Kapitel 6 - LGS Flashcards
Was bedeutet LGS?
Lineares Gleichungssystem
Wann bzw. Wo entsteht ein Lineares Gleichungssystem?
Genau dann wenn Einzelteile durch einen konstanten Faktor von einander abhängen.
Nenne einige Anwendungsgebiete auf denen LGS genutzt wird.
-Netzwerke und Schaltungen in der Elektrotechnik
-Berechnungen von Kräften im Maschinenbau
-Anwendungen der Statik im Bauingenieurwesen
-Grafische Anwendungen, etwa zur Bestimmung von Schnittobjekten
-Numerische Modellierung von technischen Vorgängen in der Festkörperphysik.
Wie bildet sich ein lineares Gleichungssystem?
1-Komponente in einem gleich bleibenden und damit konstanten Verhältnis zueinander → Lineare Gleichung
2-Mehrere lineare Gleichungen derselben Unbekannten → lineares Gleichungssystem
Was meint man mit der Form einer Linearen Gleichungssystems?
Damit spricht man von der Anzahl der Gleichungen und Unbekannten.
Ab wann hat ein LGS eine quadratische Form?
Wenn die Anzahl der Gleichungen mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmt.
Was erlaubt uns die quadratische Form eines LGS?
Sie erlaubt uns prinzipiell die Lösung nach den Unbekannten. Jedoch müssen andere Kriterien weiterhin überprüft werden.
Wann könnte das Lösen eines LGS trotz der quadratischen Form erschwert werden?
Wenn eine Gleichung das vielfache der anderen wäre.
Was ist der Lösungsraum?
Die möglichen Lösungen für ein Gleichung, Problem etc.
Wovon hängt der Lösungsraum eines LGS ab?
Von der Anzahl an überschüssigen Variablen gegenüber der Anzahl an Gleichungen.
Was ist der Freiheitsgrad?
der Überschuss an Variablen welche im Verhältnis zu den Gleichungen steht.
In was wird der Lösungsraum gemessen?
In Dimensionen.
Womit kann man die Dimension eines LGS gleich setzen?
Mit der Anzahl an Freiheitsgraden.
Welches Indiz könnte ein quadratisches Gleichungssystem im Falle von geometrischen Objekten sein?
Dass sie sich schneiden.
Was ist die Stufenform einer LGS?
Wenn die Form eines LGS nach dem umformen eine Stufenform darstellt.
Welche Arten des Stufenforms gibt es?
Zeilenstufenform
Spaltenstufenform
Wieso ist die Stufenform so praktisch?
Da sie uns ermöglicht die Technik des Rückwärtseinsetzens anzuwenden.
Wie funktioniert das Rückwärtseinsetzen ?
Indem man die letzte Unbekannte löst und die Lösung für die nächsten einsetzt.
Was ist die Idealform?
Eine Form von der man die Lösung praktisch ablesen kann.
Die Hauptdiagonale enthält die Werte und die restlichen sind Null.
Welche andere Möglichkeit gibt es ein LGS als unlösbar zubzeichnen, außer dass eins das vielfache der anderen ist?
Wenn zwei Gleichungen für die Unbekannten die selben Koeffizienten haben aber unterschiedliche Ergebnisse nach dem Gleichzeichen liefern.
Wie sind die Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen prinzipiell zu betrachten?
Die Lösungsmengen sind klar strukturiert und nicht beliebig groß.
Was ist die Eindeutige Lösungsmenge ?
Jede Variable hat eine Eindeutige Lösung und man kann sie in vektorieller Schreibweise angeben.
Was sind freie Parameter bei der Lösung?
Wenn man beim bestimmen der Unbekannten unendlich viele Lösungen hat.
Was bedeutet es keine Lösung zuhaben?
Geometrisch: parallele Geraden
Analytisch: Die rechte Seite sagt was anderes als die linke Seite der Gleichung
Was ist ein homogenes lineares Gleichungssystem?
Kurz. HLGS ist ein System dessen Konstantenspalte komplett aus Nullen besteht.
Was ist eine triviale Lösung und wann tretet sie auf?
Die triviale Lösung ist eine einfache Lösunge wie zum Beispiel:
x₁ = … = xₙ = 0
Sie tretet meist in Fällen auf wo die Lösung sofort ersichtlich ist, wie bei einem HLGS.
Was ist das Besondere an der Lösungsmenge der HLGS?
Es gibt mindestens eine triviale.
