Kapitel 12 - Teil 1 - Geometrische Transformationen Flashcards
Was sind geometrische Transformationen und was transformieren sie?
Sie sind Abbildungen, die jeden Punkt eines Raumes auf einen anderen Punkt abbilden und transformieren die Lage oder Gestalt von Objekten, wobei oft bestimmte Eigenschaften wie Abstände oder Winkel erhalten bleiben.
Welche Grundtypen der geometrischen Transformation existieren?
-Translation: Verschieben eines Objekts um einen festen Vektor.
-Rotation: Drehung eines Objekts um einen festen Punkt (im 2D) oder eine Achse (im 3D)
-Skalierung: Veränderung der Größe eines Objekts, meist proportional in alle Richtungen.
-Spiegelung: Abbildung eines Objekts an einer Geraden (2D) oder Ebene (3D)
-Scherung: Verzerrung eines Objekts, bei der Parallelen erhalten bleiben, aber Winkel sich ändern.
Wie werden Transformationen dargestellt?
Sie werden häufig mit Matrizen beschrieben.
-Beispielsweise kann eine 2D Transformation durch eine 2 x 2-Matrix (ggf. ergänzt um einen Translationsvektor in homogenen Koordinaten) dargestellt werden
-Homogene Koordinaten ermöglichen die Kombination mehrerer Transformationen in einer einzigen Matrix.
Welche Invarianten der geometirschen Transformation gibt es?
Isometrie: Transformationen, die Abstände und Winkel erhalten (z. B. Translation, Rotation, Spiegelung).
Ähnlichkeitstransformationen: Erhalten Formen, verändern aber Größe (z. B. Skalierung kombiniert mit Isometrien).
Affine Transformationen/Abbildung: Erhalten Parallelität, nicht aber notwendigerweise Winkel oder Längen.
Aus was lassen sich affine Abbildungen zusammenstellen?
Aus:
dem Objekt:
- Punkt(Vektor), Gerade oder Figur(Gleichung)
das x in f(x)
- einer linearen Abbildung:
m x n Matrix
- einer Translation:
𝑏 ⃗, ein fester Vektor für die Translation.
Wie lautet die mathematische Schreibweise einer affinen Abbildung?
f(x)=Ax+b,
-x ist das mathematische Objekt, welches verändert wird
-A eine 𝑚 × 𝑛 Matrix ist, die die lineare Komponente darstellt.
-𝑏 ⃗ ein fester Vektor in Rⁿ ist, der eine Translation (Verschiebung) beschreibt.
Wie nennt man die Addition von “v” in der Formel:
α(x) = A * x + v
Man bezeichnet sie als Parallelverschiebung-
Was bedeutet “bijektiv”?
Dass eine Abbildung sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
- Anders ausgedrückt: -
Es gibt eine eindeutige 1:1 Zuordnung zwischen den Elementen des Definitionsbereichs und denen des Bildbereichs.
f: X→Y
bijektiv
⇒ ∃ f⁻¹ : Y→X mit f⁻¹ ( f(x) ) = x.
Was heißt injektiv?
jedes Element im Bild hat höchstens einen Urbildpunkt
Injektiv:
f(x) = 2x
! Injektiv:
f(x) = x²
Was heißt surjektiv?
Jedes Element im Zielraum wird erreicht.
Surjektiv:
f(x) = x³
! surjektiv:
f(x) = eˣ
Wann ist eine affine Transformation bijektiv?
für:
α(x) = A * x + v
Wenn die Determinante von A ungleich Null ist →
nur bijektiv wenn Det(A) ≠ 0.
oder anders gesagt:
Wenn die Matrix A invertierbar ist.
Welche grundlegende Eigenschaften besitzen affine Abbildungen?
-Erhaltung von Geraden und Parallelität:
Affine Abbildungen bilden Geraden auf Geraden ab. Sind zwei Geraden parallel, bleiben sie es auch.
-Erhaltung von Verhältnisse / Affine Kombinationen:
f(λx₁+(1−λ) x₂) = λf(x₁)+(1−λ)f(x₂).
-Keine Erhaltung von Längen und Winkeln: Im Allgemeinen bleiben Längen und Winkeln nicht gleich außer bei speziellen Fällen wie isometrische Abbildungen.
Was ist eine Fixgerade?
Eine Gerade G bezüglich α, falls sie mit ihrem Bild zusammenfällt.
α(G) = G
Was ist ein Fixpunkt?
Ein Punkt P bezüglich α, falls er mit seinem Bild zusammenfällt.
α(P) = P
Was ist eine Fixpunktgerade?
Einer Gerade G bezüglich α, falls jeder Punkt von G Fixpunkt von α ist.
Gebe je ein Beispiel zu den Begriffen:
Fixpunkt, Fixpunktgerade und Fixgerade.
Fixpunkt wäre bei einer Spiegelung entlang der Y-Achse ein Punkt auf der Y-Achse.
Fixpunktgerade wäre die Y-Achse.
Die X-Achse und alle Parallelen, die entlang der Achse verschoben werden.
Wie verhält sich eine Gerade “G” die durch eine Fixpunktgerade verläuft und ein Punkt P mit seinem Bild P’ verbindet?
Dann handelt es sich dabei um eine Fixgerade.
Wie verhält sich eine Gerade “G” die parallel zu einer Fixpunktgerade verläuft?
Dann ist sie selbst eine Fixpunktgerade.
Was ist die denkbar einfachste affine Abbildung?
Die Identität.
Was macht die Identität mit dem übergebenen Objekt?
Sie macht nichts. Das Objekt bleibt unverändert.
Was setzt man in die Formel:
α(x) = A * x + v
für A und V ein, wenn man die Identität angeben möchte?
Für A die Einheitsmatrix und für V den Nullvektor.
Was ist die die affine Translation?
Eine Funktion:
f: V → W, f(x) = x + b
wobei
- 𝑥 ⃗ der Eingabepunkt ist,
- 𝑏 ⃗ ein fester Translationsvektor, der die Verschiebung beschreibt.
Was passiert in der Affinen Translation?
Das Objekt wird lediglich um einen festen Vektor verschoben.
Ohne Drehung, Skalierung oder Verzerrung.
Was sind die Eigenschaften der affinen Translation?
Isometrie:
Translationen erhalten Abstände und Winkel. Das heißt, die Form und Größe von Objekten bleiben unverändert.
Parallelität:
Gerade Linien und parallele Strukturen bleiben auch nach der Translation parallel.
Bijektivität:
Jede Translation ist bijektiv, da sie invertierbar ist.
Affiner Raum:
Translationen operieren im affinen Raum, der keinen fixen Ursprung besitzt. Das heißt, man “verschiebt” das gesamte Koordinatensystem, ohne dass sich die inneren Beziehungen zwischen den Punkten ändern.
Was ist die affine Transvektion?
Eine spezielle Art affiner Transformation, die einen bestimmten Unterraum punktweise fixiert und alle übrigen Punkte in eine feste Richtung verschiebt.
Wie ist die allgemeine Form der Transvektion?
T( x )= x +f( x ) u ,
wobei:
-f eine lineare Abbildung 𝑓 : 𝑅^𝑛 → 𝑅 f
-𝑢 ⃗ u ein fester Vektor ist, der die Richtung der Verschiebung angibt.
-𝑓 ( x ) = 0 , sodass der Vektor 𝑢 ⃗ in gewisser Weise „senkrecht“ zur durch 𝑓 definierten Richtung steht.
Was sind die Eigenschaften der affinen Transvektion?
Fixierter Unterraum: Alle Vektoren im Kern von f bleiben unter der Transvektion unverändert. Der Raum ist 3D oder 2D.
Verschiebung: Jeder Punkt außerhalb dieses fixierten Unterraums wird verschoben.
Unipotent: Die Eigenwerte sind 1.
Geometrische Verzerrung: Transvektion verändert nicht den Parallelismus von Geraden, kann aber die Form von Figuren verzerren.
Was ist eine Scherachse?
Eine Fixpuntgerade entlang dessen die Punkte unverändert bleiben.
Wie verhalten sich parallele Linien zur Scherachse?
Sie sind alle Fixgeraden und verschieben die Punkte entlang der Achse.
Gebe ein Beispiel für eine Transvektion?
Wie haben die Matrix:
A =
1 s
0 1
und multiplizieren den Vektor A:
x
y
von Links mit dem Matrix.
Dabei bleibt die y Achse gleich und die Werte entlang der X-Achse verändern sich.
Welche Eigenschaften gelten für die Scherungen?
Fixpunktgerade:
Alle Punkte auf der Fixpunktgeraden bleiben unter der Scherung unverändert.
Erhaltung von Abständen (parallel zur Fixpunktgeraden):
Abstände zwischen Punkten, die in Richtung der Fixpunktgeraden gemessen werden, bleiben erhalten.
Ebenso bleiben die Abstände zwischen Geraden, die parallel zur Fixpunktgeraden verlaufen, gleich.
Flächeninvarianz:
Die Scherung ändert den Flächeninhalt von Figuren nicht. Dies spiegelt sich auch in der Determinante der Transformationsmatrix wider (welche 1 ist).
Charakteristisches Polynom:
Die Transformationsmatrix einer Scherung hat in
R² das charakteristische Polynom (x−1)², was bedeutet, dass beide Eigenwerte 1 sind.
Affine Eigenschaften:
Scherungen erhalten Kollinearität und Verhältnisse entlang von Geraden, auch wenn sie allgemein weder Längen noch Winkel bewahren (außer in den oben genannten Richtungen).
