Thème 3 Flashcards
Quelle est la principale différence entre une VA continue et discrète?
Une VA continue peut prendre une infinité de valeurs dans un intervalle donnée, contrairement au VA discrètes qui prennent un nombre fini de valeurs
Pourquoi avons-nous besoin de la notion d’intégrale défini?
Pour une VA continue, les probabilités et les espérances se calculent avec une intégrale définie
L’intégrale défini est une somme :
- On subdivise l’intervalle [a; b] en n sous-intervalles plus petits
- La longueur de chaque sous-intervalle est noté delta xi
- On choisit un point arbitraire représentatif dans chaque intervalle
- On effectue la somme
Pourquoi examiner le cas de la variable uniforme (0,1)
- C’est le cas le plus simple d’une VA continue
- La plupart d’entre vous avez déjà une connaissance de cette distribution
- Nous pouvons donc passer l’intuition des calculs avec les VA continues de façon plus
transparente avec ce cas - C’est également une distribution importante que nous utiliserons plusieurs fois dans le contexte de notre cours
Une VA distribuée selon une uniforme(0, 1)
Elle peut prendre une infinité de valeurs entre 0 et 1 qui ont toutes la même probabilité d’être choisies, donc E[X] = 0,5
La probabilité d’une valeur précise de cette VA est nulle, puisqu’il y a une infinité de réalisations possibles
Pourquoi alors se casser la tête avec ce calcul (intégrale approximée par une somme ?!?
Lorsque exprimé comme une sommation, le calcul de probabilité avec l’intégrale définie est finalement très semblable au calcul de probabilité que nous ferions pour le cas d’une variable discrète
Pourquoi avons-nous donc besoin de savoir qu’une intégrale peut être réécrite comme une somme?
Ça permet de mieux comprendre la vraie nature d’une valeur espérée d’une VA continue
Pourquoi standardiser les VA?
Une VA standardisÈe est une VA dont la moyenne a été ramenée à 0 et la variance à 1.
Il est souvent intéressant de standardiser une VA, car certains outils très utiles sont parfois
uniquement disponible pour le cas d’une VA avec une moyenne de 0 et une variance de 1
Comment standardiser une VA : Si X est une VA continue avec E [X ] = mu et Var[X ] = sigma^2
la VA standardisée sera Z = (X-mu)/sigma et E[Z] = 0 et Var[Z] = 1
Le modèle de tarification d’option de Black-Scholes utilise quelle une hypothèse?
Une hypothèse de
distribution lognormale pour les prix d’actions
Calcul par simulation (distribution normale)
Avec exemple Excel :
- Simuler n valeurs de x suit Normale(mu; sigma^2) à l’aide de la fonction NORMSIM(mu; sigma^2)
- Calculer les proportions pour un histogramme avec la procédure “Histogramme”
- Calculer les proportions cumulatives
- Interpoler les proportions cumulatives pour les probabilités
- Calculer la moyenne et la variance de f (x)
Calculs théorique (distribution normale) : Fonctions de densité et de densité cumulative
la notation compacte utilisée dans le manuel : Pr(x < a) = N(a)
N()?
C’est la fonction de densité cumulative pour le cas Normale (0,1)
Calculs théorique (distribution normale) : probabilités
Formule sur la feuille de note
Pourquoi peut-on utiliser un changement de signe du terme à l’intérieur de la fonction N()?
Étant donnée la symétrie de la densité normale
Calculs théorique (distribution normale) : opérateur d’espérance et de variance
À écrire sur la feuille de formule?
Théorème central limite
Une somme de n variables aléatoires
(VA) i.i.d. est distribuée selon une loi normale lorsque n est très grand (et ce même si chaque VA est non normale)
Variables aléatoires lognormales
Une v.a. lognormale est une transformation monotone d’une v.a. normale
Si x suit Normale (mu, sigma^2)
y e^x suit lognormale (mu, sigma^2)
Si y suit lognormale (mu, sigma^2) alors
ln(y) = ln(e^x) = x suit une normale (mu, sigma^2)
Remarque sur les variables lognormale
Une variable aléatoire lognormale prend toujours des valeurs positives c’est donc une distribution intéressante pour modéliser des prix d’actions
La distribution lognormale : calcul par simulation
- Simuler n valeurs de x suit Normale(mu; sigma^2) avec la fonction NORMSIM(mu; sigma^2)
- Calculer y = e^x
- Calculer les proportions pour un histogramme
- Calculer et interpoler les proportions cumulatives
- Calculer la moyenne et la variance de y
la distribution lognormale : fonction de densité et densité cumulative
À mettre sur la feuille de note?
La distribution lognormale : probabilité
Déjà sur la feuille de note
la distribution lognormale : valeur espérée d’une v.a lognormale
À mettre sur la feuille de note?
