의
개념이미지
개념과 정신적으로 관련된 모든 성질과 과정 및 심상들로 이루어진 인지구조
함수 학습의 인식론적 장애
- 학생들은 변화 현상을 관찰하면서 변하는 대상이 무엇인지, 그 대상을 변하게 하는 것이 무엇인지 명확히 파악하지 못하는 경향이 있다.
- 학생들은 함수의 정의에서 독립변수와 종속변수의 비대칭성을 인식하지 못한다.
- 학생들은 함숫값은 독립변수에 따라서 변화되어야 한다는 선입관을 가지고 있다.
- 학생들은 함수를 체계적인 규칙이나 대수식으로 보는 경향이 강하며, 종속변수의 값을 구하기 위해 독립변수에 실행된 조작이라고 생각하는 경향이 있다.
- 학생들은 함수는 모든 정의역에서 한 가지 규칙이나 대수식으로 표현되어야 한다고 생각하는 경향이 있다.
- 학생들은 함수를 함수의 다양한 표현, 즉 표, 대수식, 곡선으로서의 그래프 등과 동일시하는 경향이 있다.
- 학생들은 함수에서 중요한 변수 개념을 이해하는 데 어려움이 있다.
- 학생들은 함수의 정의에서 나타나는 일가성, 일대일 함수, 일대일 대응의 의미를 혼동하기 쉽다.
학생들은 함수의 정의에서 독립변수와 종속변수의 비대칭성을 인식하지 못한다.
- 역사적으로도 오랜 시간이 걸린 것.
- 함수 개념이 곡선에서 서로 다른 선분 사이의 관계를 인식하게 하는 맥락에서 발생했다는 것을 안다면 쉽게 이해할 수 있는 부분이다.
학생들은 함숫값은 독립변수에 따라서 변화되어야 한다는 선입관을 가지고 있다.
-상수함수를 함수로 받아들이는 데 어려움이 생긴다.
그 이유는 학생들이 비례관계나 인과 관계와 같은 특수한 경험에만 집착하기 때문
- 수학사와 과학사에서도 이런 특수한 관계에 주목하는 현상을 찾아볼 수 있다. - 전함수 단계
- 이러한 관점이 지나치게 지배적인 경우에는 임의의 대응이라는 함수의 일반적 개념으로 확장하는 데 어려움이 있을 수 있다.
학생들은 함수를 체계적인 규칙이나 대수식으로 보는 경향이 강하며, 종속변수의 값을 구하기 위해 독립변수에 실행된 조작이라고 생각하는 경향이 있다.
- 이러한 경향은 함수 개념을 대응으로 도입하는 경우에도 마찬가지 이다.
- 역사적 발생에서도 대수적 함수의 시기에 모든 수학자들에게 받아들여졌던 생각.
학생들은 함수는 모든 정의역에서 한 가지 규칙이나 대수식으로 표현되어야 한다고 생각하는 경향이 있다.
- 한 가지 이상의 규칙이나 대수식으로 표현된 함수들을 받아들이는 데 어려움이 있으며,
- 함수의 그래프는 규칙적이고 체계적이어야 하며, 갑작스러운 그래프상의 변화가 일어나면 함수가 아니라고 생각한다.
- 이는 함수의 임의성을 이해하지 못한 결과이다.
- 다양한 현상을 통해 함수의 임의성을 경험해야 한다.
학생들은 함수를 함수의 다양한 표현, 즉 표, 대수식, 곡선으로서의 그래프 등과 동일시하는 경향이 있다.
- 함수=표 — 함수를 수열로 인식하게 하는 것을 가능하게 함, 보간법을 이용하여 중간값에서 정확한 함숫값을 구할 수 있다고 생각할 수 있게 한다.
- 함수 = 그래프 — 함수의 그래프를 점의 자취, 선분을 표현하는 것으로 해석한다.
8.학생들은 함수의 정의에서 나타나는 일가성, 일대일 함수, 일대일 대응의 의미를 혼동하기 쉽다.
-원인 : 학생들은 함수 개념을 외부로부터 제시받았을 뿐 자신의 경험을 조직하는 행동을 통해서 일가성의 의미를 추상화해내지 못한 결과이다.
교수학적 현상학에 따른 함수 지도의 교수학적 의의
- 함수의 본질을 재발명할 수 있다.
2. 함수의 역사 발생적 과정을 따르는 것이므로 학습자 자신의 수학적 안목으로 통합시킬 수 있다.
번역 활동에 따른 함수 지도 - 함수를 표현하는 양식(4가지)
상황언어적 표현 , 표, 그래프, 공식
번역 활동에 따른 함수 지도의 의의
함수의 여러 가지 표현들 사이의 번역은 함수를 하나의 규칙이나 그래프에 고착시켜서 생각하지 않고 함수를 폭넓게 이해하는 데 도움이 될 것 이다.
함수의 여러 측면 - 변화하는 현상에서 두 변수 사이의 종속관계 의미
종속성
함수의 여러 측면 - 증가, 감소, 극값, 최대, 최소, 변곡점 등을 설명할 수 있는 시각적 이미지를 의미
그래프
- 함수를 그래프로 생각하는 학생은 불연속적인 곡선을 함수로 받아들이기 쉽지 않을 것이다.
함수의 여러 측면 - 변수 사이의 종속관계를 독립변수를 포함한 대수식으로 나타내는 것 의미
공식
함수의 여러 측면 - 컴퓨터를 프로그램이 자료를 처리하듯이 함수를 입력, 변환, 출력의 처리 과정으로 보는 것 의미
과정
- 함수를 과정으로 생각하는 학생은 함수는 하나의 입력에 대하여 유일한 하나의 출력을 얻는 입출력 기계, 함수기계로 생각
- 독립변수를 택하여 어떤 행동을 취하여 결과를 얻는 과정으로 본다.
함수의 여러 측면 - 두 집합 X, Y가 있을 때, 임의의 x에 대하여 유일한 y가 존재하는 것 의미
대응
함수의 여러 측면 - 함수 자체를 하나의 실체로 파악하는 것
대상
- 함수를 대상으로 이해하는 학생은 집합의 한 원소로 볼 수 있고, 함수 연산이 가능하고, 함수를 대상으로 하는 사상을 이해할 수 있다.
