Kapitel 4 - Vektoren Flashcards
Was heißt skalar ?
Auf eine einzige Zahl reduzierbar.
Gebe Beispiele für Skalare Dinge.!
Die Temperatur
Das Masse
Das Volumen
Wann benötigt man einen Vektor?
Wenn die Angabe eines Sachverhaltes mehrere Faktoren benötigt.
Gebe ein Beispiel für die Anwendung von Vektoren.
Die Angabe der Bewegung eines Objektes
Wie erhält man Vektoren?
Wenn wir mehrere Zahlen darstellen wollen und diese als Komponenten untereinander aufschreiben.
Was ist mit n-Tupel auf Vektoren bezogen gemeint?
Vektoren mit mehreren Werten die übereinander geschrieben werden. n-Zahlen.
Als was kann man die Dimension eines Vektors noch betrachten?
Als notwendige Elemente um eine Aufgabe zu erledigen.
-Unbekannte in einer Gleichung.
-Zutaten in einem Kuchenrezept.
Was bedeutet der Pfeil über dem Vektorzeichen?
Es bedeutet, dass die Komponenten absoult (vom Ursprung aus), oder relativ ( von einem beliebigen Punkte aus ) verstanden werden können.
Wie werden Vektoren addiert bzw. subtrahiert?
Indem man alle Komponente einzeln addiert bzw. subtrahiert.
Wann kann man Vektoren nicht addieren bzw. subtrahieren ?
Wenn sie unterschiedliche Dimensionen haben.
Wie funktioniert die skalare Multiplikation von Vektoren?
Man multipliziert jede Komponente des Vektors mit dem Skalar.
Was ist bei der skalaren Multiplikation zu beachten?
Der Körper des skalars darf nicht größer sein als der der Komponenten eines Vektors.
Es sei denn anders angegeben.
Was ist das Ergebnis der skalaren Multiplikation?
Ein n-dimensionaler Vektor.
skalar x Vektor = Vektor.
Was passiert bei einer skalaren Multiplikation, geometrisch betrachtet?
Der Vektor wird gestreckt oder gestaucht.
Ab wann sind zwei Vektoren kollinear, wenn sie keine Nullvektoren darstellen?
Wenn sie sich nur durch einen skalaren Faktor von einander unterscheiden.
Was heißt es wenn zwei Vektoren kollinear zu einander sind?
Sie zeigen in dieselbe Richtung oder in die entgegen gesetzte Richtungen.
Was ist ein Skalarprodukt?
Wenn zwei Vektoren mit einander multipliziert werden und das Ergebnis ein Skalar ist.
Wieso heißt das Skalarprodukt auch inneres Produkt?
Weil es die Projektion eines Vektors auf den anderen misst und keine Veränderung verursacht.
Was ist die Formel für die Berechnung des Skalarprodukts?
v₁ * v₂ = |v₁||v₂|cos(ϑ)
Wobei ϑ den Winkel zwischen den Vektoren darstellt.
Wie muss man handeln wenn die komponenten eines Vektors komplexe Zahlen sind ?
Man muss die Komponenten eines Vektors konjugieren.
Wann sind zwei Vektoren orthogonal?
Wenn ihr Skalarprodukt Null ist.
Was heißt es wenn zwei Vektoren orthogonal sind?
D.h der Winkel zwischen ihnen beträgt 90°.
Wie kann man die Geschwindigkeit eines Vektors angeben?
Man interpretiert die einzelnen Komponenten als die Geschwindigkeit in die jeweilige Richtung.
Was ist die Norm/Betrag eines Vektors?
Die Geschwindigkeit des Objektes dessen Richtung man mit dem Vektor angibt bzw. die Länge eines Vektors
Wie berechnet man die Norm eines Vektors?
Mit Hilfe der Satz des Pythagoras oder man multipliziert den Vektor mit sich selbst also quasi den Skalarprodukt eines Vektors berechnen.
|v₁| = √v₁*v₁
Was ist das Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt?
Eine binäre Operation mit zwei Eingabeparametern und einem resultierenden Vektor.
Welche Eigenschaften hat das Kreuzprodukt?
-Orthogonal zur Ebene.
-seine Richtung wird durch die Rechtshandregel bestimmt.
-Sein Betrag ist proportional zum parallelogram welcher von den Vektoren aufgespannt wird.
Wie lautet die Formel zur Berechnung des Kreuzprodukt?
c = a x b
c₁ = a₂b₃ - a₃b₂
c₂ = a₃b₁ - a₁b₃
c₃ = a₁b₂ - a₂b₁
Wie ist das Layout für die Berechnung des Vektorprodukts?
-Das Kreuzprodukt der äußeren Elemente steht in der Mitte.
-Das Kreuzprodukt der unteren zwei Reihen steht oben.
-Das Kreuzprodukt der oberen zwei Reihen steht unten.
Was bedeutet veritabel ?
Im wahrsten Sinne des Wortes;
Wahrhaft; Echt; Wirklich
Was bedeutet stringent?
Aufgrund der Folgerichtigkeit sehr einleuchtend;
Logisch zwingend oder schlüssig
Wie ist das Verhältnis zwischen zwei Vektoren und der Winkel den sie einschließen?
cos(ϑ) = uv / |u||v|
Wie ist das Verhältnis zwischen dem Kreuzprodukt und dem Winkel sin(ϑ)?
sin(ϑ) = | u x v | / |u|*|v|
Was stellt die Norm eines Kreuzproduktes dar?
Die Fläche eines Parallelogramms, welches von den Vektoren aufgespannt wird.
Wie viel ist π / 4 in Grad?
45°
Was ist ein Normalenvektor?
Die Bezeichnung für einen Vektor der Senkrecht zu einem gegebenen Objekt steht.
Wie berechnet man den Normalenvektor zweier nicht kollinearer Vektoren?
Mit dem Kreuzprodukt.
Was ist mit Normierung eines Vektors gemeint?
Die Division eines Vektors durch seinen Norm/Betrag.
Welchen Namen trägt ein normierter Vektor noch?
Einheitsvektor.
Was ist ein normierter Noramlenvektor?
Ein Vektor welches ein Kreuzprodukt ist und den Normierungsprozess durchlaufen ist, also die Länge eins trägt.
Gebe Beispiele für normierte Normalenvektoren.
Kartesische Koordinatenvektoren.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Was ist ein Rechtssystem in der Linearen Algebra?
Die geometrische Veranschaulichung aus drei Vektoren, wobei einer davon Senkrecht zu den anderen steht.
Bsp.: Ein Kreuzprodukt.
Was ist ein Orthonormalsystem?
Ein System aus normierten Normalenverktoren.
Ist das Kreuzprodukt kommutativ?
Nein.
u x v = - ( v x u )
Wie berechnet man das Skalarprodukt, wenn der Körper der Vektoren Komplex ist?
Die Komponenten des zweiten Vektor komplex konjugieren.
Wie lautet der Kosinussatz?
a² = b² + c² - 2bccos(α)
Wie berechnet man die Richtung eines einzelnen Vektors?
Bsp. v₁ = (2, 3, 4)
Zur Erst sucht man sich die Achse aus zu der man den Winkel bestimmen will.
Hier die x Achse:
x = (1, 0, 0)
v₁ = (2, 3, 4)
Dann wendet man die Formel:
v₁•x = |v₁|•|x| * cos(α)
