기하 Flashcards
연역적 추론
정의, 공리, 공준, 이미 참이라고 알려진 성질을 이용하여 새로운 참인 명제를 이끌어 내는 것.
(서술시) (직사각형의 두 대각선의 길이나 서로 같다)는 성질이 성립함을 (평행사변형의 성질, 삼각혀의 합동조건)을 이용하여 연역적 논증으로 주장하게 되므로 연역추론에 해당한다.
정당화
어떤 수학적 명제가 참임을 주장하는 것
분석적 방식
구하거나 증명하고자 하는 것을 이미 구하거나 증명한 것 처럼 가정하고 그로부터 유도될 수 있는 명제를 도출하고
다시 그로부터 유도될 수 있는 명제를 도출하기를 계속하여 이미 알고 있는 명제에 도달하는 과정
- 풀이계획을 발견하는 과정
종합적 방식
분석의 과정을 거꾸로 하여 분석에서 마지막에 도달한 지점, 곧 이미 알려져 있거나 참인 것으로 가정한 명제로부터 출발하여 분석의 과정을 거꾸로 되밟아 감으로써 마지막에 요구하는 명제에 도달하는 과정
- 그 계획을 실행하는 과정
- 연역의 과정이며 곧 증명의 과정이다.
변환 기하적 관점
도형의 성질을 변환의 관점과 함수적 관점에서 파악하는 것으로
변환 후 변하지 않는 성질에 관심을 갖는다.
스켐프의 개념 형성 방식 - 수직적 관련성 구축
-개념들간의 수직적 관련성은 개념들간의 위계구조, 즉 개념들간의 계통성을 의미
-개념 A와 개념B가 수직적으로 관련되어 있다.
=개념 A와 개념 B사이에는 논리적인 종속관계가 성립한다는 것
=개념 A는 B를 기초로 하여 생성된다는 것이다.
=개념 A가 개념 B보다 더 추상화되었다고 할 수 있다.
- 수직적 관련성은 새로 학습한 개념이 학습자에게 의미 있는 지식으로 자리매김되는 것과 관련된다.
- 학습의 준비성
학습의 준비성
추상화된 상위 개념의 학습은 하위 개념의 형성을 토대로 함을 의미
-새로운 개념학습에 필요한 하위 개념이 충분히 형성되지 않으면 학습의 어려움이 발생한다.
스켐프의 개념형성방식 - 수평적 관련성 구축
- 개념들 사이의 수평적 관련성을 구축했다는 것은 어떤 대상이나 현상을, 여러 개념을 통해 동시에 파악하는 것을 의미한다.
- 수평적 관련성으로 연결된 개념들은 독립적이고 상호보완적인 관계를 맺는다.
-수평적 관련성은 기하 문제 해결과 밀접한 관계가 있다.
문제를 해결하기 위해서는 문제에 제시된 조건이 의미하는 여러 개념을 동시에 파악할 필요가 있다.
여러 개념을 동시에 파악하기 위해서는 유연한 관점의 변화가 필요하다.
-유연한 관점의 변화는 X라는 개념을 통해서 바라보던 대상을 다시 Y라는 개념을 통해서 볼 수 있음을 의미
개념형성 장애 원인 - 개념의 개별화(수직적 관련성이 제대로 형성되지 못한 경우)
학생들은 개념을 개별화하는 경향이 있는데, 이는 학생들이 각각의 개념을 분리된 것으로 파악한다는 것이다.
개별화된 개념은
- 한 개념에서 다른 개념으로 이해할 수 있는 가능성을 박탈하며, 개념들 사이의 관련성 구축을 방해한다.
- 개념이 지나치게 개별화된 특성을 지니게 되면 문제 해결에 적용되기 어렵다.
해결방안
: 학생들이 개념을 제대로 이해하도록 돕기 위해서는, 학생들에게 이미 확립되어 있는 하위 개념에 근거해서 새로운 개념을 도입하고 설명해야 한다.
+새로운 개념이 기존 개념들의 관계망과 연결될 때, 새로운 개념은 관계망에 통합되어 의미 충실한 지식이 된다.
개념형성 장애 원인 - 개념의 고착화
- 학생들이 개념을 특정 맥락에만 고착시키는 현상
- 학생들은 개념을 설명하기 위해 제시한 그림, 개념 사례를 그 개념과 강하게 결부시켜, 개념을 개념 사례에 고착시킨다.
- 개념의 고착화는 개념의 본질적인 요소와 비본질적인 요소를 구분하지 못하게 하며,
- 학생들은 도형의 모양과 시각적으로 지각되는 특징을 본질적인 요소로 간주하게 된다.
- 학생들은 비본질적이지만 반복적인 특징을 개념의 본질적인 특징으로 인식하기도 한다.
- 고착된 시각적 도구는 기하 문제 해결에서 장애로 작용한다.
해결방안
- 다양한 맥락과 질적으로 다른 시각적 경험 제공, 딘즈의 수학적 다양성 원리
- 비본질적인 성질의 다양한 변형을 제시함으로써 비본질적인 성질과 본질적인 성질을 비교할 수 있도록 해야 한다.
개념형성 장애 원인 - 선행 개념의 방해(수평적 관련성이 제대로 형성되지 못한 경우)
문제에 분명하게 제시되어 있어서 기하그림을 해석하는 데 먼저 이용된 선행 개념이 그 그림을 다른 개념의 관점에서 재해석하는 것을 방해한다.
-중복장애와 일관
중복장애 : 기하문제를 해결할 때, 변, 각, 꼭짓점 등 똑같은 요소를 한 번 이상, 즉 두 번, 세 번 존재하는 것처럼 고려해야 할 때 곤란은 겪는 현상을 말한다.
-해결방안
문제해결의 토대가 되는 어떤 개념을 견실하게 이해해야 하는 동시에 여러 개념들을 체계적으로 관련지을 수 있도록 해야 한다.
프로이덴탈의 증명 교수 학습론- 기하 영역에서의 수학화 과정
1) 주변현상을 도형(본질)으로 조직화
2) 도형의 성질을 발견
3) 국소적 조직화(정의하기, 증명하기) - 국소적 조직화의 수단으로써 증명의 필요성 인식
4) 전체적 조직화
5) 존재론적 결합끊기
정의하기
정의는 여러 성질들을 논리적으로 조직하기 위한 연역의 고리로서 필요
도형의 성질들 중 기본이 되는 성질 정하기
증명하기
기본 성질과 이미 알고 있는 수학적 사실들을 토대로 새로운 내용을 국소적으로 조직하는 것
준경험주의 - 증명의 의미
- 발견의 수단
- 증명의 본질은 비판을 용이하게 하기 위해 추측을 가능한 한 작은 부분추측으로 분해하여 분석하는 사고 실험
- 증명의 절차는 추측을 부분추측으로 분해하여 그것을 이미 알고 있는 것과 연결시키는 과정
- 증명의 분석적 측면 강조
사회적 구성주의 - 증명의 의미
설명, 확신의 수단
자기 자신을 포함해서 다른 사람을 확신시키기 위한 설명이며, 수학자들간의 의사소통의 수단이다.
증명방법을 어려워한다. 명제를 어떻게 증명해야할 지를 모르겠다. 증명방법은 이미 정해져있는 것 같다. 증명은 학습자 자신의 사고로는 감히 찾아낼 수 없는 것이다. 교사가 설명해 주거나 교과서에 제시되어 있는 증명을 외운다.
원인
증명을 종합적 방식으로만 지도하기 때문이다.
종합적 방식은 어떻게 증명이 그렇게 수행될 수 있는 가를 학생에게 전혀 보여주지 못한다.
해결방안
증명지도에서 분석적 방법을 과감히 도입해야 한다.
분석적 방법을 통해 증명 방법을 찾고, 종합적 방법을 통해 증명 방법을 정리하는 역동적인 추론과정을 학생들에게 제시해야 한다.
학생들은 또한 분석적 방법과 종합적 방법을 적절히 활용하여 증명을 수행할 수 있다는 자신감을 심어주어야 한다.
A이면 B이다 형태의 명제 해석을 어려워한다.
가정과 결론의 정확한 의미를 알지 못한다.
결론을 증명의 과정에서 이용하거나 A이면 B이다 형태의 문장 전체를 증명과정에서 재진술
원인
1)’A이면 B이다’ 형태의 문장을 가정과 결론의 형식적 설명을 통해 곧바로 지도하였기 때문
2)’A이면 B이다’ 형태의 증명 문제는 학생들이 이미 익숙해져 있는 보통 문제와 다르다. 보통 문제는 답이라는 결과를 중시하는 결과 지향적인 반면, 증명문제는 결론에 도달하는 과정을 중시하는 과정 지향적이다.
학생들은 증명을 배우기 이전에 이미 절차적 지식의 습득, 즉 도구적 이해에 익숙해져 있다. 그러나 증명문제는 단순히 절차적으로 해결될 수 있는 문제가 아니다.
해결방안
1)’A이면 B이다’ 형태의 문장을 점진적으로 지도
-A를 다양하게 변화시키고 B가 어떻게 될 것인가를 학생들에게 질문하는 식으로 지도
(초등학교 수준에서부터 ‘A이면 B이다’ 형태의 문장을 암묵적으로 지도)
2)가정만을 제시하고 가정으로부터 성립될 수 있는 결론을 스스로 탐색하게 함으로써 탐색된 결론이 어떻게 성립할 수 있는 가를 조사하는 과정에서 증명이 자연스럽게 필요해지도록 하자는 것.
3) ‘A이면 B이다’의 형태로 쓰여 있지 않은 정리에서 가정과 결론을 분리하는 데에 학생은 혼란과 어려움을 겪는다.
- 명제에서 대전제에 해당하는 대상을 분리하여 가정과 결론을 구분하면 명제를 보다 명확히 이해할 수 있다.
정당화의 수단으로서의 증명의 한계
예전에 배웠어요, 당연히 참이잖아요.
이미 알고 있는 수학적 사실을 증명할 것을 요구
이미 참인 것으로 알고 있는 익숙한 사실을 왜 증명해야 하는 가 의아해 한다.
해결방안
1)정당화 수단으로서의 증명과 함께 조직화 수단으로서의 증명을 경험해야 한다.
2)’정의’아닌 ‘정의하기’와 ‘증명’아닌 ‘증명하기’를 경험할 수 있도록 지도
학생들은 기호사용을 어려워한다.
학생들은 증명을 할 때 반드시 기호를 사용해야 한다는 데에서 많은 어려움을 겪는다.
원인
1)교사는 증명을 수행하기 위하여 명제의 가정과 결론을 반드시 기호로 나타내어야 한다고 강조하면서, 기호로 나타내지 않은 가정과 결론은 틀린 것으로 간주
2)증명을 행하는 부분에서도 말로 설명하는 것은 부정확하므로 반드시 기호를 써서 증명해야 한다고 강조
3)증명을 배우기 전의 기호는 신호로서의 기호이었다.
그러나 증명에서의 기호는 상징으로서의 기호이다.
해결방안
1)증명에서 기호를 더 점진적으로 도입해야 한다.
예) 가정과 결론, 증명을 말로 설명하여 그것을 다시 기호로 나타내도록 지도한다.
증명 교수학습 개선 방향
1)분석적 방식과 종합적 방식을 동시에 중시
2) 발견의 맥락과 정당화의 맥락 통합
- 준경험주의에서 강조하는 발견의 맥락에서의 증명을 학교 수학에 반영하여야 한다. — 발견의 경험을 제공함으로써 증명의 필요성을 더욱 자연스럽게 인식시킬 필요가 있다.
3)프로이덴탈의 수학화 지도론을 반영하여 조직화의 수단으로 증명을 도입
4)정리와 증명 동시에 중시해야 한다.
-학생을 도구적 이해 수준으로 고착시킬 위험성을 내포하고 있다.
+ 수학적으로 사고할 수 있는 힘을 육성할 수 있는 좋은 기회를 놓치는 것이다.
5) 도형의 성질에 대한 다양한 경험 제공
- 증명지도에 앞서 학생들에게 도형을 관찰하고, 도형들 사이와 여러 성질들사이의 관련성을 탐색하여 조직하는 다양한 활동에 근거하도록 한다. - 이를 바탕으로 증명의 본질을 점진적으로 이해
- 반힐 이론, 프로이덴탈 이론
6)사회적 구성주의 관점 도입
:증명은 자신의 주장을 다른 사람에게 설명함으로써 다른 사람을 확신시키는 과정.
-소그룹 협력 학습에서 자신이 탐색한 증명 방식을 다른 학생들에게 설명하고 다른 학생들에게 그 증명이 맞는지 틀리는 지를 세심하게 따져보도록 함으로써 사회적 상호작용을 통해 의미 있는 증명의 구성을 도모할 수 있게 된다.
역사발생적 원리 -교사
1.수학적 지식의 역사적 발생과 발전 과정에 대한 분석이 요구
이는 수학적 지식이 발생되는 데 있어서 중요한 계기가 된 문제 문맥을 확인하는 것
2.지도에 앞서 학생들의 재발명을 돕기 위해 학생의 입장과 반응을 고려하는 동시에 자신의 입장에서 개인 수학자의 마음에 대해 추측하는 것을 의미하는 사고 실험이 요구된다.
절대주의 증명관
정당화의 수단
귀납추론, 연역추론에 대한 폴리아의 관점
수학적 발견의 논리는 귀납이나 유추
정당화의 논리는 연역적 추론
공리적 방법
인간이 직관적으로 자명하게 참으로 인정하는 사실을 공리와 공준으로 상정한 다음, 공리와 공준으로부터 다른 모든 수학적 명제를 이끌어내는 방법
역사 - 발생적 수학교육론에 따른 증명 지도
- 실험적 증명(실험,관찰을 통해서 기하 내용을 정당화하는 단계)
예) 세 각을 측정해 측정값을 표로 만들어 보게 하고 세각의 합이 180임을 발견
- 직관적 증명(직관을 바탕으로 부분적으로 논리를 사용하여 정당화하는 단계)
예) 평행선의 성질 대신에 그와 동치인 직사각형의 존재성을 전제로 한 직관적 증명 제시
- 수학적 증명 : 정의, 공리, 공준으로부터 정리들을 하나의 체계로 엄밀하게 조직하는 단계(연역적으로 논증하기, 국소적 조직화)
예)전제로부터 결론을 연역하는 형식적 증명 제시
