Kapitel 5 - Vektorräume

Question 1

Was ist im allgemeinen gesprochen ein Vektorraum?

Answer 1

Eine Strktur.

Question 2

Was sind Vektoren, mathematisch gesprochen?

Answer 2

Mathematische Objekte,
wie Matrizen
Polynome
Lineare Abbildungen

Question 3

Gebe ein äquivalentes Beispiel für das Konzept der Vektorräume.

Answer 3

Ein Beispiel wäre die Kategorie Fahrzeuge mit vier Räder.
Dazu würden alle Arten von mobilen Mitteln in Frage kommen die vier Räder haben.

Question 4

Wann entstehen Vektorräume?

Answer 4

-Wenn man auf einer Menge von Elementen zwei Operationen definieren kann,
-welch dann bestimmten Gesetzten und Regeln gehorcht.

Question 5

Gebe zwei binäre Operationen an um einen Vektorraum zu erzeugen.

Answer 5

Vektoraddition
Skalare Multiplikation

Question 6

Was benötigt man für die skalare Multiplikation ?

Answer 6

Ein Körper k für den Skalar und eine Grundmenge v für den Vektorraum.

Question 7

Welche Bedingungen müssen erfüllt sein um auf einer Grundmenge v die Vektoraddition definieren zu können?

Answer 7

-Assoziativgesetz
-Kommutativgesetz
-Netralelement
-Inverse Element

Question 8

Was ist eine kommutative bzw. abelsche Gruppe?

Answer 8

Eine Menge, welcher sowohl dem Assoziativgesetz als auch dem Kommutativgesetz entspricht und darüber hinaus ein neutrales und inverses Element besitzt.

Question 9

Was ist ein Nullvektor?

Answer 9

Ein Vektor dessen Komponente alle Nullen sind.

Question 10

Wie lautet die erste Regel der skalaren Multiplikation?

Answer 10

∀r, s ∈ K ∀ v ∈ V :
r * ( s * v ) = (r * s) * v

Question 11

Welche Erkenntnisse lassen sich erschließen wenn man die Gesetze der skalaren Multiplikation betrachtet?

Answer 11

dass
-( 1 + 1 ) v = v + v = 2v
-v + ( v + v ) = v + 2v = 3v

Question 12

Was bedeutet “ skalar Multiplikation ist nicht Symetrisch”

Answer 12

Es bedeute dass die Reihenfolge der Operanden nicht vertauscht werden darf.

Question 13

Wenn meine Zahlenmenge aus den rationalen Zahlen besteht, woraus besteht dann mein Vektorraum?

Answer 13

Auch aus den rationalen Zahlen.

Question 14

Was ist beim Aussuchen von Zahlenmengen für das Erstellen von Vektorräume zu beachten?

Answer 14

Die Grundmenge der Zahlen für den Skalar darf nicht die Obermenge der zahlen der Komponente des Vektors sein.

Question 15

Was ist der Unterschied zwischen einem polynom mit höchstens n-ten Grades und genau n-ten Grades?

Answer 15

Ein Polynom höchstens n-ten Gerades schließt alle Potenzen für die Polynome mit ein.
Genau n-ten Gerades erzeugt Polynome die alle den exakten Grad haben.

Question 16

Wie kann man sich ein Polynom als Teil eines Vektorraums vorstellen?

Answer 16

Die Koeffizienten können dem Körper der skalare hinzugefügt werden
Die Variablen entstammen dem selben Körper wobei sie den Vektor darstellend.

Question 17

Welche Matrixeigenschaften sind unerheblich für das Bilden eines Vektorraums ?

Answer 17

Die Determinante und Invertierbarkeit

Question 18

Was muss man gewährleisten um beliebige Funktionen zur Bildung eines Vektorraums heranzuziehen?

Answer 18

Addition und skalare Multiplikation müssen möglich gleich bleiben.
Der Definitions und Wertebereich der Funktionen dürfen sich nicht ändern.

Question 19

Wie kann man einen Vektorraum erzeugen?

Answer 19

1-Grundmenge auswählen
2-Definition der Addition
3-Definition der skalaren Multiplikation
4-Vektorraumeigenschaften überprüfen
5-Namensgebung

Question 20

Wie erzeugt man den Raum der Polynome?

Answer 20

1- Menge:
p(x)=aₙ​xⁿ +⋯+a₁​x+a₀ ​mit 𝑎𝑖 ∈ 𝑅 .
2- Addition:
(p+q)(x)=p(x)+q(x)
3- Multiplikation:
(c⋅p)(x)=c⋅p(x)
-Überprüfen

Question 21

Was bedeutet abstrus?

Answer 21

abwegig, chaotisch, irrig

Question 22

Was bedeutet R über Q beim Bilden von Vektorräumen?

Answer 22

Es bedeutet:
Die Skalaren kommen aus Q und die Elemente also die Vektoren kommen aus R.

Question 23

Was sind Nullfolgen?

Answer 23

Folgen mit dem Grenzwert Null

Question 24

Was ist sind Unterräume?

Answer 24

Vektorräume dessen Elemente eine Untermenge der Elemente vom Hauptvektorraum sind.
Die Elemente beider Mengen gehören dem selben Zahlenkörper.

Question 25

Was ist die Idee hinter Untermengen?

Answer 25

Aus einer Grundmenge, eine Teilmenge zu bilden und darauf die Regeln des Vektorraums zu überprüfen.

Question 26

Wenn V ein Vektorraum über K ist, wann ist U ⊂ V ein Untervektorraum oder Unterraum?

Answer 26

Wenn die Teilmenge U mit der Addition und skalaren Multiplikation aus v über k bereits einen Vektorraum bildet, und gegenüber diesen abgeschlossen ist.

Question 27

Welche Bedingungen müssen erfüllt sein um auf einer Grundmenge oder Untermenge die skalare Multipikation definieren zu können?

Answer 27

Assoziativität
Distributivität
Identität ( neutral Element festlegen. )

Question 28

Ab wann heißt eine Teilmenge U eines Vektorraums v über einem Körper K abgeschlossen gegenüber der Addition und der skalaren Multiplikation?

Answer 28

Wenn
∀ u , v ∈ U : u + v ∈ U
∀ r ∈ K und ∀ u ∈ U : r * u ∈ U

Question 29

Wie werden lineare Abbildungen noch genannt?

Answer 29

Homorphismen

Question 30

Wie kann man Vektorräume aufbauen?

Answer 30

Indem man die Summe von Vektorräume definiert.

Question 31

Wie lautet die Formel zur Berechnung der einfachen Geldanlage?

Answer 31

I = Prt

Question 32

Was ist bei der Anwendung der Formel zur Suche der Summe der ersten n natürlichen Zahlen zu beachten?

Answer 32

Immer die 1 und 0 im Auge behalten.
Die Summe der Zahlen zwischen 40 und 60
1-39 bis 60. !!!!