Kapitel 4 - Vektoren

Question 1

Was heißt skalar ?

Answer 1

Auf eine einzige Zahl reduzierbar.

Question 2

Gebe Beispiele für Skalare Dinge.!

Answer 2

Die Temperatur
Das Gewicht
Das Volumen

Question 3

Wann benötigt man einen Vektor?

Answer 3

Wenn die Angabe eines Sachverhaltes mehrere Faktoren benötigt.

Question 4

Gebe einen Beispiel für die Anwendung von Vektoren.

Answer 4

Die Angabe der Bewegung eines Objektes

Question 5

Wie erhält man Vektoren?

Answer 5

Wenn wir mehrere Zahlen darstellen wollen und diese als Komponenten untereinander aufschreiben.

Question 6

Was ist mit n-Tupel auf Vektoren bezogen gemeint?

Answer 6

Vektoren mit mehreren Werten die übereinander geschrieben werden. n-Zahlen.

Question 7

Als was kann man die Dimension eines Vektors noch betrachten?

Answer 7

Als notwendige Elemente um eine Aufgabe zu erledigen.
-Unbekannte in einer Gleichung.
-Zutaten in einem Kuchenrezept.

Question 8

Was bedeutet der Pfeil über dem Vektorzeichen?

Answer 8

Es bedeutet, dass die Komponenten absoult (vom Ursprung aus), oder relativ ( von einem beliebigen Punkte aus ) verstanden werden können.

Question 9

Wie werden Vektoren addiert bzw. subtrahiert?

Answer 9

Indem man alle Komponente einzeln addiert bzw. subtrahiert.

Question 10

Wann kann man Vektoren nicht addieren bzw. subtrahieren ?

Answer 10

Wenn sie unterschiedliche Dimensionen haben.

Question 11

Wie funktioniert die skalare Multiplikation von Vektoren?

Answer 11

Man multipliziert jede Komponente des Vektors mit dem Skalar.

Question 12

Was ist bei der skalaren Multiplikation zu beachten?

Answer 12

Der Körper des skalars darf nicht größer sein als der der Komponenten eines Vektors.
Es sei denn anders angegeben.

Question 13

Was ist das Ergebnis der skalaren Multiplikation?

Answer 13

Ein n-dimensionaler Vektor.
skalar x Vektor = Vektor.

Question 14

Was passiert bei einer skalaren Multiplikation, geometrisch betrachtet?

Answer 14

Der Vektor wird gestreckt oder gestaucht.

Question 15

Ab wann sind zwei Vektoren kollinear, wenn sie keine Nullvektoren darstellen?

Answer 15

Wenn sie sich nur durch einen skalaren Faktor von einander unterscheiden.

Question 16

Was heißt es wenn zwei Vektoren kollinear zu einander sind?

Answer 16

Sie zeigen in dieselbe Richtung oder in die entgegen gesetzte Richtungen.

Question 17

Was ist ein Skalarprodukt?

Answer 17

Wenn zwei Vektoren mit einander multipliziert werden und das Ergebnis ein Skalar ist.

Question 18

Wieso heißt das Skalarprodukt auch inneres Produkt?

Answer 18

Weil es die Projektion eines Vektors auf den anderen misst und keine Veränderung verursacht.

Question 19

Was ist die Formel für die Berechnung des Skalarprodukts?

Answer 19

v₁ * v₂ = |v₁||v₂|cos(ϑ)
Wobei ϑ den Winkel zwischen den Vektoren darstellt.

Question 20

Wie muss man handeln wenn die komponenten eines Vektors komplexe Zahlen sind ?

Answer 20

Man muss die Komponenten eines Vektors konjugieren.

Question 21

Wann sind zwei Vektoren orthogonal?

Answer 21

Wenn ihr Skalarprodukt Null ist.

Question 22

Was heißt es wenn zwei Vektoren orthogonal sind?

Answer 22

D.h der Winkel zwischen ihnen beträgt 90°.

Question 23

Wie kann man die Geschwindigkeit eines Vektors angeben?

Answer 23

Man interpretiert die einzelnen Komponenten als die Geschwindigkeit in die jeweilige Richtung.

Question 24

Was ist die Norm/Betrag eines Vektors?

Answer 24

Die Geschwindigkeit des Objektes dessen Richtung man mit dem Vektor angibt bzw. die Länge eines Vektors

Question 25

Wie berechnet man die Norm eines Vektors?

Answer 25

Mit Hilfe der Satz des Pythagoras oder man multipliziert den Vektor mit sich selbst also quasi den Skalarprodukt eines Vektors berechnen.
|v₁| = √v₁*v₁

Question 26

Was ist das Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt?

Answer 26

Eine binäre Operation mit zwei Eingabeparametern und einem resultierenden Vektor.

Question 27

Welche Eigenschaften hat das Kreuzprodukt?

Answer 27

-Orthogonal zur Ebene.
-seine Richtung wird durch die Rechtshandregel bestimmt.
-Sein Betrag ist proportional zum parallelogram welcher von den Vektoren aufgespannt wird.

Question 28

Wie lautet die Formel zur Berechnung des Vektorprodukts?

Answer 28

c = a x b
c₁ = a₂b₃ - a₃b₂
c₂ = a₃b₁ - a₁b₃
c₃ = a₁b₂ - a₂b₁

Question 29

Wie ist das Layout für die Berechnung des Vektorprodukts?

Answer 29

-Das Kreuzprodukt der äußeren Elemente steht in der Mitte.
-Das Kreuzprodukt der unteren zwei Reihen steht oben.
-Das Kreuzprodukt der oberen zwei Reihen steht unten.

Question 30

Was bedeutet veritabel ?

Answer 30

Im wahrsten Sinne des Wortes;
Wahrhaft; Echt; Wirklich

Question 31

Was bedeutet stringent?

Answer 31

Aufgrund der Folgerichtigkeit sehr einleuchtend;
Logisch zwingend oder schlüssig

Question 32

Wie ist das Verhältnis zwischen zwei Vektoren und der Winkel den sie einschließen?

Answer 32

cos(ϑ) = uv / |u||v|

Question 33

Wie ist das Verhältnis zwischen dem Kreuzprodukt und dem Winkel sin(ϑ)?

Answer 33

sin(ϑ) = | u x v | / |u|*|v|

Question 34

Was stellt die Norm eines Kreuzproduktes dar?

Answer 34

Die Fläche eines Parallelogramms, welches von den Vektoren aufgespannt wird.

Question 35

Wie viel ist π / 4 in Grad?

Answer 35

45°

Question 36

Was ist ein Normalenvektor?

Answer 36

Die Bezeichnung für einen Vektor der Senkrecht zu einem gegebenen Objekt steht.

Question 37

Wie berechnet man den Normalenvektor zweier nicht kollinearer Vektoren?

Answer 37

Mit dem Kreuzprodukt.

Question 38

Was ist mit Normierung eines Vektors gemeint?

Answer 38

Die Division eines Vektors durch seinen Norm/Betrag.

Question 39

Welchen Namen trägt ein normierter Vektor noch?

Answer 39

Einheitsvektor.

Question 40

Was ist ein normierter Noramlenvektor?

Answer 40

Ein Vektor welches ein Kreuzprodukt ist und den Normierungsprozess durchlaufen ist, also die Länge eins trägt.

Question 41

Gebe Beispiele für normierte Normalenvektoren.

Answer 41

Kartesische Koordinatenvektoren.
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Question 42

Was ist ein Rechtssystem in der Linearen Algebra?

Answer 42

Die geometrische Veranschaulichung aus drei Vektoren, wobei einer davon Senkrecht zu den anderen steht.
Bsp.: Ein Kreuzprodukt.

Question 43

Was ist ein Orthonormalsystem?

Answer 43

Ein System aus normierten Normalenverktoren.

Question 44

Ist das Kreuzprodukt kommutativ?

Answer 44

Nein.
u x v = - ( v x u )

Question 45

Wie berechnet man das Skalarprodukt, wenn der Körper der Vektoren Komplex ist?

Answer 45

Die Komponenten des zweiten Vektor komplex konjugieren.

Question 46

Wie lautet der Kosinussatz?

Answer 46

a² = b² + c² - 2bccos(α)