문제해결

Question 1

정형 문제와 비정형 문제

Answer 1

정형문제 : 이미 제시된 알고리즘을 사용하여 전형적인 예제의 풀이 방법을 그대로 적용하여 해결할 수 있는 문제.

비정형문제 : 문제를 해결하는 알고리즘이나 답을 얻는 방법을 모르는 상태에서 문제해결 전략이나 독자적인 해결방법을 구안하여 풀어야 하는 문제.

Question 2

숀펠드의 문제해결행동의 기본요소

Answer 2

숀펠드는 수학적 문제를 해결하기 위해 자원, 발견술, 통제, 신념체계가 필요하다고 강조했다.

Question 3

자원

Answer 3

자원 :문제를 해결하기 위해 개인 사용할 수 있는 도구와 기법

예)문제와 관련된 수학적 지식, 직관, 알고리즘, 법칙에 대한 이해

Question 4

발견술

Answer 4

생소하고 비정형적인 문제를 해결하기 위한 전략과 기술

• 문제에 대한 이해를 깊게 하거나 해결로 이르도록 하는 데 도움을 주지만 완전한 해결을 보장하는 것은 아니다.
• 단서제공의 역할을 한다.

예) 유추, 일반화, 특수화, 보조문제 이용하기, 거꾸로 풀기

Question 5

통제

Answer 5

자원과 전략의 선택과 수행에 관한 전반적인 결정능력

• 문제해결의 모든 과정에 영향을 미친다.
• 통제가 결여 되면 자원을 낭비하고 능력에 미치는 문제를 쉽게 풀지 못한다.

예)계획하기, 감시와 평가, 의사결정, 의식적인 메타인지적 결정

Question 6

신념체계

Answer 6

학습자가 수학에 대해 가지고 있는 가치관이나 선입견 같은 것.

Question 7

문제해결과정- 왈리스

Answer 7

준비기 : 해결하고자 하는 문제의 특징을 파악하고 심사숙고하여 선택된 관련 표상의 결합을 의식적으로 시도하는 단계

부화기 : 의식적인 탐색노력이 포기되고 무의식적인 사고활동이 이루어지는 단계

계시기 : 돌연히 해결의 실마리가 떠올라 ‘아하’ 경험을 하는 통찰의 순간이 오는 단계

검증기 : 의식적 사고를 통하여 문제를 해결하고 결과를 명확하게 정리하는 단계

Question 8

폴리아의 문제가 갖추어야 하는 요건

Answer 8

목표, 장애요인, 해결자의 인식

Question 9

폴리아의 문제해결 4단계

Answer 9

문제이해단계
해결계획단계
계획실행단계
반성단계

Question 10

문제이해단계 + 발문

Answer 10

문제를 이해하는 단계로 문제에서 구하려는 것과 주어진 것을 알고, 용어의 뜻을 파악하며, 문제를 분석하는 것이 이 단계에 해당한다.

미주자조 충만 그 적분

1. 미지의 것은 무엇인가
2. 주어진 것은 무엇인가
3. 자료는 무엇인가
4. 조건은 무엇인가
5. 조건은 만족될 수 있는가
6. 조건은 미지의 것을 결정하기에 충분한가, 불충분한가, 아니면 과다한가
7. 그림으로 그려보아라
8. 적절한 기호를 붙여라
9. 조건을 여러 부분으로 분해해 보아라.

Question 11

해결 계획 단계+발문

Answer 11

문제에서 주어진 것과 구하려는 것 사이의 관계를 파악하는 단계로 여러 가지 문제해결 전략을 이용하게 된다.

• 주어진 것과 구하려는 것 사이의 관련성을 즉각적으로 파악할 수 없을 때 -보조문제 고려

약관도달 일특버려 자조 유부핵 유먼정

1. 약간 다른 형태로 된 같은 문제를 본 적이 있는가
2. 관련된 문제를 알고 있는가
3. 도움이 될 것 같은 어떤 사실이나 정리를 알고 있는가
4. 문제를 달리 진술 할 수 있을까
5. 문제를 보다 일반적인 형태로 변형할 수 있을까
6. 문제를 보다 특수한 형태로 변형할 수 있을까
7. 조건 가운데 일부분만 남기고 다른 것은 버려 보아라 . 그렇게 하면 미지인 것은 어느 정도까지 정해지는 가?
8. 자료는 모두 사용했는가
9. 조건을 모두 사용했는가
10. 유사한 문제는
11. 문제를 부분적으로 풀 수 있는가
12. 문제에 포함된 핵심적인 개념을 모두 고려했는가
13. 자료로부터 무언가 유용한 것을 이끌어 낼 수 있을까?
14. 이 문제를 풀 수 없다면 이 문제와 관련된 문제를 먼저 풀어보아라.
15. 정의로 되돌아가 보자. 이 용어의 정의가 무엇이었는가?

Question 12

계획실행단계 + 발문

Answer 12

해결 계획에 따라 실행하는 단계이다.

1. 각 단계가 올바른지 명확히 알 수 있는가
2. 그것이 옳다는 것을 설명할 수 있는가

Question 13

반성단계 + 발문

Answer 13

문제를 해결한 과정을 처음부터 검토해 보고, 다른 방법으로 해결할 수는 없는 지를 알아보고, 혹시 다른 방법이 있으면 어느 방법이 더 나은지를 생각해 본다.

점점방문

1. 결과를 점검할 수 있는가
2. 풀이 과정을 점검할 수 있는가
3. 결과를 다른 방법으로 이끌어 낼 수 있는가
4. 결과나 방법을 다른 문제에 활용할 수 있는가

Question 14

부적절한 발문의 한계

Answer 14

1. 발문이나 권고는 모든 비밀을 교사가 다 벗겨 버림으로써 학생들이 해야 할 것을 거의 남겨 놓지 않는다.
2. 학생들이 당면한 문제는 이러한 발문과 권고를 이용하여 해결할 수 있을지는 모르지만 이러한 발문으로 문제를 해결한 경험은 미래에 다른 문제를 해결하는 데는 별 도움이 되지 못한다.
3. 학생은 교사가 어떻게 그와 같은 발문을 하고자 한 생각에 도달하게 되었는지를 거의 이해할 수 없다. 그 결과, 학생은 스스로 이러한 발문을 할 수 있는 능력을 갖추지 못하게 된다.

결과적으로 지나치게 구체적이고 특수한 발문이나 지나치게 일반적인 발문과 권고는 가급적 사용하지 않는 것이 바람직할 것이다.
학생들의 문제해결 활동을 효과적으로 자연스럽게 돕기 위해서는 교사가 학생의 사고를 자극하고 이끌어 주는 적절한 수준의 발문과 권고를 사용하도록 노력해야 한다.

Question 15

숀펠드의 수학적 문제해결 과정

Answer 15

이해 - 계획 - 어려운 문제에 대한 탐구 - 실행 -검증

Question 16

버튼의 문제해결 과정

Answer 16

도입 ( 문제를 이해하라) -공략(문제를 푼다) - 검토 (풀이를 검토한다.)-확장 (문제를 일반화한다.)
이는 폴리아의 문제해결 4단계 중 반성의 단계를 중시한 것이라고 할 수 있다.

버튼의 문제해결 모형은 전략의 사용과 구사에 초점을 맞추기보다는 문제를 풀고 난후에, 문제의 의미에 대한 음미, 후속 학습을 위한 일반화 등의 학습 활동을 강조한다.

Question 17

메타인지

Answer 17

자신의 사고 과정에 대한 인지로서 ‘인지에 관한 인지’, ‘사고에 관한 사고’ , ‘지식에 관한 지식’ 등으로 정의.

숀펠드는 문제해결 과정에서 메타인지적인 측면에 대한 고려가 필수적이라고 보았다.
문제해결과정의 4단계에 모두 영향을 미치지만 가장 밀접한 관련을 갖는 것은 반성의 단계라 할 수 있다.

Question 18

반성단계의 중요성

Answer 18

풀이과정과 결과를 개관하고 음미해 봄으로써 /

1. 오류를 발견 수정 ~ 문제풀이를 개선
2. 다른 문제와의 관련성을 조사하고 적용 가능성을 생각해 보는 가운데 ~ 획득한 지식이 견고히 되고 / 풀이과정이 단순화
3. 문제를 해결하는 능력을 발달시키는 데 / 매우 중요한 단계가 된다고 보기 때문이다.

Question 19

수학적 모델링

Answer 19

실세계의 여러 현상을 수학적인 수단에 의해 정리하고 조직하는 활동

• 수학적 모델링은 문제해결의 특징을 지니지만, 비수학적 문제 상황에서 출발하는 것을 기본으로 한다는 점에서 문제해결과 차별화된다.
• 비수학적 대상에서 수학적 표상을 찾는 것

Question 20

수학적 모델링을 통하여 수학교육에서 달성할 수 있는 목적

Answer 20

1. 새로운 수학적 개념과 방법을 이해한다.
2. 실생활 또는 다른 교과에서의 수학의 응용과 모델링의 실제를 이해한다.
3. 수학을 활용하여 실생활 또는 다른 교과와 연결된 맥락을 비판적이고 합리적으로 사고하려는 태도를 기른다.

Question 21

수학적 모델링을 통하여 달성할 수 있는 목적

Answer 21

1. 새로운 수학적 개념과 방법을 이해한다.
2. 실생활 또는 다른 교과에서의 수학의 응용과 모델링의 실제를 이해한다.
3. 창의적 사고와 문제해결 태도, 활동, 능력을 기른다.
4. 수학을 활용하여 실생활 또는 다른 교과와 연결된 맥락을 비판적이고 합리적으로 사고하려는 태도를 기른다.
5. 수학이 이미 완성된 산물이 아니라, 인간 활동의 결과로 만들어진 것임을 이해한다.

Question 22

수학적 모델링 과정

Answer 22

1단계: 현상을 관찰하여 / 그 현상 속에 내재되어 있는 문제 상황을 명료히 밝히고 / 문제에 영향을 미치는 중요한 요인들을 찾는다.

2단계 : 요인들의 관계를 추측하고 / 그 요인들을 수학적으로 해석하여 / 현상에 적합한 모델을 구축한다.

3단계 : 적절한 수학적 분석을 그 모델에 적용하여 수학적 결론을 얻기

4단계 : 수학적 결론을 현상에 맞도록 재해석하여 / 결론을 도출한다.

Question 23

문제제기의 의의와 역할, 중요성

Answer 23

1. 문제를 해결하는 과정에서 새로운 문제를 제기함으로써 원래의 문제를 재해석하게 되고 원래의 문제를 해결할 수 있는 단서가 생긴다.
2. 새로운 문제를 만들어봄으로써 / 원래의 문제를 이전과 전혀 다른 새로운 관점에서 볼 수 있게 함으로써/ 의미를 명확하게 이해할 수 있고/ 그로부터 새로운 생각을 하게 된다.

• 탐구 지향적인 학습 태도를 길러 준다.
• 학생들에게 이미 배운 지식을 종합적으로 이용할 수 있는 기회를 제공한다.
• 학력 수준이 낮은 학생들에게도 의미 있는 수학 학습 활동을 제공한다.

Question 24

문제제기의 유형

Answer 24

1. 수용 : 주어진 것을 그대로 유지하면서 탐구하여 문제를 제기하는 것으로 문제 제기의 첫 단계라 할 수 있다.
2. 도전 : 문제 제기의 두 번째 단계로 새로운 방향으로 나아가기 위하여 주어진 것을 뒤집어 보고, 거꾸로 해 보고, 조금 변형해 보는 단계이다.

Question 25

수용 단계에서의 다섯 가지 전략

Answer 25

1. 현상을 가지고 할 수 있는 일 : 현상을 탐구하여 관찰, 질문, 추측을 하는 것이다.
2. 내적 탐구 대 외적 탐구 : 사물이나 대상을 탐구할 때, 전체적으로 다른 현상과 관련성을 보는 것(외적 탐구)과 그 사물이나 대상의 각 부분들의 관련성을 보는 것(내적 탐구)이다.
3. 정확한 탐구 대 근사적 탐구 : 문제 제기에서 정확한 정답을 구할 수 있는 것만을 제기해야 하는 것이 아니라 근사적 답을 구하여 부족한 부분이 무엇인지를 알아보는 것이다.
4. 역사적 탐구 (실제적 역사 대 가설적 역사) : 역사적 사고에 따라 의미 있는 문제를 제시하는 것이다.
5. 사용하기 간편한 질문 목록 : 문제생성을 위한 출발점이 될 수 있는 질문 목록이다.

Question 26

도전 단계에서의 브라운과 윌터의 What it not 문제제기 전략

Answer 26

1. 출발점 선택하기
2. 속성 열거하기 : 문제를 구성하고 있는 요소나 속성을 모두 열거해본다.
3. What it not 수행하기 : 전 단계에서 열거한 속성이 만약 그렇지 않다면 어떻게 될 것인가 라는 의문을 가져본다.
4. 문제제기 하기 : 전 단계에서 생각한 의문을 기초로 새로운 문제를 만든다.
5. 설정된 문제 분석하기 : 새로 만든 문제를 분석하거나 해를 구한다.

Question 27

폴리아 4단계와 관련하여 문제제기의 역할

Answer 27

문제해결 과정의 계획 단계
- 문제를 해결하기 위한 수단으로써 유사한 문제를 생각해 보는 것과

문제를 해결한 후 반성 단계
- 결과를 이용하여 새로운 문제를 제기하는 것

으로 나눌 수 있다.