Thème 2 Flashcards
Pourquoi examiner en détail l’arbre binomial?
Puisque c’est un modèle accessible illustrant plusieurs concepts clés tels que :
-Le portefeuille de réplication et probabilités risque neutre
-La tarification avec probabilités physiques
-La modélisation des incréments
-La version binomiale de Black-Scholes
Notation S
prix de l’actif
Notation r
taux d’intérêt sans risque (annuel à capitalisation continue)
Notation delta
taux de dividende (annuel à capitalisation continue)
Notation u
un plus le taux de gain en capital si un saut vers le haut
Notation d
un plus le taux de gain en capital (négatif) si un saut vers le bas
Notation K
prix d’exercice de l’option d’achat
Notation Cu
valeur de l’option d’achat dans la branche du haut
Notation Cd
valeur de l’option d’achat dans la branche du bas
Notation h
échéance de l’option (en années)
Portefeuille de réplication
à t=0, former un portefeuille composé d’actions et d’actifs sans risque pour répliquer parfaitement les flux monétaires de l’option à t=h
Delta majuscule
nombre d’actions dans le portefeuille de réplication
B
quantité empruntée (ou investie) en actif sans risque
Arbre pour une option d’achat position longue
à t=0 :
S
delta S + B
à t=h si u :
Su = u x S
Cu = max (Su-K, 0)
(delta x uS x e^(delta x h)) + ( B x e^(rh))
à t=h si d :
Sd = d x S
Cs = max (Sd-K, 0)
(delta x dS x e^(delta x h)) + ( B x e^(rh))
Que sont p* et (1-p*)
des probabilités risque neutre
Qu’est-ce que la probabilité risque-neutre?
Probabilité telle que le rendement espéré de l’action est égal au taux sans risque
Dérivés de style européen
Peuvent être exercés uniquement à la date d’échéance
Dérivés de style américain
Peuvent être exercés n’importe quand entre la date d’émission et la date d’échéance.
La plupart des options transigées en Bourse sur des titres individuels sont de style américain
Dérivés de style bermudien
Peuvent être exercées à des dates spécifiques avant la date d’échéance
Évaluation des dérivés de style américain et bermudien
Impossibilité d’utiliser le modèle de Black-Scholes, donc besoin de l’arbre binomial afin de tenir compte de la possibilité d’exercer avant l’échéance
Proportion des actions dans le portefeuille de réplication
Delta S/ (delta S + B)
Proportion des actifs sans risque dans le portefeuille de réplication =
B / (delta S + B)
Pourquoi ne pas utiliser les probabilités physiques pour le calcul de prix de produits dérivés?
-Pour les options, les proportions du portefeuille de réplication changent à chaque noeud
-Le changement de proportion entraîne un rendement requis non constant à travers le temps et les états
Pour les dérivés avec flux monétaires linéaires dans le sous-jacent (ex : forward prépayé)?
Si le flux monétaire du dérivé est linéaire dans le sous-jacent, alors les probabilités du portefeuille de réplication sont constantes à travers le temps et les états
Si les probabilités sont constantes, alors le rendement requis demeure constant
Que sous-tend le modèle binomial?
un processus stochastique
Qu’est-ce qu’un modèle de prix d’action réaliste?
Résultats avec prix positifs, variation réalistes et où le rendement espéré est le taux sans risque, tel que requis par évaluation avec probabilités risque neutres
À quoi sert l’arbre binomial forward?
Traiter les cas des actifs autres que des actions. Il sert de cas général
Options sur contrats Futures
le sous-jacent est un contrat Futures
Lorsqu’une option call est exercée, le détenteur obtient une position longue dans le contrat Futures, plus un montant égal aux prix Futures moins le prix d’Exercice
L’échéance de ces options est avant la période de livraison associée au Futures sous-jacent
La plupart de style américain
Exercice de l’option sur Futures n’entraîne pas nécessairement de livraison du sous-jacent(fermeture de position futures tout juste après l’exercice de l’option)
Pourquoi des options sur Futures (au lieu de directement sur le sous-jacent au Futures)?
Les contrats futures sont souvent plus liquides que l’actif sous-jacent (surtout les commodités)
Les prix Futures sont disponibles à chaque moment de la journée (pas le cas pour plusieurs actifs sous-jacents)
Avantage/inconvénient de l’arbre binomial Forward
A : Permets de traiter tous les types de sous-jacents
I : Moins connu que CRR
Avantage/inconvénient de l’arbre binomial Cox-Ross-Rubinstein
A : Modèle le plus connu
I : Possibilité de probabilités négatives
Avantage/inconvénient de l’arbre binomial Jarrow-Rudd
A : Probabilités risque neutre égale à 0,5
I : Moins connu que CRR
