Question de révision thème 12 Flashcards
- Expliquez pourquoi une option et son sous-jacent ont des ratios de Sharpe identiques?
Car un dérivé et son sous-jacent partagent la même source d’incertitude
- À quoi peut être utile de savoir que deux titres financiers avec une source de risque commune auront des ratios de Sharpe identiques?
C’est utile pour trouver le rendement espéré requis d’une fonction de St et le processus risque neutre
3.Dans le raisonnement montrant légalité des ratios de Sharpe :
a) La valeur du portefeuille est une fonction de Browniens géométriques. Pourquoi n’applique t-on pas le lemme d’Itô pour déterminer le processus du portefeuille?
Ce n’est pas requis car la dérivée seconde de P par rapport à S est zéro…
b) Pourquoi l’intérêt du montant prêté ou emprunté est-il calculé comme r I dt alors que r est un taux à capitalisation continue? Ne devrait-on pas faire ce calcul comme Ie r dt I?
pour dt très très petit, les deux façon de calculer donnent la même réponse…
c) Que représentent thêta1et thêta2 et pourquoi fixe-t-on ces quantités égales à 1/(sigma1 S1) et -1/(sigma2 S2) ?
Ça représente la quantité d’unité de S1 et S2?
On le fixe de cette manière pour avoir zéro risque
d) Pourquoi mentionne-t-on que dP doit être égal à zéro pour que le portefeuille obtienne un rendement de zéro?
le rendement est dP / P. Avec dP égal à zéro, le rendement est de zéro.
- Expliquez l’intuition financière (utilitaire) du changement de mesure permettant d’obtenir un processus risque neutre.
Le Z (choc Brownien) est un choc aléatoire de moyenne nulle. Ce Z n’est pas un choc aléatoire de moyenne nulle en termes d’impact sur l’utilité de l’investisseur (un Z négatif entraîne une plus grande baisse d’utilité, que la hausse d’utilité d’un Z positif de même ampleur)
Idée : transformer Z en choc aléatoire d’impact moyen nul en utilité (d Zvaguet = dZt + ( (alpha r)/sigma) dt)
Avec les Z originaux, l’investisseur demandait un rendement moyen plus grand que le taux sans risque en raison de l’impact moyen négatif sur son utilité
Avec les Zvaguet l’investisseur n’a plus besoin de demander une prime pour le rendement, car l’impact moyen est nul en termes d’utilité, et l’investisseur peut se contenter du taux sans risque
- Une fois le processus risque neutre trouvé, comment procède-t-on à l’évaluation de produits dérivés?
à t=0 qui paye ST à t=T
S0e^-δT ??
- Quelle est la distribution de ln SaT? Quelle est la valeur espérée de SaT?
par analogie avec le cas ST on peut déduire pour SaT
Le cas ST :
- ST est un Brownien géométrique : dS/S = [alpha - delta] dt+ sigma dZ
- ln ST à une distribution Normale ([alpha - delta - 1/2 sigma^2] T, sigma^2 T)
- ST a une valeur espérée égale à S0 e^([alpha - delta]T)
Le cas SaT (comparer avec le cas ST ci-dessus…) :
-SaT est un Brownien géométrique : dSa/Sa = [a (alpha - delta) +1/2 a (a - 1) sigma^2] dt + a sigma dZ
- ln SaT à une distribution Normale ([a ( alpha - delta) + 1/2 a (a-1) sigma^2 - 1/2 (a sigma)^2]
- SaT a une valeur espérée égale à Sa0 e^[a(alpha -delta) + 1/2 a (a - 1) sigma^2] T
- Pourquoi le gain en capital espéré (en termes de rendement) obtenu à partir du processus pour Sat est-il différent du rendement requis pour Sat?
C’est parce que Sa n’est pas un bien transigé
- Pourquoi doit-on se casser la tête avec l’approche risque neutre alors que l’approche du rendement requis (probabilité physiques) fonctionne pour trouver la valeur du forward prépayé?
Ça fonctionne pour ce cas (forward prépayé) car c’est un produit dérivé simple
avec des flux monétaires linéaires. Pour des cas de produits dérivés plus complexes (comme des options), c’est difficile à implanter avec des processus à temps états continus. Rappelez vous de l’intuition avec l’arbre binomial… avec des probabilités physiques, les rendements
requis changent à travers le temps et les états du sous-jacent…
