Kapitel 13 - Homomorphismen Flashcards
Was sind Homomorphismen? (Laienhaft erklärt)
Eine Struktur-erhaltende Abbildung zwischen zwei mathematischen Objekten.
Eine Art Übersetzer, der Zahlen oder Objekte des ersten Systems ins zweite übersetzt, ohne die Rechenregeln zu verletzen.
Was ist ein Vektorraumhomomorphismus?
Auch lineare Abbildung genannt, ein Homomorphismus der speziell für Vektorräume gilt, also Objekte bei denen man Vektoren addieren und mit Zahlen multiplizieren kann.
Erkläre was ein Homomorphismus ist. ( Mathematische Erklärung )
Ein Homomorphismus zwischen zwei algebraische Strukturen ist eine Abbildung, die die jeweiligen Rechenoperationen respektiert.
Erkläre was ein Vektorraumhomomorphismus ist.
( Mathematische Erklärung )
Eine Abbildung f : V → W zwischen zwei Vektorräumen V und W, sodass folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:
Additivität
Homogenität
Wie lautet die mathematische Notation für Homomorphismus in der linearen Algebra?
Sei f : U → V über dem Körper K eine Funktion.
∀k ∈ K und ∀ x ∈ U :
f( k * x ) = k * f( x )
Nenne einige nicht lineare Funktionen.
Parabel: f(x) = x²
Sinusfunktion: sin(2x) = 2 sin * cos
Exponentialfunktion: e²ˣ = eˣ + eˣ
Was ist ein surjektiver Homomorphismus?
Wenn jedes Urbild mindestens ein Bild im Zielraum hat, sodass gilt:
∀ v ∈ V und ∃ u ∈ U : f(v) = u.
Wie verhält sich der Nullvektor des Ausgangvektorraums?
Der Nullvektor des Ausgangvektorraums wird immer im Nullvektor des Zielraums abgebildet.
Was heißt injektiv?
Wenn jedes Urbild höchstens ein Bild im Zielraum besitzt.
Eine andere Schlussfolgerung besagt:
besitzen beide Bilder im Urbildraum das selbe Bild im Zielraum dann sind sie beide gleich.
Was heißt bijektiv?
Wenn eine Funktion sowohl Surjektiv als auch injektiv ist.
Mit anderen Worten wenn das Urbild genau ein Zielbild bestizt.
Was sagt man zu unendlichen Mengen die bijektiv sind?
Die Mengen sind gleich mächtig.
Was ist ein Epimorphismus? ( Laienhaft erklärt )
Eine Abbildung, die alles im Zielraum abdeckt.
Epimorphismus = surjektive Abbildung.
Was ist ein Epimorphismus? ( Mathematische Erklärung )
Eine Abbildung f : A → B mit folgender Eigenschaft:
Eine Abbildung 𝑓 f mit:
𝑔₁ ∘ 𝑓 = 𝑔₂ ∘ 𝑓 ⇒ 𝑔₁ = 𝑔₂
Was ist der Monomorphismus? ( Laienhaft erklärt )
Eine Abbildung, bei der man keine Informationen verliert.
Also zwei verschieden Objekte bleiben auch nach der Abbildung unterscheidbar.
Was ist der Monomorphismus? (Mathematisch definiert)
f : A → B
f ∘ g₁ = f ∘ g₂ ⇒ g₁ = g₂
Was ist Isomorphimsus? ( Laienhaft erklärt )
Er ist wie ein perfekter Übersetzer.
Man kann alles umkehren.
Was ist isomorphismus? ( Mathematisch definiert )
Es gibt eine Umkehrfunktion
𝑓⁻¹ : 𝐵 → 𝐴, sodass gilt:
f⁻¹ ∘ f = idₐ , f∘f⁻¹=idₙ
Eine bijektive Abbildung.
Was ist die Kategorientheorie?
Eine sehr abstrackte, aber mächtige Sprache der Mathematik.
Wobei hilft die Kategorientheorie?
Sie hilft dabei Gemeinsamkeiten zwischen sehr unterschiedlichen mathematischen Strukturen zu erkennen.
Sie untersucht die Beziehung der Strukturen und wie man sie komponieren kann.
Was ist der Endomorphismus? ( Laienhaft erklärt. )
Einfach eine Abbildung die ein Objekt in sich selbst abbildet und dabei die Struktur erhält.
Bsp.: Man hat einen Vektorraum R², und dreht alle Vektoren darin um 90°.
Wie lautet die mathematische Erklärung des Endomorphismus?
Ein Endomorphismus ist eine strukturhaltende Abbildung eines Objekts auf sich selbst
f : A → A
Was ist der Automorphismus? ( Laienhaft erklärt )
Eine umkehrbare Selbst-Abbildung, die die Struktur vollständig erhält.
Wie ein perfekter Umbau den man auch Rückwärts gehen kann.
Was ist der Automorphismus? ( Mathematische Definition )
Ein bijektiver Homomorphismus.
f : A → A
Was ist eine idempotente Matrix? ( Intuitive Erklärung )
Eine Matrix, bei der einmal anwenden denselben Effekt hat wie mehrmals anwenden.
Multiplizierte man eine Matrix mit sich selbst, ergibt es die selbe Matrix.
