Thème 5

Question 1

Formule de Black-Scholes : notation

Answer 1

Feuille de formule

Question 2

Formule de Black-Scholes : interprétations probabiliste

Answer 2

S e^(-delta T) N (d1) : Espérance actualisée d’une variable aléatoire = à St si St > K et 0 sinon

N(d2) : Probabilité que St > K

K e^(-rT) N(d2) : Coût espéré, en valeur actuelle, d’exercer l’option

Question 3

Formule de Black-Scholes : interprétations financière

Answer 3

S e^(-delta T) N (d1) : Coût associé à l’achat de e^(-delta T) N (d1) actions

K e^(-rT) N(d2) : Emprunt pour financer (en partie) l’achat des actions

S e^(-delta T) N (d1) - K e^(-rT) N(d2) : Valeur du portefeuille

Question 4

Sous quelles conditions la formule est-elle valide?

Answer 4

-Taux sans risque constant
-Dividendes connus (en $ ou en rendement)
- Emprunts et prêts au taux sans risque
- Pas de coûts de transactions
- Pas de taxes
- Possibilité de ventes à découvert
- Rendements à capitalisation continus indépendants et normaux
- Volatilité des rendements connue et constante

Question 5

Formule de Black-Scholes généralisée

Answer 5

Voir feuille de formule

FP 0,T (K) = K e^(-rT)
FP 0,T (S) = dépends de l’actif sous-jacent (tableau du thème 1)

Question 6

Pourquoi la formule de Black-Scholes généralisée est-elle intéressante?

Answer 6

Pour plusieurs sous-jacents, il existe des marchés forward ou Futures très liquides.

Des structures à termes de prix forward et Futures sont donc disponibles pour ces actifs.

Il est alors facile d’obtenir un prix forward ou Futures pour une échéance donnée par
interpolation.

Ceci permet d’éviter d’avoir à trouver des inputs comme le taux de dividende ou le taux d’intérêt étranger

Pour cette raison, plusieurs praticiens dans l’industrie préfèrent cette formule (ou celle de Black)

Question 7

Formule d’interpolation linéaire

Answer 7

Feuille de formule

Question 8

Les lettres grecques

Answer 8

Elles sont les dérivées premières (et parfois seconde) par rapports aux intrants de la formule de Black-Scholes

Question 9

Delta : formule

Answer 9

Feuille de formule

Question 10

Delta interprétation financière (portefeuille de réplication)

Answer 10

Pour un call, le delta est positif (nombre d’actions (long) à détenir dans le portefeuille)

Pour un put le delta est négatif (nombre d’actions (court) à détenir dans le portefeuille)

Question 11

Delta interprétation financière (Dollar risk)

Answer 11

Pour un call, si le prix du sous-jacent augmente de 1$, la valeur du call augmente de delta$

Pour un put, si le prix du sous-jacent augmente de 1$, la valeur du put diminue de delta$

Question 12

Gamma : formule

Answer 12

Feuille de formule

Question 13

Gamme r : interprétation

Answer 13

Gamma mesure le changement dans le delta quand le prix de l’action augmente de 1$.

Il est identique pour un call et un put et est toujours positif

Il est très grand lorsque l’option est ‘‘near-the-money

Question 14

Vega

Answer 14

Changement de prix suite à une augmentation de 1% de vol

Question 15

Theta

Answer 15

Changement de prix suite à une diminution de 1 journée d’échéance

Question 16

Rho

Answer 16

Changement de prix suite à une augmentation de 1% de taux

Question 17

Psi

Answer 17

Changement de prix suite à une augmentation de 1% de taux de dividende

Question 18

portefeuille d’option : formule

Answer 18

Feuille de formule

exemple d’un Bull spread

Bull spread = 1 call avec K1 - 1 call avec K2

N = 2, n1 = 1 et n2 = -1

Delta portefeuille = 1 * delta call,K1 - 1 * delta call,K2

Question 19

Élasticité prix : risque de l’option en $

Answer 19

changement dans prix de l’option = Changement prix action * delta = epsilon * delta

Question 20

Élasticité prix : risque de l’option en %

Answer 20

Formule sur feuille de formule

interprétation : Mesure du levier financier implicite dans le portefeuille de réplication

Question 21

'’instantannés’’

Answer 21

L’élasticité dépend du delta, et le delta change dès que le prix du sous-jacent change

Les risques et rendements qui seront obtenus à l’aide des élascticités sont donc qualifiés de
“instantannés”, car ils changeront dès que le prix de l’action changera.

Question 22

Rendement instantané, espérance du rendement instantané, variance du rendement instantané et bêta de l’option

Answer 22

Feuille de formule

Question 23

Ratio de Sharpe : prime de risque d’une option

Answer 23

Formule

Question 24

Ratio de Sharpe : formule

Answer 24

Feuille de formule

Question 25

Ratio de Sharpe : interprétation

Answer 25

le ratio de Sharpe d’un call est identique à celui du sous-jacent
le ratio de Sharpe d’un put est égal au négatif du ratio de Sharpe du sous-jacent

Le signe du ratio de Sharpe dépend de la stratégie.
Le signe est déterminé, entre autres, par la proportion d’actions dans le portefeuille de réplication de la stratégie. Si cette proportion est négative, il est possible que le ratio de Sharpe de l’option soit égal au
négatif du ratio de Sharpe de l’action

Question 26

Volatilité implicite (théorie vs pratique)

Answer 26

En théorie, sigma implicite identiques pour différents T et K

En pratique, sigma implicite différents pour différents T et K, à cause de :
-Sourire de volatilité
-Structure à terme des volatilités
-Surface de volatilité (sourire + structure à terme)

Question 27

Surface de volatilité : formule de sigma implicite

Answer 27

Feuille de formule

K est divisé par S pour faciliter les comparaisons potentielles que nous pourrions faire pour différents actifs
sous-jacents

K/S et T sont placés à la puissance 2 afin de capter la courbure des volatilités implicites à travers ces dimensions (des fonctions ‡ la puissance 2 donnent des paraboles i.e. des courbes)

Question 28

Black-Scholes du praticien : application 1

Answer 28

Prédire un prix d’option : Va lire le pdf

Question 29

Black-Scholes du praticien : utilité de l’application 1

Answer 29

Le modèle peut être utilisé pour effectuer des analyses de sensibilité à propos des hypothèses adoptées. Par
exemple, il est possible d’examiner la sensibilité des prévisions à propos des valeurs possibles de S

Si nous prévoyons que, en moyenne, la volatilité sera plus grande dans une semaine pour toutes les options, nous pouvons faire des analyses de sensibilité en faisant varier le paramètre â0 (paramètre qui contrôle le
niveau moyen de la volatilité)

De telles analyses de sensibilité peuvent être très utiles, surtout si nous avons un portefeuille formé de plusieurs des options apparaissant dans l’échantillon

Question 30

Black-Scholes du praticien : application 2

Answer 30

Interpoler un prix d’option : va lire le pdf