Kapitel 8 - Lineare Unabhängigkeit Flashcards
Was ist eine Lineare Abhängigkeit?
Wenn man ein Vektor durch eine lineare Kombination anderer Vektoren darstellen kann.
Welche Möglichkeit bietet die lineare Abhängigkeit?
Es gibt uns die Möglichkeit ein Vektor durch eine Linearkombination anderer Vektoren auszudrücken.
Was bedeutet es wenn eine lineare Abhängigkeit vorliegt?
Dass wir überschüssige Informationen haben.
Welche Bedeutung hat eine lineare Unabhängigkeit für die Lösung ?
Die Lösung darf nicht trivialer Natur sein, so dass gilt:
λ₁v₁+λ₂v₂+⋯+λₙvₙ ≠ 0
Gebe ein Beispiel für eine lineare Abhängigkeit?
Wenn in ein LGS eine Zeile das vielfache einer anderen ist.
So kann man die Lineare Kombination geschickt aussuchen und bestimmte Werte dafür aussuchen.
Was ist eine Lineare Unabhängigkeit?
Wenn man nicht ein Vektor durch eine Linearkombination anderer Vektoren erzeugen kann.
bzw.
Wenn jede gebildete Linearkombination eindeutige Koeffizienten besitzt.
Ab wann ist eine Lineare Unabhängigkeit erfüllt?
Wenn:
λ₁v₁+λ₂v₂+⋯+λₙvₙ = 0
nur durch die Koeffizienten λ₁=λ₂=λₙ=0, erreicht werden kann.
Triviale Lösung.
Wie kann man feststellen, dass eine Lineare Abhängigkeit vorliegt?
-Überprüfen, ob einer der Vektoren durch die anderen darstellbar ist.
-Lösen der Gleichung.
Falls es eine nichttriviale Lösung gibt → linear abhängig.
Falls nur die triviale Lösung existiert
→ linear unabhängig.
Über die Determinante testen
Falls det ( 𝐴 ) ≠ 0, linear unabhängig.
Falls det ( 𝐴 ) = 0 , dann sind sie linear abhängig.
Was ist ein Erzeugendensystem in der Mathematik?
Eine Menge
Was bildet die Menge aller Linearkombinationen eines Erzeugendensystems?
Einen Unterraum
Was bedeutet der Satz, “ Das Erzeugendensystem spannt den Unterraum auf”?
Die Menge aller Linearkombinationen eines E-Systems bildet einen Unterraum.
Was ist wenn die erzeugenden Vektoren linear unabhängig sind?
Dann handelt es sich um ein minimales Erzeugendensystem.
Nenne eine Methode um die lineare Unabhängigkeit von Vektoren nachzuweisen?
Gauß-Algorihtmus.
-Besteht keine Zeile aus Nullen so liegt eine lineare Unabhängigkeit vor.
Wann ist die Lösung eines LGS eindeutig?
Wenn:
1-Der Gauß-Jordan-Algorithmus eine eideutige Lösung produziert.
2-Die Koeffizientenmatrix komplett invertierbar ist.
3-Die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist.
Was ist die geometrische Deutung der linearen Unabhängigkeit?
Mit zwei linear unabhängigen Vektoren spannt man eine Ebene auf.
Kommt eine dritte dazu, haben wir genau dann eine lineare Abhängigkeit wenn sie in der ursprünglichen Ebene der beiden anderen Liegt.
Haben wir keine lineare Abhängigkeit dann spannen die drei Vektoren den gesamten dreidimensionalen Raum auf.
