Kapitel 5 - Vektorräume Flashcards
Was ist im allgemeinen gesprochen ein Vektorraum?
Eine Strktur.
Was sind Vektoren, mathematisch gesprochen?
Mathematische Objekte,
wie Matrizen
Polynome
Lineare Abbildungen
Gebe ein äquivalentes Beispiel für das Konzept der Vektorräume.
Ein Beispiel wäre die Kategorie Fahrzeuge mit vier Räder.
Dazu würden alle Arten von mobilen Mitteln in Frage kommen die vier Räder haben.
Was ist eine lineare Abbildung (Laienhaft erklärt)?
Eine besondere Art von Funktion, die Vektoren nimmt und sie auf eine neue Art anordnet oder verändert – aber immer nach bestimmten Regeln.
Wie werden die Vektoren in der linearen Abbildung verändert (Laienhaft erklärt)?
-Vergrößern oder Verkleinern (z. B. eine Fotokopie in einer anderen Größe)
-Drehen oder Spiegeln (wie ein Bild in einem Spiegel)
-Scheren oder Verzerren (wie ein Gummi, das du ziehst)
Welche wichtigen Dinge verändern sich bei der Linearen Abbildung nicht ( Laienhaft erklärt)?
-Geraden bleiben gerade
-Der Ursprung (0,0) bleibt immer an der gleichen Stelle
-Die Addition und Skalierung von Vektoren funktioniert wie gewohnt.
Wie lautet die mathematische Definition der linearen Abbildung ?
Eine lineare Abbildung 𝑓 : 𝑉 → 𝑊 zwischen zwei Vektorräumen V und W über einem Körper K ist eine Abbildung, die zwei zentrale Eigenschaften erfüllt:
-Additivität
-Homogenität
Was bedeutet Aditivität in der linearen Abbildung?
f( v₁ + v₂ ) = f( v₁ ) + f( v₂ ) ∀ v₁ , v₂ ∈ V
→ Die Abbildung erhält die Vektoraddition bei.
Was bedeutet Homogänität in der linearen Abbildung?
(Skalarmultiplikation):
𝑓 ( 𝜆 𝑣 ) = 𝜆 𝑓 ( 𝑣 ) ∀ 𝑣 ∈ 𝑉 , 𝜆 ∈ 𝐾
→ Die Abbildung erhält die Multiplikation mit Skalaren bei.
Wann entstehen Vektorräume?
-Wenn man auf einer Menge von Elementen zwei Operationen definieren kann,
-welch dann bestimmten Gesetzten und Regeln gehorcht.
Was ist Homomorphismus ( Laienhaft erklärt )?
Eine Art “Übersetzung” oder “Übertragung” von einer mathematischen Struktur in eine andere, bei der alle wichtigen Regeln erhalten bleiben.
Bei der “Übersetzung” soll nicht nur die Bedeutung gleich bleiben, sondern auch die Grammatik.
-Er nimmt Objekte aus einer Struktur (z. B. einer Gruppe, einem Vektorraum oder einem Ring)
-Überträgt sie in eine andere Struktur
-Bewahrt dabei die mathematischen Regeln dieser Struktur
Was ist Homomorphismus (Mathematische Erklärung )?
Eine Abbildung zwischen zwei algebraischen Strukturen, die deren Operationen respektiert. Je nach Struktur gibt es verschiedene Arten:
-Gruppenhomomorphismus
-Ringhomomorphismus
-Vektorraumhomomorphismus (lineare Abbildung)
Gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung.
Eine Matrixtransformation
Gebe ein Beispiel für eine nicht lineare Abbildung.
f(x) = x²
Gebe zwei binäre Operationen an um einen Vektorraum zu erzeugen.
Vektoraddition
Skalare Multiplikation
Was benötigt man für die skalare Multiplikation ?
Ein Körper k für den Skalar und eine Grundmenge v für den Vektorraum.
Welche Bedingungen müssen erfüllt sein um auf einer Grundmenge v die Vektoraddition definieren zu können?
-Assoziativgesetz
-Kommutativgesetz
-Neutralelement
-Inverse Element
Was ist eine kommutative bzw. abelsche Gruppe?
Eine Menge, welcher sowohl dem Assoziativgesetz als auch dem Kommutativgesetz entspricht und darüber hinaus ein neutrales und inverses Element besitzt.
Was ist ein Nullvektor?
Ein Vektor dessen Komponente alle Nullen sind.
Wie lautet die erste Regel der skalaren Multiplikation?
∀r, s ∈ K ∀ v ∈ V :
r * ( s * v ) = (r * s) * v
Welche Erkenntnisse lassen sich erschließen wenn man die Gesetze der skalaren Multiplikation betrachtet?
dass
-( 1 + 1 ) v = v + v = 2v
-v + ( v + v ) = v + 2v = 3v
Was bedeutet “ skalar Multiplikation ist nicht Symetrisch”
Es bedeute dass die Reihenfolge der Operanden nicht vertauscht werden darf.
Wenn meine Zahlenmenge aus den rationalen Zahlen besteht, woraus besteht dann mein Vektorraum?
Auch aus den rationalen Zahlen.
Was ist beim Aussuchen von Zahlenmengen für das Erstellen von Vektorräume zu beachten?
Die Grundmenge der Zahlen für den Skalar darf nicht die Obermenge der zahlen der Komponente des Vektors sein.
Was ist der Unterschied zwischen einem polynom mit höchstens n-ten Grades und genau n-ten Grades?
Ein Polynom höchstens n-ten Gerades schließt alle Potenzen für die Polynome mit ein.
Genau n-ten Gerades erzeugt Polynome die alle den exakten Grad haben.
Wie kann man sich ein Polynom als Teil eines Vektorraums vorstellen?
Die Koeffizienten können dem Körper der skalare hinzugefügt werden
Die Variablen entstammen dem selben Körper wobei sie den Vektor darstellend.
Welche Matrixeigenschaften sind unerheblich für das Bilden eines Vektorraums ?
Die Determinante und Invertierbarkeit
Was muss man gewährleisten um beliebige Funktionen zur Bildung eines Vektorraums heranzuziehen?
Addition und skalare Multiplikation müssen möglich gleich bleiben.
Der Definitions und Wertebereich der Funktionen dürfen sich nicht ändern.
Wie kann man einen Vektorraum erzeugen?
1-Grundmenge auswählen
2-Definition der Addition
3-Definition der skalaren Multiplikation
4-Vektorraumeigenschaften überprüfen
5-Namensgebung
Wie erzeugt man den Raum der Polynome?
1- Menge:
p(x)=aₙxⁿ +⋯+a₁x+a₀ mit 𝑎𝑖 ∈ 𝑅 .
2- Addition:
(p+q)(x)=p(x)+q(x)
3- Multiplikation:
(c⋅p)(x)=c⋅p(x)
-Überprüfen
Was bedeutet abstrus?
abwegig, chaotisch, irrig
Was bedeutet R über Q beim Bilden von Vektorräumen?
Es bedeutet:
Die Skalaren kommen aus Q und die Elemente also die Vektoren kommen aus R.
Was sind Nullfolgen?
Folgen mit dem Grenzwert Null
Was ist sind Unterräume?
Eine Teilmenge des Hauptverkorraums, mit den selben Operatoren.
Vektoraddition und Skalarmultiplikation.
Was ist die Idee hinter Untermengen?
Aus einer Grundmenge, eine Teilmenge zu bilden und darauf die Regeln des Vektorraums zu überprüfen.
Wenn V ein Vektorraum über K ist, wann ist U ⊂ V ein Untervektorraum oder Unterraum?
Wenn die Teilmenge U mit der Addition und skalaren Multiplikation aus v über k bereits einen Vektorraum bildet, und gegenüber diesen abgeschlossen ist.
Welche Bedingungen müssen erfüllt sein um auf einer Grundmenge oder Untermenge die skalare Multipikation definieren zu können?
Assoziativität
Distributivität
Identität ( neutral Element festlegen. )
Ab wann heißt eine Teilmenge U eines Vektorraums v über einem Körper K abgeschlossen gegenüber der Addition und der skalaren Multiplikation?
Wenn
∀ u , v ∈ U : u + v ∈ U
∀ r ∈ K und ∀ u ∈ U : r * u ∈ U
Wie kann man Vektorräume aufbauen?
Indem man die Summe von Vektorräume definiert.
Wie lautet die Formel zur Berechnung der einfachen Geldanlage?
I = Prt
Was ist bei der Anwendung der Formel zur Suche der Summe der ersten n natürlichen Zahlen zu beachten?
Immer die 1 und 0 im Auge behalten.
Die Summe der Zahlen zwischen 40 und 60
1-39 bis 60. !!!!
Was ist eine Alm?
Wiese, Weidenplatz im Hoch oder Mittelgebirge
Was bedeutet Reinkarnation?
-Übergang der Seele eines Menschen in einen neuen Körper und eine neue Existenz;
-Seelenwanderung
Was bedeutet Assimilation?
Angleichen einer Konstante an einen anderen
zeige, dass für jeden Vektorraum V über einem Körper K gilt:
(−1)⋅𝑣 = −𝑣
1- Die Eigenschaft des Körperraumes Neutralelement auf die Addition nutzen.
0* v = 0.
2- Die Definition des Inversen Körperelements nutzen:
-1+1 = 0
3- Multiplikation von v
(-1+1)v = 0v
→ (-1)v + 1v = 0
→ (-1)v + v = 0
4- Ende der Beweisführung
(-1)v = - v
Was bedeutet QED?
Quod Erat Demonstrandum
kwot e ratdee mon·stran·dum
Lateinischen für :
“Was zu beweisen war.”
Erkläre folgende Aussage:
v+v=2⋅v
Skalarmultiplikation Vektorräume nutzen:
λ * v
-Wenn λ = 1 so gilt
1 * v = v
-Distributivgesetz der Skalarmultiplikation
( λ + u ) * v = λv + uv
-Setzt man für λ und u, 1 ein:
( 1 + 1 ) * v = v + v
