Thème 4 Flashcards
Modèle de prix lognormal non reparamétrisé, sans dividende : trajectoire de prix
St1 = Sto e^R(to,t1), st2 = St1 e R(t1,t2), Stn = stn-1 e^R(tn-1, tn)
Modèle de prix lognormal non reparamétrisé, sans dividende : hypothèse
Les rendements à capitalisation continue sont i.i.d. Normal (alphah ; sigma^2h)
Sur une base annuelle, le rendement espéré et l’écart-type des rend. sont notés
alpha et sigma
Sur une base périodique, le rendement espéré et l’écart-type sont notés
alpha h et sigma h
La relation entre les paramètres annuels et périodiques
alpha h = alpha * h
sigma^2 h = sigma^2 * h
Modèle de prix lognormal non reparamétrisé, sans dividende : simulation
Simulations avec la procédure Normsim(mu h, sigma^2 h)
ou manuellement exemple :
avec 3 trajectoires simulées de S à la date t; la variable indicatrice I [S<100] sera:
S = 90 (I = 1), 110 (I = 0), 80 (I = 1)
Pr (st< 100) = (1+0+1)/3 = 0,66
E[S|S<100] = (90+80)/2 = 85
Modèle non reparamétrisé, sans dividende : distribution du rendement cumulé
Sur une base annuelle :
ln(stn/St0) suit normale (alpha t, sigma^2 t)
car n* ah = nah = nat/n = at
n* sigma^2 h = n * sigma^2 * h = n * sigma^2 * t/n = sigma^2 t
Modèle non reparamétrisé, sans dividende : valeur espérée du prix de l’action. Modèle sous les trois formes équivalentes
ln (St/So) suit normale (alpha t, sigma^2 t)
ln (St/So) = alpha t + sigma * racine t * z
St = So e^(alpha t + sigma*racine t *z)
Modèle de prix lognormal non reparamétrisé, sans dividende : valeur espérée du prix de l’action. Valeur espérée du prix de l’action
E [St] = So e^(alpha t) E[e^(sigma * racine (t) * z)]
E[St] = So e^(alpha t) e^(0+ 1/2sigma^2t)
E[St] = So e^((alpha + 1/2sigma^2)t)
Ici alpha est difficile à interpréter
Modèle de prix lognormal reparamétrisé sans dividende : valeur espéré du pris de l’action. Modèle sous les trois formes équivalentes
ln (St/S0) suit Normale [(alpha- 1/2 sigma^2)t, sigma^2t]
ln(St/S0) = (alpha-1/2 sigma^2)t +sigma racine (t) z
St = So e^((alpha - 1/2 sigma^2)t + sigma racine (t) z
Modèle de prix lognormal reparamétrisé sans dividende : valeur espérée du prix de l’action. Valeur espérée du prix de l’action
E[St] = So e^((alpha-1/3 sigma^2)t) E [e^(sigma racine(t) z]
E[St] = S0 e^((alpha -1/2 sigma^2)t) e^(0+1/2sigma^2 t)
E[St] = So e^(alpha t)
Ici alpha peut donc être interprété comme un rendement espéré (alpha = 1/t ln (E[St]/So))
Modèle reparamétrisé sans dividende : Pourquoi reparamétriser?
Puisque nous avons un paramètre qui représente le rendement espéré, il n’y a qu’à fixer ce paramètre égal au taux sans risque afin d’obtenir les probabilités risque neutres et évaluer des produits dérivés.
Si on utilise la distribution de probabilité risque neutre pour calculer les valeurs espérées, on peut tout actualiser au taux sans risque!
Inégalité de Jensen
alpha pas égale 1/t * E[ln(St/So)] = alpha -1/2 sigma^2
Modèle reparamétrisé avec dividende : rendement espéré
action sans dividende :
Rendement espéré (alpha) = gain de capital espéré
action avec dividende :
Rendement espéré (alpha) = gain de capital + gain de dividende
Modèle reparamétrisé avec dividende : distribution du rendement à capitalisation continu.
Feuille de formule
