Thème 5 Flashcards
Formule de Black-Scholes : notation
Feuille de formule
Formule de Black-Scholes : interprétations probabiliste
S e^(-delta T) N (d1) : Espérance actualisée d’une variable aléatoire = à St si St > K et 0 sinon
N(d2) : Probabilité que St > K
K e^(-rT) N(d2) : Coût espéré, en valeur actuelle, d’exercer l’option
Formule de Black-Scholes : interprétations financière
S e^(-delta T) N (d1) : Coût associé à l’achat de e^(-delta T) N (d1) actions
K e^(-rT) N(d2) : Emprunt pour financer (en partie) l’achat des actions
S e^(-delta T) N (d1) - K e^(-rT) N(d2) : Valeur du portefeuille
Sous quelles conditions la formule est-elle valide?
-Taux sans risque constant
-Dividendes connus (en $ ou en rendement)
- Emprunts et prêts au taux sans risque
- Pas de coûts de transactions
- Pas de taxes
- Possibilité de ventes à découvert
- Rendements à capitalisation continus indépendants et normaux
- Volatilité des rendements connue et constante
Formule de Black-Scholes généralisée
Voir feuille de formule
FP 0,T (K) = K e^(-rT)
FP 0,T (S) = dépends de l’actif sous-jacent (tableau du thème 1)
Pourquoi la formule de Black-Scholes généralisée est-elle intéressante?
Pour plusieurs sous-jacents, il existe des marchés forward ou Futures très liquides.
Des structures à termes de prix forward et Futures sont donc disponibles pour ces actifs.
Il est alors facile d’obtenir un prix forward ou Futures pour une échéance donnée par
interpolation.
Ceci permet d’éviter d’avoir à trouver des inputs comme le taux de dividende ou le taux d’intérêt étranger
Pour cette raison, plusieurs praticiens dans l’industrie préfèrent cette formule (ou celle de Black)
Formule d’interpolation linéaire
Feuille de formule
Les lettres grecques
Elles sont les dérivées premières (et parfois seconde) par rapports aux intrants de la formule de Black-Scholes
Delta : formule
Feuille de formule
Delta interprétation financière (portefeuille de réplication)
Pour un call, le delta est positif (nombre d’actions (long) à détenir dans le portefeuille)
Pour un put le delta est négatif (nombre d’actions (court) à détenir dans le portefeuille)
Delta interprétation financière (Dollar risk)
Pour un call, si le prix du sous-jacent augmente de 1$, la valeur du call augmente de delta$
Pour un put, si le prix du sous-jacent augmente de 1$, la valeur du put diminue de delta$
Gamma : formule
Feuille de formule
Gamme r : interprétation
Gamma mesure le changement dans le delta quand le prix de l’action augmente de 1$.
Il est identique pour un call et un put et est toujours positif
Il est très grand lorsque l’option est ‘‘near-the-money
Vega
Changement de prix suite à une augmentation de 1% de vol
Theta
Changement de prix suite à une diminution de 1 journée d’échéance
Rho
Changement de prix suite à une augmentation de 1% de taux
Psi
Changement de prix suite à une augmentation de 1% de taux de dividende
portefeuille d’option : formule
Feuille de formule
exemple d’un Bull spread
Bull spread = 1 call avec K1 - 1 call avec K2
N = 2, n1 = 1 et n2 = -1
Delta portefeuille = 1 * delta call,K1 - 1 * delta call,K2
Élasticité prix : risque de l’option en $
changement dans prix de l’option = Changement prix action * delta = epsilon * delta
Élasticité prix : risque de l’option en %
Formule sur feuille de formule
interprétation : Mesure du levier financier implicite dans le portefeuille de réplication
'’instantannés’’
L’élasticité dépend du delta, et le delta change dès que le prix du sous-jacent change
Les risques et rendements qui seront obtenus à l’aide des élascticités sont donc qualifiés de
“instantannés”, car ils changeront dès que le prix de l’action changera.
Rendement instantané, espérance du rendement instantané, variance du rendement instantané et bêta de l’option
Feuille de formule
Ratio de Sharpe : prime de risque d’une option
Formule
Ratio de Sharpe : formule
Feuille de formule
Ratio de Sharpe : interprétation
le ratio de Sharpe d’un call est identique à celui du sous-jacent
le ratio de Sharpe d’un put est égal au négatif du ratio de Sharpe du sous-jacent
Le signe du ratio de Sharpe dépend de la stratégie.
Le signe est déterminé, entre autres, par la proportion d’actions dans le portefeuille de réplication de la stratégie. Si cette proportion est négative, il est possible que le ratio de Sharpe de l’option soit égal au
négatif du ratio de Sharpe de l’action
Volatilité implicite (théorie vs pratique)
En théorie, sigma implicite identiques pour différents T et K
En pratique, sigma implicite différents pour différents T et K, à cause de :
-Sourire de volatilité
-Structure à terme des volatilités
-Surface de volatilité (sourire + structure à terme)
Surface de volatilité : formule de sigma implicite
Feuille de formule
K est divisé par S pour faciliter les comparaisons potentielles que nous pourrions faire pour différents actifs
sous-jacents
K/S et T sont placés à la puissance 2 afin de capter la courbure des volatilités implicites à travers ces dimensions (des fonctions ‡ la puissance 2 donnent des paraboles i.e. des courbes)
Black-Scholes du praticien : application 1
Prédire un prix d’option : Va lire le pdf
Black-Scholes du praticien : utilité de l’application 1
Le modèle peut être utilisé pour effectuer des analyses de sensibilité à propos des hypothèses adoptées. Par
exemple, il est possible d’examiner la sensibilité des prévisions à propos des valeurs possibles de S
Si nous prévoyons que, en moyenne, la volatilité sera plus grande dans une semaine pour toutes les options, nous pouvons faire des analyses de sensibilité en faisant varier le paramètre â0 (paramètre qui contrôle le
niveau moyen de la volatilité)
De telles analyses de sensibilité peuvent être très utiles, surtout si nous avons un portefeuille formé de plusieurs des options apparaissant dans l’échantillon
Black-Scholes du praticien : application 2
Interpoler un prix d’option : va lire le pdf
