반힐레

Question 1

기하학적 사고의 5수준

Answer 1

시각적 인식수준
기술적 분석적 인식수준
관계적 추상적 수준
형식적 연역 수준
엄밀한 수학적 수준

Question 2

시각적 인식 수준

Answer 2

전체적인 모양새로 도형을 인식한다.

도형의 성질에는 주목하지 않으며 인식하지도 못한다.

사고의 대상 주변사물
사고의 도구 도형

Question 3

기술적/분석적 인식 수준

Answer 3

도형의 성질에 주목하며 도형의 성질을 분석할 수 있다.
도형들 사이의 포함관계를 거의 인식하지 못한다.

사고 대상은 도형의 모양
사고의 도구 도형의 성질

Question 4

관계적/추상적 수준

Answer 4

개념에 대한 추상적 정의를 형성하고, 개념의 성질에 대한 필요조건과 충분조건을 구분하며, 기하 영역에서 논리적으로 논쟁할 수 있다.

도형의 성질의 일부는 도형의 정의로 채택되고 나머지 성질은 논리적 방법으로 정리되며, 여러 도형사이의 관계와 한 도형의 여러 성질 사이의 관계를 이해한다.

도형을 위계적으로 분류할 수 있고 자신들의 도형 분류를 정당화하기 위해 비형식적 논증을 제시할 수 있다.

국소적 조직화는 가능하지만 연역적 추론은 소규모 또는 국소적으로 파악된다.

사고의 대상 성질
사고의 수단 명제

Question 5

형식적 연역 수준

Answer 5

연역의 의미와 공리적 방법의 의의가 이해된다.
공리적 체계 내에서 정리를 확립할 수 있으며, 무정의 용어, 공리, 정리 사이의 논리적인 차이점을 인식한다.
연역적 추론을 이해하며 형식적 증명을 구성할 수 있다.

사고의 대상 명제
사고의 수단 논리

Question 6

엄밀한 수학적 수준

Answer 6

여러 수학체계에 대하여 형식적으로 추론할 수 있는 수준.
모델을 참고하지 않고 기하를 연구할 수 있으며,
공리, 정의, 정리 등의 문장을 형식적으로 다룸으로써 추론할 수 있다.
전문적인 수학자 수준이다.

Question 7

기하영역에서의 수학화 단계

Answer 7

주변현상을 관찰하여 도형이라는 본질로 조직

• –도형의 성질 발견
• –국소적 조직화 : 정의하기, 증명하기
• –전체적 조직화 : 공리화
• –존재론적 결합 끊기

Question 8

증명지도

Answer 8

반힐레의 수준 이론을 반영하여 증명지도를 한다면

학생 스스로 증명에 대하여 많은 시간을 들여 사고해보는 시간이 주어져야 하고, 증명을 도입하기 이전에 학생들의 사고를 수준3에 이르게 하기 위한 충분한 교수 학습 활동이 선행되어야 할 것이다.

Question 9

기하학습 수준 이론의 특징

Answer 9

연속성, 촉진성, 인접성, 언어성, 분리성

Question 10

연속성

Answer 10

수학 학습에서는 하위 수준을 통과하지 않고 상위 수준에 도달할 수 없으며, 수학적 사고는 모든 수준을 순차적으로 거쳐서 발달하게 된다는 것이다. 즉, n-1 수준을 거치지 않고는 n 수준에 도달할 수 없다.

Question 11

촉진성

Answer 11

모든 학생들이 같은 속도로 각 수준을 통과하지는 않으며 수준의 이행은 적절한 지도에 의해 촉진될 수 있고 부적절한 지도에 의해 지연될 수도 있다.

Question 12

인접성

Answer 12

더 높은 수준에서는 낮은 수준에서의 행동이 분석의 대상이 된다.

전 수준에서 암묵적으로 이해된 개념이 다음 수준에서는 분명하게 이해된다.

Question 13

언어성

Answer 13

각 수준이 그 자체의 언어적 상징과 그 상징들을 연결하는 관계체계를 가지고 있음을 의미한다.

따라서 수준의 상승은 언어의 확장과 관계된다.

Question 14

분리성

Answer 14

서로 다른 수준에서 추론하는 사람은 서로를 이해할 수 없다는 것이다.

이것은 교사와 학생 사이에서 자주 발생하는 현상이며 학습 지도를 어렵게 만드는 요인이 된다.

Question 15

기하 수준에 근거한 학습 단계

Answer 15

질의 안내 단계
안내된 탐구 단계
명료화단계
자유로운 탐구 단계
통합단계

Question 16

학습 단계 - 질의 안내 단계(탐색단계)

Answer 16

교사와 학생 사이의 대화를 통해서 새로운 학습 주제를 소개한다.

학생들은 탐구할 분야에 친숙해지기 위한 활동을 하면서 앞으로 공부할 과제의 방향이 무엇인지 배운다.

Question 17

학습 단계 - 안내된 탐구 단계

Answer 17

학생은 신중하게 계열화된 활동을 통해 새로운 학습 주제의 특징에 익숙해지면서 탐구분야의 구조를 점진적으로 파악한다.

서술시
학생들은 신중하게 계열화된 활동에 능동적을 참여하면서 ( 제시문에서 알게된 내용 적기 ) 라는 탐구분야의 구조를 점진적으로 파악한다.

Question 18

학습 단계 - 명료화 단계

Answer 18

교사의 개입이 최소인 상태에서 학생들은 자신의 개념화(자신들이 관찰한 주제에 대해 개념을 형성)와 어휘(구성된 개념을 표현)를 정련시킨다.

학생은 이전 단계에서 익숙해진 과제를 명확히 하며 전문적인 용어를 학습한다.
학생은 탐구분야의 구조에 대한 자신의 견해를 표현하고 관계체계를 형성하기 시작한다.

Question 19

학습 단계 - 자유로운 탐구 단계

Answer 19

학생은 문제해결의 성격을 갖는 보다 복잡한 과제에 도전하게 된다.
학생은 여러 가지 해결 방법을 찾아봄으로써 탐구분야의 구조에 정통하게 된다.
과제를 완성한 후에 공부한 그 영역 안에서 스스로 자신이 나아갈 바를 정해서 새로운 관련성을 찾는다.

Question 20

학습 단계- 통합 단계

Answer 20

학생은 자신의 학습을 재검토하고 대상과 관계의 새로운 그물망 형성을 위해 그동안 배운 개념과 관련성을 통합하는 단계이다.

Question 21

반힐과 프로이덴탈의 이론의 공통점/ 피아제와 반힐의 이론의 공통점과 차이점

Answer 21

프로이덴탈과 반힐의 이론의 공통점
:인지발달과정을 나선식 교대 과정을 통하여 이루어지지는 것으로 파악

피아제와 반힐의 이론의 공통점과 차이점
공통점
1.수학적 사고 수준의 항존성 가정
2.비언적 지식의 발달 강조
3.자기 자신의 지식을 활동적으로 구성하는 학생의 역할을 강조하고 있다.

차이점
반힐
- 가장 강조하고 있는 것은 내용에 관한 것으로서, /관계망이 충분히 형성되었을 때 더 높은 사고 수준으로 발달한다고 주장한다.
- 교수 학습 과정이 수준의 발달에 지대한 영향을 끼친다고 보고 있다.

피아제

• 어떤 논리적 조작은 그것이 적용되는 내용과는 독립적으로 발달하며 이러한 조작을 통해서 새로운 수학 지식이 세워진다고 했다는 점을 들고 있다.
• 교수학습과정과는 관련 없이 학생들은 조작을 통해서 수학적 지식을 만들어낼 수 있다.

Question 22

제 3수준과 제 4수준이 수학교육에 주는 시사점

Answer 22

제 3수준에서의 관계망 구축은 제 4수준에서의 연역적 추론의 필연적인 전제조건이라고 할 수 있다.

Question 23

반힐레의 기하수준에 근거한 교수학습 단계의 시사점

Answer 23

교수학습 단계를 통해 수준의 비약이 가능하도록 하기 위해서는 교사의 일방적인 설명이 아니라 학습자 스스로의 탐구 활동이 가장 중요하다.