심화반과 추가암기 Flashcards
칸트의 선험적 직관
경험하기 이전에 직관에 의해 상상력만으로 수학적 개념에 대응하는 대상을 표상하는 것.
귀납적 이해
여러가지 보기의 관찰로부터 귀납적으로 파악하는 것
각지
전형적인 보기로부터 곧바로 그 구조를 파악하는 것
(고등학교)함수 교수학습방법 및 유의사항
함수개념은 중학교에서 학습한 내용을 확장하여 주어진 두 집합사이의 대응관계를 통해 이해하게 한다.
폴리아의 수학학습지도 원리
활동적 학습의 원리
최선의 동기유발원리
비약없는 단계의 원리
폴리아의 수학학습지도 원리 - 활동적 학습의 원리
학습하는 최선의 길은 스스로 발견해내는 것이므로, 효과적인 학습을 위해서는 가능한 한 생각할 시간을 충분히 주어 학습자 스스로 발견하도록 해야한다.
폴리아의 수학학습지도 원리 -최선의 동기유발의 원리
학습자는 배울 내용에 대해서 흥미를 가져야 하며 학습 활동에서 즐거움을 찾을 수 있어야 한다는 원리
학생의 경험과 관련이 있고 학생에게 의미가 있도록 문제를 선정하고 제시 - 학습내용 자체에 대한 지적 호기심을 갖게 하고, 학습 그 자체에서 오는 기쁨과 발견의 희열을 경험하도록 해야 한다.
지식의 세일즈맨으로서 교사의 의무는 수학이 흥미있고 노력할 가치가 있음을 확신시키는 일
폴리아의 수학학습지도 원리 - 비약없는 단계의 원리
효과적인 학습은 탐구 단계를 지나 언어화와 개념 형성 단계로 나아가야 하며 학습자의 정신적 태도의 통합과 형성에 기여해야 한다는 원리
수학학습은 행동과 지각을 통하여 탐구단계, 형식화단계, 동화단계를 거쳐야 의미있게 이루어질 수 있다.
- 탐구 단계 : 직관과 발견이 이루어지는 단계
- 형식화 단계 : 개념, 용어, 정의, 증명이 도입되는 단계
- 동화 단계 : 교재의 내적인 바탕이 인식되어 정신적으로 소화되고 학습자의 정신적 안목으로 흡수되어 적용과 보다 높은 일반화가 가능해지는 단계
딘즈효과
: 수업 상황에서 교사에 의해 교수학적 계약이 이행되지 않는 경우
- 딘즈가 강조한 놀이는 그 자체가 학습해야 할 수학적 구조를 담고 있기 때문에, 놀이를 통한 수업에서는 학생들의 능동적 활동을 통해 학습이 이루어지게 된다. - 브루소는 이와 같은 상황에서는 교사의 교수학적 개입이 이루어질 여지가 없다고 해석
브루소의 수학적 개념의 발전
원형수학적 개념
의사수학적 개념
수학적 개념
브루소의 수학적 개념의 발전 - 원형수학적 개념
무의식적이고 암묵적으로 문제해결에 사용되는 수학적 관념
브루소의 수학적 개념의 발전 - 의사 수학적 개념
암묵적으로 사용되는 원형 수학적 개념이 문제해결의 도구로 의식적으로 사용되지만, 의미를 중심으로 활용되는 정도에 그치고 인지구조에 조직되어 정착되지는 않은 상태이다.
브루소의 수학적 개념의 발전 - 수학적 개념의 단계
개념이 형식적인 형태로 인지 구조에 조직된다.
개념자체가 완전히 대상화되어 또 다른 개념학습을 위한 분석의 대상이 될 수 있는 상태가 된다.
탐구활동으로서의 통계적 사고(와일드와 팬쿡)
문제 : 체계적으로 정보를 확인하여 문제로 형식화하는 과정
계획 : 측정방법결정, 표본추출방법 결정, 자료관리체제 결정, 예비조사 실시 후 결과분석과정
자료 : 필요한 자료를 수집하고, 관리하며, 정돈하는 과정
분석 : 자료탐색, 계획된 분석, 계획되지 않은 분석, 가설 생성의 과정
결론 : 결과해석, 결론도출, 새로운 아이디어 모색, 상호의견교환의 과정,
역사발생적 수학교육론에 따른 증명지도
실험적 증명 : 세 각을 측정해 측정값을 표로 만들어보게 하고 세 각의 합이 180도 임을 발견
직관적 증명 : 평행선의 성질 대신에 그와 동치인 직사각형의 존재성을 전제로 한 직관적 증명 제시
수학적 증명 : 전제로부터 결론을 연역하는 형식적 증명 제시
자생적 관념(일상어 관련)
일상적인 의미가 생존력이 강함
단어의 수학적인 의미가 혼합되어 부적절한 개념이미지가 형성
증명지도에 대한 방안(우정호 책)
- 국소적 조직화, 분석과 종합, 발견과 정당화의 맥락의 통합
- 귀납의 불확실성에 따른 증명의 필요성 인식
- 역사발생적 수학교육론에 따라 실험적, 직관적, 수학적 증명의 단계를 거치는 증명지도
브루소의 교수학적 상황론에 근거한 진정한 지식의 획득을 위해 필요한 과정
진정한 지식의 획득을 위해서는 교수학적 상황에서 비교수학적 상황으로 전환되어야 한다.
이를 위해서는 수학학습에 대한 책임을 학생들에게 양도하는 것이 중요하다.
브루소 - 비교수학적 상황
교사의 중재 없이도 학생들이 스스로 자신의 수학적 지식을 문제해결의 도구로 활용할 수 있는 상황
폴리아 - 추론을 활용한 도형의 성질 지도
먼저 귀납추론을 통해 수학적 지식에 대한 발견 과정을 학생 스스로 경험하도록 한 후 - 연역 추론을 통해 발견된 수학적 지식을 명확하게 증명하는 것이 효과적
소크라테스 대화법
교사는 미리 가르칠 내용과 관련된 철저한 사고(사고실험)를 한 다음 학생에게 차례로 질문만 하고 학생은 주로 네/아니요란 대답을 한다. (간단한 대답도 가능)
소크라테스 - 비판(구성주의)
1)수업의 주도권은 교사에게 있다.
2)학생 자신이 능동적으로 진리탐구에 참여하고 있다고 보기는 어렵다.
3)학생이 발견해야 할 부분까지 교사가 거의 다 제시한다.
(프로이덴탈 – 교사가 안내뿐만아니라 학생 대신에 재발견 한다.)
소크라테스 -지도방법
소크라테스의 산파법에 따르는 수학 학습 지도 방법은 대화법이어야 하며,
학생들에게 질문을 던져 학생들 자신이 의견을 개진하도록 한 다음/
교사는 그것을 논박하여 / 무지와 곤혹감을 야기시킴으로써 /
알고자 하는 마음을 유발하여 / 대화를 통하여 / 원리를 발견시키는 방법
소크라테스의 사고실험
교사가 지도에 앞서 상상 속에서 학생들과 대화하고 토론을 하며 수업을 진행시키는 것 - 수업과 관련된 모든 사고를 미리 거치는 매우 세련된 학습-지도 방법
도구적 이해와 관계적 이해 활용한 수업
교사는 관계적 이해만을 고집하기보다는 두 가지 이해 방식이 장단점을 면밀히 파악하고 적절하게 혼합하여 활용할 때 가장 효과적인 학습이 이루어질 수 있을 것이다.
- 개념을 처음 배울 때에는 관계적 이해로 하되, 개념을 적용할 때에는 도구적 이해를 해야한다.
정당화 및 증명 지도에서의 공학적 도구의 활용의 한계 및 활용 방안
- (한계) 학생들의 수준에 맞는 정당화 과정이나 연역적으로 논증하는 과정 없이 딘즈의 수학적 다양성의 원리에 따라 공학적 도구를 활용하여 명제가 옳다는 것을 보여주기만 하면 이는 올바른 정당화 및 증명교육이 아니다.
- (활용방법) 정당화 과정을 지도할 때에는 직접적인 실험을 통한 정당화 과정이나 연역적으로 논증하는 과정을 거친 후 공학적 도구를 활용하여 특정한 도형의 증명을 통해 일반적인 형태의 모든 도형에 대해 증명이 가능하다는 것을 인식시켜 주어야 한다.
은유
: 보조 수단을 사용하지 않고 원관념과 보조관념을 직접 연결시키는 비유 방식
- 은유를 사용한 설명은 이해에 도움이 되기도 하지만, 조절이 불충분할 경우 중요한 점을 놓치기도 한다. - 인식론적 장애의 근원이 되기도 한다.
브루소 - 바람직한 교수학적 계약 상황
교사는 교수학적 상황을 통하여 학생들을 비교수학적 상황에 적응시킬 수 있어야 한다는 자신의 책임을 받아들여야 하며, 비교수학적 상황에의 적응의 책임이 학생에게 양도되도록 해야 한다.
브루소 - 교수학적 상황
: 교사가 학생들에게 수업을 위해 계획한 지식을 전달하고 학생은 학습 활동을 통해서 지식을 획득하게 되는 상황
- 교사는 자신의 교수학적 의도가 담긴 수학적 문제상황을 통해서 학생과 상호작용
교수학적 계약
: 교사는 수학적 지식을 가르쳐야 하고 학생은 그것을 배워야 한다는 것
