Kapitel 10 - Geometrische Grundlemente - Teil 2 Flashcards
Was ist ein Normalenvektor?
Ein Vektor der Senkrecht zu den anderen Vektoren steht.
Ab wann kann man einen Vektor Normalenvektor nennen?
Wenn das Skalarprodukt der Vektoren Null ist.
Was ist die Normalenform?
Eine Form der Darstellung von Vektoren, die mit einem Normalenvektor arbeitet.
Wie lautet die allgemeine Normalenform ?
E = { x |n ( x - p ) = 0 }
x = (x,y,z, … ) ist ein beliebiger Punkt der Ebene.
p = (p₁ ,p₂ ,p₃, … ) ist ein fester Punkt auf der Ebene (Stützpunkt).
n=(a,b,c, … ) ist der Normalenvektor der Ebene.
Das Skalarprodukt sorgt dafür, dass jeder Punkt x genau auf der Ebene liegt.
Was ist der Unterschied zwischen der Normalenform im 2D und 3D?
-Die Normalenform in der 2D arbeitet mit einem Vektor, der eine Gerade beschreibt, welcher die Richtung der Gerade zeigt.
-In der 3D arbeitet sie mit einem Vektor, der Senkrecht zur Eben steht und die Ausrichtung der Ebene kennzeichnet.
Wie ermittelt man die Normalenform einer Ebene und was benötigt man dazu?
Die allgemeine Form lautet:
E = { x | n ( x - a ) }
-Man benötigt drei Punkt auf der Ebene die linear unabhängig sind.
-P₁ ist der Aufpunkt ( a ).
-Man ermittelt die Richtungsvektoren.
-Dann ermittelt man das Kreuzprodukt ( n ).
-Testen nicht vergessen.
Wie erhält man den Normalenvektor?
Indem man das Kreuzprodukt ermittelt.
Wie überprüft man das Ergebniss eines Kreuzproduktes?
Das Skalarprodukt aus dem Ergebniss und eines der Faktoren muss stets Null sein.
Wie erhält man die Koordinatenform?
Indem man die Normalenform
ausmultipliziert.
n ( x - a ) = 0.
Warum ist der Normalenvektor wichtig?
Sie hilft:
-bei der einfachen Darstellung einer Ebene.
-bei der Berechnung von Abständen von Punkten zu Ebenen oder Schnittwinkel zwischen Ebenen.
Warum ist die Normalenform gut?
-Kompakte Darstellung
-Einfache Berechnung
-Einfache Erkennung, ob ein Punkt auf der Ebene liegt.
Was ist der Achsenabschnittsform?
Eine spezielle Darstellung einer Ebenengleichung, bei der man direkt die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinaten ablesen kann.
Wie lautet die allgemeine Form der Achsenabschnittform einer Ebene?
x / a + y / b + z / c = 1
- a ist der Schnittpunkt der Ebene mit der x-Achse (die Ebene schneidet die x-Achse im Punkt (a,0,0).
- b ist der Schnittpunkt mit der y-Achse (0,b,0).
- c ist der Schnittpunkt mit der z-Achse (0,0,c).
Wie entsteht der Achsenabschnittsform?
Wenn man eine Ebene in der koordinaten Form bzw. kartesischen Form hat:
Ax+By+Cz=D
kann man sie umformen, indem man durch D teilt.
x/(D/A) + y/(D/B) + z/(D/C) = 1
a=D/A (x-Achsenabschnitt),
b=D/B (y-Achsenabschnitt),
c=D/C (z-Achsenabschnitt).
Warum ist die Achschenabchnittform nützlich?
-Sofort sichtbare Schittpunkte mit den Achsen
-Schnelle Skizzierung einer Ebene
-Einfache Umformung aus der kartesischen Form
Was sind wichtige Einschränkungen der Achsenabschnittsform?
Sie existiert nur, wenn die Ebene keinen Schnittpunkt im Ursprung (0,0,0) hat.
Falls einer der Achsenabschnitte unendlich ist (z.B wenn a = 0), dann schneidet die Ebene die Achse nicht.
Wie lauten die drei Formen der Ebenendarstellung?
-Parameterform
-Normalenform
-Koordinatenform
Wie kann man die Normalenform in die Parameterform Transformieren?
Allgemeine Form für Normalenform:
E = { x | n ( x - a ) = 0 }
Allgemeine Form für Parameterform:
E = { a + λ₁r₁ + λ₂r₂ | λ₁, λ₂ ∈ R }
-Zwei Vektoren zum Normalenvektor n finden dessen Kreuzprodukte 0 ergibt.
-Einen weiteren Vektor finden dessen Produkt mit dem Normalenvektor auch 0 ergibt.
( einfach den Aufpunkt nehmen)
-Die Parameterform bilden.
Wie lautet die Parameterform eines dreidimensionalen Raumes?
x = a + k₁ r₁ + k₂ r₂ + k₃ r₃ | k₁ , k₂ , k₃ ∈ R
Wie lautet die Parameterform eines n-Dimensionalen Raumes?
x = a + k₁ r₁ + k₂ r₂ + … + kₙ rₙ
k₁ , k₂ , … , kₙ ∈ R
Wie ist das Verhältnis zwischen dem Raum und dem sich darin befindende Objekt?
In einem n-Dimensionale Raum hat das Objekt, welches sich darin befindet eine n-1 Dimension.
Bsp.:
Im 3D-Raum ( R³ ) sind Ebenen darstellbar. → Eine Ebene hat Dimension 2 → das ist eine Dimension kleiner als der Raum ( R³ ).
Wie ist die Koordinatengleichung eines 2-Dimensionalen Raums?
ax + by = c
Was ist eine Hyperebene?
Ein verallgemeinertes Konzept.
In R² ist eine Hyperebene eine Gerade (1D).
In R³ ist eine Hyperebene eine Ebene (2D).
In R⁴ wäre eine Hyperebene ein 3D-Objekt.
Wie verhalten sich mehrere Hyperebenen zu einander?
Wenn man mehrere Hyperebenen betrachtet dann reduziert sich die Dimension der entstandenen Schnittobjekte weiter.
Ab wann reduziert sich die Dimension des Objektes wenn mehrere Hyperebenen im Spiel sind?
Wenn die Gleichungen unabhängig sind.
Erkläre Hyperebenen und die Reduzierung der Dimension anhand eines Beispiels.
In einem R³ Raum existiert eine 2D Ebene.
Führt man eine weitere Ebene dazu mit gleich vielen unbekannten in der Gleichung, so schneiden sich die Objekt in nur einer Gerade.
Kommt ein drittes Dazu so schneiden sie sich in nur einem Punkt.
Jede neue unabhängige Gleichung reduziert die Dimension des Schnittobjekts um eins!
Erkläre das Prinzip der höheren Dimensionen anhand eines 12 Dimensionalen Beispiels mit 5 Hyperebenen.
Jede Hyperebene hat im 12 Dimensionalen Raum genau 11 Dimensionen.
Wenn man 5 Hyperebenen hat, reduzieren sich die Ebenen nach und nach. So dass sich Fünf elfdimensionale Hyperebenen in R¹², sich zu einem 7-Dimensionale Objekt schneiden.
12 - 5 = 7.
Wieso sind Hyperebenen nützlich?
Weil sie uns erlauben in der Geometrie hochdimensionale Objekte mit LGS zu beschreiben.
Jedes lineare Gleichungssystem ist nichts anderes als eine Beschreibung des Schnitts mehrere Hyperebenen.
