Kapitel 9 - Basis und Mehr Flashcards
Wie lautet der Grundsatz der Basisbildung?
Jeder n Dimensionale Vektorraum kann durch n zueinander linear unabhängige Vektoren erzeugt werden, die damit eine Basis bilden.
Wobei ist die Wahl der Basis hilfreich?
Beim verschaffen von Struktur und die Identifikation der Vektoren.
Was erzeugen linearkombinationen n-linear unabhängiger Vektoren?
Einen n-dimensionalen Vektorraum und dessen Basis.
Welche Zusammenhänge sollte man im Bezug auf das Bilden der Basis eines n-Dimensionalen Vektorraums kennen?
-n linear unabhängige Vektoren v bilden automatisch eine Basis
-n+1 oder mehr Vektoren von v sind immer linear abhängig
-Aus einer beliebigen Menge linear unabhängiger Vektoren kann man durch hinzunahme weiterer Vektoren eine Basis von v bilden
-eine Menge von linear abhängige Vektoren kann nicht zu einer Basis ergänzt werden.
Wie lautet die mathematische Formulierung für den Zusammenhang der Vektoren und Basen?
sei e = (e₁, … eₙ) eine beliebige Basis des Vektorraums v über k:
∀ v ∈ V & ∃ k₁, … kₙ ∈ K :
k₁ e₁ + … + kₙ eₙ = v
Was bedeutet die Eindeutigkeit der Linearkombination?
Das eine lineare Unabhängigkeit der Basisvektoren vorliegt.
Wie kann jeder Vektor eines Vektorraums eindeutig identifiziert werden?
Über die Koeffizienten der Linearkombination der Basisvektoren.
Welchen Namen tragen die Koeffizienten der Linearkombination einer Basis?
Koordinaten.
Gebe ein Beispiel für eine linear unabhängige Matrix.!
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Was ist eine kanonische Basis?
Wenn eine Basis aus lauter extrem einfachen Vektoren besteht, die linear unabhängig sind.
Gebe ein Beispiel für eine kanonische Basis in einem R³ raum.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Woher kommt das Wort Kanon ursprünglich?
Aus dem Griechischen und bezeichnet einen Rohrstab um Messungen durchzuführen.
Wie sieht die Basis eines Vektorraums der Polynome höchstens zweiten grades aus?
bsp.:
f(x) = 3x² - 4x + 5
e = ( x², x , 1 )
Wie sieht der Koordinatenvektor eines Vektors der Polynome höchstens zweiten grades, im kanonischen Basis aus?
bsp.:
f(x) = 3x² - 4x + 5
3
-4
5
Wovon hängt der Koordinatenvektor eines Vektors ab?
Von der ausgewählten Basis.
Wie kann man den Koordinatenvektor rechnerisch ermitteln?
Gegeben ist der Basisvektor e und die linearkombination
-Zur Erst das LGS aufstellen und die inverse Matrix aussuchen.
-Die Inverse prüfen
-Die Inverse mit der Koeffizientenvektor der linearkombination multiplizieren.
-Das Ergebnis ist der Koordinatenvektor den wir mit dem Basisvektor e multiplizieren können.
Was stellen Linearkombinationen im euklidischen Raum?
Sie stellen geometrische Objekte dar, die stets durch den Ursprung verlaufen.
Was bestimmt die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren im Raum?
Die Dimension des entstandenen Raums.
Bsp.:
Der euklidische Raum R³ hat als Basis drei linear unabhängige Vektoren.
Welcher Satz lässt sich im Bezug auf die Dimension eines Unterraums bilden?
v sei ein Vektorraum und u und w Unterräume von v.
dim(U + W) =
dim(U) + dim(W) - dim(U ∩ W)
Was ist eine lineare Hülle ?
Die Gesamtheit aller möglichen Linearkombinationen.
span(S)={k₁v₁+k₂v₂+⋯+kₙvₙ|kᵢ∈K}
Wieso kann man die Menge der Linearkombination eines Vektorraums für die Lineare Hülle bilden?
Weil der Unterraum gegenüber der Vektoraddition und Skalarmultiplikatoin abgeschlossen ist.
Wie kennzeichnet man eine lineare Hülle?
LH(v)
Gebe ein Beispiel für eine lineare Hülle für R².
sei v ( 2 , 3)
LH(v) = {λ (v) | λ ∈ R }
Was ist die Lineare Hülle wenn die gegebene Menge nur einen Vektor enthält?
Eine Gerade durch den Ursprung.
Was ist eine Lineare Hülle wenn die gegebene Menge zwei linear unabhängige Vektoren enthält?
Die Ebene durch den Ursprung.
Was ist die einzigartige Eigenschaft der Basisvektoren?
Dass sie linear unabhängig sind.
Was ist das Konzept hinter Basisvektoren?
Dass man eine “minimale” Menge von Vektoren, mit der man den gesamten Raum durch ihre Linearkombinationen ausdrücken kann, definiert.
Welche Eigenschaften muss eine Basis erfüllen?
Für einen Vektorraum V über dem Körper K existiert ein Vektorraum B für die gilt:
-Lineare Unabhängigkeit: Alle Vektoren aus B sind linear unabhängig.
-Erzeugendensystem: Alle Vektoren aus V können durch eine Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden.
Was ist der Unterschied zwischen der Linearen Hülle und der Linearkombination?
-Eine Linearkombination ist ein einzelner Punkt in der linearen Hülle.
-Die lineare Hülle ist die Gesamtheit aller möglichen Linearkombinationen.
Wie kann ich eine Basis bilden wenn ich zwei Vektoren kenne und ein bestimmtes linear unabhängiges Vektor finden muss?
1-Als drittes Vektor eine allgemeine formulieren. Bsp.: xyz.
2-Ein LGS bilden.
3-Die Determinante bestimmen.
4-Da die Determinante nicht Null sein darf bestimmt man die Werte für xyz.
Was ist der euklidische Raum?
Ein Raum in dem wir die klassische Geometrie definieren, sie wird mit Rⁿ={(x₁,x₂,…,xₙ)|xᵢ ∈ R} definiert.
Der Raum aller n-Tupel reeller Zahlen.
Ab wann kann man einen Raum als euklidischer Raum bezeichnen?
Wenn folgende Strukturen existieren:
Skalarproduk(inneres
-Produkt/Kreuzprodukt)
-Norm(Länge eines Vektors)
-Abstand zweier Punkte.
Wozu ist der Euklidische Raum gut?
-Er ist die Grundlage für die klassische Geometrie.
-Er bildet die Grundlage für viele physikalische Modelle (z. B. Bewegung im Raum).
-In der linearen Algebra ist er wichtig für die Analyse von Vektoren und Matrizen.
-In der Maschinen- und KI-Lernen ist er die Grundlage für vektorielle Darstellungen von Daten.
Welche geometrische Bedeutung haben die euklidischen Räume?
-R¹ (1D): Eine gerade Linie, auf der Punkte durch eine Zahl beschrieben werden.
-R² (2D): Die klassische Ebene (xy-Koordinatensystem).
-R³ (3D): Der dreidimensionale Raum, in dem wir uns visuell bewegen.
Wie findet man für eine Grundmenge aus Vektoren das Erzeugendensystem?
-Gaußalgorithmus anwenden
-Diagonalisieren
-Was übrig bleibt entspricht der Basis
