Kapitel 12 - Teil 3 - Geometrische Transformation Flashcards
Was sind geometrische Transformationen und was transformieren sie?
Abbildungen, die Punkte eines Raums auf einen anderen abbilden und die Lage sowie Gestalt von Objekten ändern.
Welche Grundtypen der affinen Transformation gibt es?
-Translation: Verschieben eines Objekts um einen festen Vektor.
-Rotation: Drehung eines Objekts um einen festen Punkt (im 2D) oder eine Achse (im 3D)
-Skalierung: Veränderung der Größe eines Objekts, meist proportional in alle Richtungen.
-Spiegelung: Abbildung eines Objekts an einer Geraden (2D) oder Ebene (3D)
-Scherung/Transvektion: Verzerrung eines Objekts, bei der Parallelen erhalten bleiben, aber Winkel sich ändern.
Was ist die affine Kontraktion bzw. Skalierung?
Ein affine Transformation, in der die Elemente um einen bestimmten Faktor gestreckt oder gestaucht werden.
Wie ändert der Betrag des Skalierungsfaktors das Objekt?
-Ist der Betrag 0 < x < 1
so wird das Objekt verkleinert.
-Ist der Betrag 1 < x
so wird das Objekt vergrößert.
Wie lautet die allgemeine Form der affinen Kontraktion ?
p’ = s * I * ( p - z ) + z
wobei
- s der Streckungsfaktor ist.
- I die Einheitsmatrix
- p der Punkt
- z das Zentrum des Objektes.
Was sind die Eigenschaften der affinen Kontraktion?
-Geraden bleiben gerade
-Verhältnisse entlang einer Linie bleiben erhalten.
-Aber abstände ändern sich.
Womit kann man die lineare Algebra vergleichen?
Mit einem Schachbrett, linear, flach, regelmäßig.
Was sind Kegelschnitte?
Kurven, die entstehen wenn man einen Kegel mit einer Ebene schneidet.
Nenne einige Kegelschnitte.
Ellipse
Parabel
Hyperbel
Was sind Quadriken?
Die 3D Version der Kegelschnitte - also das was passiert wenn man Kegelschnitt in eine Dimension höher bringt.
Gebe Beispiele für Quadriken.
Ellipsoid
Hyperboloid
Parabolische Fläche
Kegel und Zylinder als Grenzfälle.
Was ist eine Fläche zweiter Ordnung?
y = x²
oder
z = x² + y²
Wie lautet die Gleichung für ein Ellipsoid?
1 = x² / a² + y²/ b² + z² / c²
Wie lautet die Gleichung für ein Hyperboloid?
1 = x² / a² + y² / b² - z² / c²
Wie lautet die Gleichung für eine parabolische Fläche?
z = x² + y²
Was ist die Hauptachsentransformation?
Ein Werkzeug um das Koordinatensystem so zu drehen, damit ausdrücke von Kegelschnitte die kompliziert formuliert sind wieder einfach zu erkennen sind.
Wie sieht der Ausdruck x * y = 1 in der Standardform aus? Was steckt dahinter?
x² - y² = 1
Die Form x * y = 1 beschreibt auch eine Hyperbel jedoch aus der Schrägansicht.
Wie lautet die allgemeine Formel der Hauptachsentransformation?
xᵗ ⋅ ( Ax + v ) = b
-X ist der Vektor ( x y )
-A ist eine symmetrische Matrix, die die quadratischen Terme enthält.
-v ist ein Vektor, der die linearen Terme repräsentiert.
-b ist ein Skalar, also die rechte Seite der Gleichung
Was ist eine symmetrische Matrix?
Ein Matrix für die gilt:
A = Aᵗ
also die Elemente oberhalb und unterhalb der Hauptdiagonale sind gleich.
A =
2 5 1
5 3 4
1 4 7
Was ist der Spektralsatz?
Ein wichtiger Satz über symmetrische Matrizen.
Er liefert Werkzeuge um eine Matrix zu vereinfachen. z.B durch Diagonalisierung.
-Es existiert eine orthogonale Matrix
Q (d. h. Qᵗ = Q⁻¹ ),
sodass: 𝑄ᵗ 𝐴 𝑄 = 𝐷,
wobei D eine Diagonalmatrix ist.
