준경험주의

Question 1

준경험주의 - 수학관

Answer 1

①수학적 지식의 성장 : 증명과 반박의 논리에 의해 추측이 끊임없이 개선되는 변증법적 과정 속에서 성장

②수학적 지식은 참임이 입증된 것이 아니라 반증 가능한 것이며 반증되기 전까지만 잠정적으로 참인 것으로 취급되는 일종의 추측

Question 2

준경험주의-증명관

Answer 2

원래의 추측을 여러 개의 부분추측으로 분해하는 사고 실험
추측이 참임을 확립하는 것이 아니다.
본래의 추측을 부분추측, 곧 보조정리로 분해하여 반박의 시야를 넓히는 것

Question 3

국소적 반례

Answer 3

부분추측을 반박하지만 원래의 추측을 반박하지 않는 반례

Question 4

전면적 반례를 해결하는 방법

Answer 4

기각
괴물배제법
예외배제법
보조정리합체법

Question 5

괴물배제법

Answer 5

①정의 : 추측은 이미 증명되었기 때문에 증명된 추측은 옳으며 → 오히려 반례가 잘못되었다고 보고 → 반례를 괴물로 배제하기 위하여 → 추측에 포함된 개념을 처음보다 명확하고 정교하게 재정의하고 축소하여 → 추측을 보호하는 방법

② 추측에 사용된 용어가 처음보다 정교하게 재정의 됨

Question 6

예외배제법

Answer 6

①정의 : 새로운 반례가 나타날 때마다 → 예외에 대하여 언급한 조건 절을 추측에 첨가하여 → 안전한 영역으로 철수하는 방법
②문제점 : 과대 또는 과소 일반화의 위험을 내포한다.
예외적인 경우를 일일이 열거하여 제외시키는 데에 한계

추측을 개선하는 데 도움을 줄 수 있다.

Question 7

보조정리합체법

Answer 7

①정의 : 반례가 출현하게 된 원인이 되는 부분추측을 찾아 그것을 원래의 추측에 합체시키고 증명을 고치는 방법

②특징 : 새로운 추측을 발견하는 과정과 그 추측을 증명하는 과정이 동시에 이루어지는 방법이다.(증명과 추측에 개선이 동시에 이루어짐)

③시사점 : 라카토스 이전에는 수학적 발견의 논리는 귀납이나 유추이고 정당화의 논리는 연역적 증명이라는 견해가 일반적이었으나, / 라카토스는 발견과 정당화의 논리가 분리되지 않고 하나로 통합된다는 견해를 제시한 것으로 볼 수 있다.

Question 8

준경험주의-수학적 지식의 성장 과정

Answer 8

1단계 : 추측을 제기하는 단계
-제기된 문제를 시행착오에 의해서 잠정적으로 해결하는 과정에서 수학적 추측을 제시하거나 소박한 추측을 얻는 단계

2단계 : 추측을 부분추측으로 분해하는 단계
-추측을 부분추측으로 분해하여 그 비판 가능성을 높이는 사고 실험하는 단계

3단계 : 반례가 등장하고 추측과 증명을 반박하는 단계

4단계 : 증명을 검토하여 증명과 추측을 개선하는 단계
-증명이 검토되고 전면적인 반례가 국소적인 반례가 되는 유죄인 보조정리가 발견되어 추측의 조건으로 합체되어 추측이 정리로 개선되며 이론적 개념이 출현는 단계

Question 9

준경험주의 - 교사

Answer 9

① 교사는 학생이 증명을 할 때 추측과 증명의 각 단계에 대한 적절한 반례를 준비해 두었다가 필요할 때 제시할 수 있어야 한다.
② 교사가 증명을 제시하는 경우에는 학생 수준에서 반박이 불가능한 증명을 단번에 제시하여서는 안 되며 그렇다고 반박을 하기 위하여 터무니없는 증명을 제시하여서도 안 된다.
이런한 수업을 위해서는 교사의 철저한 교재 연구에 바탕을 둔 지도 과정에 대한 사고실험이 요구됨

Question 10

라카토스가 주장하는 증명의 두 가지 의미

Answer 10

① 증명의 본질은 사고 실험이라는 것 (머릿속에서 어떤 대상들을 다루면서 사고활동의 결과를 관찰함)

② 증명절차는 추측을 부분추측으로 분해하여 이미 알고 있는 것과 연결시키는 것 (증명절차는 분석적 사고방식)

Question 11

준경험주의 -시사점

Answer 11

수학은 이미 완성된 산물이 아니라 인간의 활동 결과 만들어진 것임을 이해할 수 있다.

Question 12

라카토스의 사고실험

Answer 12

증명을 할 때 추측과 증명의 각 단계에 대한 적절한 반례에 대해 먼저 충분히 수학적 사고 과정을 거치는 것

Question 13

라카토스 - 수학적 발견술의 두 가지 패턴(암기보다는 이해)

Answer 13

1. 소박한 추측 과정: 
문제로부터 출발하여 추측을 제시하고 / 이를 부분추측으로 나눈 다음 / 
증명을 주의 깊게 분석하여 / 
반례의 원인이 되는 부분추측을 찾아 원래의 추측에 합체시키고 / 
부분추측을 수정하는 과정
- 증명을 주의 깊게 분석하는 활동에 초점

2. 연역적 추측 과정: 개선된 추측과 증명을 좀 더 엄밀하게 하기 위해 반례를 반영하여 개선된 추측 및 증명을 수정하는 과정
   - 증명을 엄밀하게 하는 활동에 초점

Question 14

라카토스의 발견과 정당화의 논리

vs 폴리아

Answer 14

라카토스 이전(폴리아)에는 수학적 발견의 논리는 귀납이나 유추이고 정당화의 논리는 연역적 증명이라는 견해가 일반적/

라카토스는 발견과 정당화의 논리가 분리되지 않고 하나로 통합된다는 견해를 제시한 것