Thème 10 Flashcards
Quelles sont les hypothèses du thème 10?
-Aversion au risque
-Pas d’imperfections de marché
-Titres choisis pour optimiser le portefeuille
-Une période et deux états futur de l’économique (Expension H avec probabilité p et une récession L avec probabilité (1-p)
-Trois actifs financiers
Quelles sont les trois actifs financiers de l’hypothèse du thème 10
-Obligation zéro-coupon sans risque de valeur B0 payant payant 1$ à échéance
-Action avec flux monétaires Sh ou Sl
-Option d’achat sur l’action avec flux monétaire max(S1 - k, 0)
La forme facteur d’actualisation stochastique - UH
Valeur unitaire aujourd’hui de 1$ additionnel dans 1 période si expansion
La forme facteur d’actualisation stochastique - UL
Valeur unitaire aujourd’hui de 1$ additionnel dans un période si récession
La forme facteur d’actualisation stochastique - B0
B0 = p * UH * 1 + (1-p) * UL * 1
La forme facteur d’actualisation stochastique - S0
S0 = p *UH *SH + (1-p) * UL * SL
La forme facteur d’actualisation stochastique - C0
C0 = p * UH * max(SH - K, 0) + (1-p) * UL * max(SL - K, 0)
La forme facteur d’actualisation stochastique - Description plus précise de UH et UL
Ce sont des ratios d’utilités marginales actualisées
La forme facteur d’actualisation stochastique - Remarque à propos des U
UL > UH
L’utilité d’un dollar additionnel est plus grande en temps de récession qu’en temps d’expansion, car les dollars additionnel de revenus sont plus rares en récession
La forme facteur d’actualisation stochastique - Remarque choix du portefeuille
Puisque les investisseurs choisissent leurs portefeuilles de façon optimale, les UH et UL doivent être les mêmes pour tous les actifs.
La forme facteur d’actualisation stochastique - Mise en oeuvre
Les UH et UL ne sont pas observables, mais on peut les trouver avec des hypothèses et prix de marchés
UH = (B0 * SL - S0)/p(SL - SH)
UL = (B0 * SH - S0)/(1-p)*((SH - SL)
La forme rendement espéré - valeur d’un actif
Valeur actuelle des flux monétaires futurs espérés avec un taux d’actualisation qui reflète le risque des flux monétaires futurs
La forme rendement espéré - B0
B0 = ((p * 1) + (1-p) * 1) / (1+r)
La forme rendement espéré - S0
S0 = ((p * SH) + (1-p) * SL)/( 1+alpha)
La forme rendement espéré - C0
C0 = ((p * CH) + (1-p) * CL) / ( 1 + gamma)
La forme rendement espéré - Lien entre r, alpha et gamma
r < alpha < gamma
La forme rendement espéré - Remarques 1
On obtient les mêmes valeurs que pour la forme facteur d’actualisation stochastique
La forme rendement espéré - Remarque 2
Avec le rendement espéré, le calcul du prix se fait sans les UH et UL.
En fait les rendements espérés contiennent les UH et UL.
On résume donc deux nombres (UH et UL) avec un seul.
Cela implique une perte de flexibilité ( le rendement espéré change dès que le risque des flux monétaires change comme avec le modèle binomial en probabilité physique)
La forme rendement espéré - Mise en oeuvre
Les rendements espérés ne sont pas directement observables, mais se calcul avec des hypothèses et prix de marché:
r = ((p*1 + (1-p) *1) / B0) - 1
alpha = ((p * SH + (1-p) * SL)/ S0) - 1
gamma = ((p * CH + (1-p) * CL)/ C0) -1
La forme rendement espéré - Mise en oeuvre remarque
Avec plus d’hypothèse, on peut obtenir d’autres modèles de rendements espérés
Ex : CAPM
La forme risque neutre - p*
p* = (p * UH)/ (p * UH + (1-p) * UL)
La forme risque neutre - S0
S0 = (p* * SH + (1-p*) SL)/ (1+r)
La forme risque neutre - B0
B0 = (p* * 1 + (1-p*) * 1)/ (1+r)
La forme risque neutre - C0
C0 = (p* * CH + (1-p*) * CL)/ (1+r)
La forme risque neutre - Remarque 1
On obtient les mêmes valeurs que pour la forme facteur d’actualisation stochastique
La forme risque neutre - Pourquoi l’évaluation risque neutre fonctionne-t-elle ?
La probabilité risque neutre reflète les valeurs de UH et UL
La même probabilité est utilisée pour tous les actifs
Cette forme fonctionne donc si on a les mêmes UH et UL pour tous les actifs
C’est le cas ici, car on utilise l’hypothèse que les investisseurs choisissent leurs portefeuilles de façon optimale.
La forme risque neutre - Mise en oeuvre
Les probabilités risques neutre ne sont pas directement observables
p* = (S0 * (1+r) - SL)/ (SH - SL)
La forme risque neutre - le modèle binomial
Le modèle binomial est une automatisation des concepts ci-dessus.
Si on fait l’hypothèse que sigma est équivalent à une hypothèse pour SH et SL avec le modèle de Cox-Ross-Rubinstein:
u = e^(sigma* racine de 1)
d = e ^(-sigma * racine de 1)
SH = u S0
SL = d S0
p* = (1+r - d)/(u-d)
La forme processus de rendement risque neutre - Modèle de rendement
(S1 - S0)/ S0 = alpha + sigma * Z1
avec Z1 = { ZH avec p =0,5 et ZL avec p=0,5
et E [Z1] = Z0 = 0
La forme processus de rendement risque neutre - Intuition derrière le processus risque neutre
Z est un choc aléatoire de moyenne nulle en probabilité physique
Z n’est pas un choc aléatoire de moyenne nulle en termes d’impact sur l’utilité
En raison de l’aversion au risque, un Z négatif entraîne une plus grande baisse d’utilité, que la hausse d’utilité d’un Z positif de même ampleur
Idée: transformer Z en choc aléatoire d impact moyen nul en utilité
La forme processus de rendement risque neutre - Transformation pour obtenir des chocs qui auront un impact moyen nuls en termes d’utilité
Z(vague)1 = Z1 + ((alpha-r)/sigma) ———>
Z1 = Z(vague)1 - ((alpha-r)/sigma)
La forme processus de rendement risque neutre - processus risque neutre
(S1 - S0)/S0 = alpha + (sigma * Z1) ———–>
(S1-S0)/So = alpha + sigma * ( Z(vague)1 - ((alpha-r)/sigma)) ———————————–>
(S1-S0)/S0 = r + sigma*Z(vague)1
avec contrainte de valeur espérée de 0 pour les chocs
p* * Z(vague)H + (1-p*) * Z(vague)L = 0 ——–>
(-Z(vague)L / (Z(vague)H - Z(vague)L))
La forme processus de rendement risque neutre - Remarques
Avec les Z originaux, l’investisseur demandait un rendement moyen plus grand que le taux sans risque en raison de l’impact moyen négatif sur son utilité
Avec les Z(vague), l’investisseur n’a plus besoin de demander une prime pour le rendement, car l’impact moyen est nul en termes d’utilité. Avec Z(vague), l’investisseur peut se contenter du taux sans risque
