Kapitel 3 - Körper und andere Welten Flashcards
Was ist mit Körper in der Mathematik gemeint?
Eine Grundmenge mit darauf definierten binären Operatoren oder Verknüpfungen.
Auch eine geschlossene Struktur genannt.
Was ist ein binärer Operator?
Ein Operator der für seine Operation zwei Operanden benötigt.
Welche Arten von binären Operatoren gibt es?
Arithmetische
Logische
Vergleichsoperatoren
Mengenoperatoren
Wie nennt man einen Zahlenkörper oder einfach nur Körper, in der Mathematik auf Englisch?
Field
Wer war der Erfinder des Begriffes Körper im mathematischen Sinne?
Richard Dedekind
1893
Ab wann spricht man von einem Körper? Was müssen Zahlenmenge und der Operator tun um als Körper akzeptiert zu werden?
Wenn die Grundmenge und die Operatoren strengen Regeln befolgen, gelten sie als Körper.
Wie heißt der bedeutsamste Gruppe von Körpern?
Der Zahlkörper
Auf welche Gruppe von Zahlen werden die wichtigsten Zahlkörper definiert?
Auf den
reellen
komplexen
rationalen.
Auf welche Gruppe von Zahlen lassen sich die Zahlkörper nicht definieren?
Auf die Natürlichen oder ganzen Zahlen.
Was ist das Assoziativgesetz?
Ein Körpergesetz der drei beliebige Elemente der Grundmenge, etwa x,y,z durch einen Operator führt.
Was ist beim Assoziativgesetz zu beachten?
Die reihen folge der drei Elemente müssen in beiden Varianten gleich sein.
Wann ist das Assoziativgesetz erfüllt?
Wenn für alle denkbaren Kombinationen von Eingängen jede Reihenfolge der Verarbeitung zum selben Ergebnis führt.
Wie lautet die mathematische Formulierung für das Assoziativgesetz?
∀ x,y,z ∈ M :
x ⦻ ( y ⦻ z ) = ( x ⦻ y ) ⦻ z
Für alle x,y,z Elemente der Menge M gilt …
Wie stehen der Allquantor und Existenzquantor im Verhältnis zur leeren Menge?
Eine Aussage mit dem Allquantor auf die leere Menge ist stets wahr und der Existenzquantor auf die leere Menge ist falsch.
Für welche Operatoren gilt das Assoziativgesetz?
Addition
Multiplikation
Was bedeutet maritim?
Das Meer betreffend, von ihm beeinflusst, geprägt.
Das Seewesen betreffend,
die Schifffahrt betreffend.
Was bedeutet sinnieren?
Grübeln, versunken über etwas nachdenken
Was bedeutet Commutare?
lateinisch für vertauschen
Wann ist das Kommutativgesetz erfüllt?
Wenn für alle denkbaren Kombinationen von Eingaben die beiden Operanden vertauscht werden dürfen, ohne dass sich das Ergebnis ändert
Wie lautet die mathematische Formulierung für das Kommutativgesetz?
∀ x,y ∈ M :
x ⦻ y = y ⦻ x
Für welche Operationen ist das Kommutativgesetz gültig?
Addition und Multiplikation
Was ist ein neutrales Element?
Ein Element e welcher in Operation mit einem anderen Element x das Element x wiedergibt.
Wie lautet die mathematische Definition eines neutralen Elements?
∃ e ∈ M : ∀ x ∈ M : e ⦻ x = x
Was ist das neutrale Element in der Addition?
Null
0 + x = x
Was ist das neutrale Element in Bezug auf die Multiplikation?
1
Wie wird das neutrale Element in Bezug auf die Addition genannt?
Nullelement
Wie wird das neutrale Element in Bezug auf die Multiplikation genannt?
Einslement
Was ist das inverse Element?
Ein Inverses Element x⁻¹ ist ein Element, dass verknüpft mit einem Element x, das neutrale Element e ergibt.
Wie lautet die mathematische Formulierung für das inverse Element e?
∀x ∈ M : ∃ x⁻¹ : x ⦻ x⁻¹ = e
Was sollte man beim Suchen des inversen Elements beachten?
Es kann sein dass ein Element ein inverses, kein oder mehrere hat.
Was ist das inverse Element im Bezug auf die Addition?
Das Element mit dem umgekehrten Vorzeichen.
Was ist das inverse Element im Bezug auf die Multiplikation?
Der Kehrwert des Elements.
Was ist das multiplikative Inverse für Null?
Gibt es nicht da kein Element multipliziert mit Null eins ergibt.
Was ist das Distributivgesetz?
Ein Gesetz, welches besagt wie die Elemente im Bezug auf die Operationen verteilt werden so dass zum Schluss das selbe Ergebnis erzielt wird.
Was wird im Vergleich zu den anderen Gesetzen für das Distributivgesetz benötigt?
Zwei Operatoren
Wie lautet die mathematische Definition für das Distributivgesetz?
∀ x,y,z ∈ M :
x ⦻ ( y ⊕ z ) = ( x ⦻ y ) ⊕ ( x ⦻ z )
Warum ist die Verknüpfung von 1 mit 1 mit der Operation + auf der Grundmenge M = { 0, 1} gleich 0?
Also 1 + 1 = 0.
Da Null das neutrale Element ist und man für jeden Körper bezüglich der Addition eine inverse benötigt. Was wiederum wegen der Regel
Inverse * Element = neutralElement
nur zulässt dass die 1 auch sein inverses ist. So ergibt das 1 + 1 = 0.
Woraus besteht die Struktur eines Körpers grundsätzlich?
Aus drei Komponenten
Auch 3-Tupel genannt.
Warum bilden die natürlichen und ganzen Zahlen keinen Körper?
da bei den Natürlichen das neutrale Element im Bezug auf die Addition fehlt, und bei den Ganzen das Inverse im Bezug auf die Multiplikation.
Warum werden die rationalen Zahlen um die Reellen erweitert?
Da die rationalen Zahlen keine Lösung für gleichungen wie
x² = 2 liefern können.
Was bedeutet algebraisch abgeschlossen?
Es bedeutet dass jede Gleichung lösbar ist.
“Die komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen”.
Wie kann man systematisch überprüfen ob eine Menge einen Körper darstellt?
bezüglich der Verknüpfung:
-Ist das Kommutativgesetz erfüllt?
-Gibt es Neutralelemente?
-Ist das Assoziativgesetz erfüllt?
-Ist das Disstributivgesetz erfüllt?
Was ist Hedonismus ?
Eine Gruppe von Theorien, in denen der Begriff Lust eine zentrale Rolle spielt.
Was bedeutet Dreifaltigkeit?
Dreieinigkeit oder auch trinität genannt, ist in der christlichen Theologie die Wesenseinheit Gottes in drei Personen oder Hypotasten.
Vater, sohnes, heilige Geist
Wann treten die Symptome Minderwertigkeit, Angst und Abhängigkeit auf, beziehungstechnisch betrachtet?
Wenn man ein unbefriedigendes Dasein hat, mit seinem Leben nicht fertig wird und in die andere Person den einzigen Grund sieht glücklich zu sein.
Was bedeutet obszön?
Unanständig, entrüstend, hervorrufen
