Kapitel 5 Teil 2 - Unterräume Flashcards
Welche Eigenschaften muss ein Unterraum erfüllen?
U ≠ 0 → U darf nicht die leere Menge sein, muss aber den Nullvektor enthalten. (0,0,0)
∀ u₁, u₂ ∈ U : u₁ + u₂ ∈ U
∀ u ∈ U und ∀ k ∈ K : k*u ∈ U
Wie kann man die erste Eigenschaft eines Unterraums prüfen?
U ≠ 0.
Je nachdem wie der Unterraum definiert ist:
-Muss man überprüfen ob es überhaupt eine Lösung gibt.
-Prüfen ob der Nullvektor vorliegt.
-Falls kein Nullvektor vorliegt eine andere Lösung finden.
Wie kann man die zweite Eigenschaft eines Unterraums überprüfen?
∀ u₁, u₂ ∈ U : u₁ + u₂ ∈ U
Beispiel für V = { x + 2y + 3z = 0 }
-Zwei Vektoren aus V nehmen: v und z
-Die Summe der Vektoren bilden.
-Die Summe in die Bedingung einsetzen.
-Die Eigenschaft der Gleichung nutzen.
Wann ist die Vektoraddition im Unterraum immer gültig?
Wenn U durch eine homogene Gleichung (rechte Seite = 0) definiert ist.
Wann ist U kein Unterraum mehr?
Wenn U in der Gleichung eine Konstante enthält.
Was bedeutet es “ für eine gegebene Menge M von Vektoren einen möglichst kleinen Unterraum zu bestimmen, der M enthält “ ?
Die lineare Hülle von M bestimmen. Also die Gesamtheit aller Linearkombinationen.
Worauf kommt es beim Bestimmen der linearen Hülle an?
-Die Menge M prüfen, sind sie linear unabhängig?
-Unterraum Eigenschaften beachten.
-kleinster Unterraum. Lineare Hülle.
Was ist eine symmetrische Matrix ?
Eine Matrix, dessen Elemente oberhalb und unterhalb der Hauptdiagonale gleich sind.
a b
b c
Was ist der Indikator für die Anzahl an Basisvektoren eines erzeugenden Systems?
Die Anzahl an Freiheitsgrade, also die Anzahl an Parameter die unabhängig bestimmt werden können.
Gebe ein Beispiel wie der Freiheitsgrad die Dimension eines Raums einschränkt?
gegeben ist: a + 2b + c = 0
-Die Gleichung erlaubt nur 2 Freiheitsgrade da eine Variable durch die anderen bestimmt wird.
bsp.: a = -2b - c
-Die Freiheitsgrade bestimmen die Größe der Dimension.
Was stellt geometrisch gesprochen die Gleichung a + b + c = 0 dar?
Eine Ebene im drei-Dimensionalen Raum, da man nur zwei Variablen unabhängig auswählen kann und die dritte durch die Ebene gewählt wird.
Wie viele Freiheitsgrade hat folgender Ausdruck a + b + c ?
3, da man alle variablen Frei wählen kann.
Wie kann man eine lineare Hülle bis auf die Basisvektoren genaustens bestimmen?
1-Die Gleichung auf Bedingungen prüfen. Wie … = 0 oder Beziehung zwischen den Komponenten.
2-Freiheitsgrad bestimmen. Welche Variablen können frei gewählt werden.
3-Gleichung umstellen und freie Parameter vorbereiten.
4-Kleinstmöglichen Werte für die freien Parameter auswählen.
5-Basisvektoren bzw. Matrizen bestimmen.
