Question de révision thème 3 suite Flashcards
Que représente la quantité N(a)?
P (x<a) = N(a), où N() est la fonction de densité cumulative pour le cas Normal (0,1)
X est distribuée selon une Normale(u; sigma^2). Si u = 0 et sigma = 1; comment peut-on calculer la probabilité que X soit entre 0:49 et 0:51 avec la fonction N()?
Pr(0,49<X<0,51) = Pr(X<0,51) - Pr(0,49<X)
= N(0,51) - N(0,49
= 0,69497 - 0,68793
= 0,00704
Pourquoi, dans plusieurs cas, doit-on soustraire la moyenne et diviser par l’écart type pour calculer la
quantité Pr(x < a) ?
Pour le cas Normale(u, sigma^2), convertir en Normal(0,1)
Pr (x < a) = Pr ( ((x-u)/sigma) < ((s-u)/sigma))
Pr (x<a) = N ((a-u)/sigma)
Expliquez comment on calcule P r(5 < x < 6) pour x qui suit une Normale(5; 2^2) avec Excel?
Pr(5 < x < 6) = Pr(x < 6) - Pr(x < 5)
= Pr ((x-u)/sigma < (6-5)/2) - Pr (
(x-u)/sigma < (5-5)/2)
= Pr (z < 1/2) - Pr (z< 0)
= N (1/2) - N (0)
on utiliser la fonction loi.normale.standard() sur excel pour calculer N()
Quel truc peut-on utiliser pour faciliter le calcul de P r (x > a) pour x suit une Normale(u; sigma^2)?
Si Pr (x<a) = N ((a-u)/sigma)
alors Pr (x>a) N (-(a-u)/sigma)
Calculez la variance et la valeur espérée de f(x) = 33 + 4 x sachant que x Normale(2; 3^2)
La valeur espérée est 41
La variance est 9*16 = 144
En classe, nous avons vus deux outils utiles. Quels sont ces deux outils?
Outil #1: si z suit une Normale(0; 1) alors x = u + sigmaz sera Normale(u; sigma^2)
Outil #2: le théorème central limite qui dit que une somme de n variables aléatoires (VA) i.i.d. est distribuée selon une loi normale lorsque n est très grand (et ce même si chaque VA est non normale)
Expliquez pourquoi on peut dire que x suit Normale(u; sigma^2) est équivalent à x = u + sigmaz où z suit Normale(0; 1)
E[x] = E[u + sigmaz] = E[u] + sigma E[z] = u
Var[x] = Var[u + sigmaz] = Var[u] + sigma^2 Var[z] = 0 + sigma^2 * 1 = sigma^2
Puisque z est normal, x doit l’être aussi puisque c’est une transformation linéaire de z
Comment peut-on simuler des nombres aléatoires lognormaux sachant qu’on peut simuler des nombres
aléatoires normaux?
On utilise les nombres simulés aléatoires normaux pour les mettre dans la formule des lognormaux
Pour une variable aléatoire X distribuée selon une loi Normale, quelle est la forme du graph de la fonction de densité? Expliquez à quoi est utilisée la fonction de densité cumulative.
Pour une variable aléatoire Normale, la fonction de densité est la fonction en forme de cloche
La fonction de densité cumulative est utile pour calculer Pr(X < a) où a est une nombre
quelquonque.
Pourquoi peut-on utiliser la fonction de densité cumulative normale pour calculer une probabilité dans un contexte lognormal?
étant donné la symétrie de la densité normale?
Quelle est la valeur espérée de e
x pour x Normale(2; 3^2)?
e^6,5 = 665,14
