Question de révision thème 11 Flashcards
12.Quelle oeuvre littéraire célèbre a inspiré la question précédente?
Le petit prince HAHAHAHA
- Si Xt suit un Brownien géométrique, quelle est la distribution de ln XT? Quelle est la valeur espérée de XT? Quel est le rendement espéré de XT?
ln XT ∼N(ln X0 + (alpha−( σ^2/2) )T,σ^2 T)
E[XT] = X0 ^ (alpha T)
E[ln XT/X0] = (alpha−( σ^2/2)) T
Décrivez la forme de la tendance d’un Brownien
Le Brownien standard : Absence de tendance déterministe
Le Brownien arithmétique : Tendance linéaire. Distribution normal
Le Brownien : Tendance exponentielle. Distribution lognormal
Pourquoi le Brownien arithmétique n’est-il pas approprié comme processus pour décrire le prix des actions?
Avec le Brownien arithmétique il y a une possibilité de valeurs négatives. De plus, la tendance d’une action n’est pas linéaire, alors que le Brownien arithmétique oui
Dessinez une trajectoire du Brownien arithmétique avec alpha=0 et sigma=0
Ça donne une ligne horizontale avec y = prix de l’action
Pourquoi le Brownien géométrique est-il un bon processus pour modéliser le prix des actions?
Distribution lognormal, moyenne non égale à 0 et que le processus de prend pas de valeur négative
- Le logarithme d’un Brownien géométrique est un Brownien arithmétique. Expliquez.
Supposons que S est un Brownien géométrique (dS = S(alpha )dt + S sigma dZ). La transformation ln S est donc une fonction du Brownien géométrique. Comme expliqué dans vos diapositives, le processus suivis par lnS (qui est trouvé avec le lemme d’Itô) est d ln S = (alpha - delat - 1/2 sigma^2 dt + dZ qui est un Brownien Arithmétique (remarque: même si le terme devant le dt contient plusieurs paramètres, il est constant, comme dans le cas du Brownien Arithmétique…)
- À quoi sert le lemme d’Itô?
Le Lemme d Itô est (de façon approximative) comme une série de Taylor d ordre 2. Pour un Brownien géométrique, il nous indique le processus que suivra C (S;t) : prix du dérivé en fonction du temps.
Très utile avec les processus Brownien géométrique, mais il peut aussi s’appliquer a d’autres processus.
Ainsi, il s’agit d’un outil mathématique qui aide à trouver le processus d’une chose qui dépend de quelque chose d’autre (si on a le processus d’une actions, on peut trouver le processus d’un prix??.
- Pour le produit de deux Brownien géométriques, dans quel cas obtient-on que le rendement espéré du produit est plus grand que la somme des rendements espérés des Browniens? Pourquoi?
Quand la corrélation entre les deux Browniens est plus grand que 0. p > 0
- Dans le contexte de C(S1;S2)=S1 S2 avec S1 et S2 des Browniens géométriques corrélés, à partir du processus pour identifié dans vos notes de cours avec le Lemme d’Itô multivarié :
(a) Calculez la valeur espérée de (d S1 S2)/(S1 S2)
E [(d S1 S2)/(S1 S2)] = E[( alpha1+ alpha2+ sigma1 sigma2 rho) dt + sigma1dZ1+ sigma2 dZ2]
= (alpha1+ alpha2+ sigma1 sigma2 rho) dt + sigma1E [dZ1] + sigma2 E[dZ2]
=( alpha1+ alpha2+ sigma1 sigma2 )dt
b) Calculez la variance de (d S1 S2)/ (S1 S2)
dZ1 = epsilon1 racine(dt) et dZ2 = epsilon2
racine(dt)
Var [(d S1 S2)/(S1 S2)] = Var [ ( alpha1+ alpha2+ sigma1 sigma2) dt + sigma1 epsilon1 raine(dt) + sigma2 epsilon2 racine(dt)]
= Var [sigma1 epsilon1 racine(dt) + sigma2 epsilon2 racine(dt)]
=E [(sigma1 epsilon1 racine(dt) + sigma2 epsilon2 racine(dt) - E [sigma1 epsilon1 racine(dt) + sigma2 epsilon2 racine(dt)])^2]
=E [sigma1^2 epsilon1^2 dt + sigma2^2 epsilon2^2 dt + 2 epsilon1 epsilon2 sigma1 sigma2 dt]
=(sigma1^2 + sigma2^2 + 2 rho sigma1 sigma 2) dt
c) Comment peut-on interpréter la quantité
rendement espéré annualisé ? Je sais que techniquement c’est pas ça
Chat dit que c’est le taux de rendement instantanné
d) Pourquoi retrouve-t-on le terme 1
dt dans l’équation de la question précédente?
Taux d’actualisation ou d’annualisation
e) Quelle est l’intuition financière expliquant pourquoi le rendement espéré de C(S1;S2) n’est pas simplement la somme des rendements espérés de S1 et S2 lorsque la corrélation est positive.
C’est une question de synergie et de covariance.
Quand deux processus sont corrélés le risque est supérieur. Donc si deux Browniens sont corrélé positivement tu vas vouloir rémunéré le risque additionnel, donc tu vas demander un rendement additionnelle.
