Kapitel 3 - Körper und andere Welten Flashcards
Was ist mit Körper in der Mathematik gemeint?
Eine Grundmenge mit darauf definierten binären Operatoren oder Verknüpfungen.
Auch eine geschlossene Struktur genannt.
Was ist ein binärer Operator?
Ein Operator der für seine Operation zwei Operanden benötigt.
Welche Arten von binären Operatoren gibt es?
Arithmetische
Logische
Vergleichsoperatoren
Mengenoperatoren
Wie nennt man einen Zahlenkörper oder einfach nur Körper, in der Mathematik auf Englisch?
Field
Wer war der Erfinder des Begriffes Körper im mathematischen Sinne?
Richard Dedekind
1893
Ab wann spricht man von einem Körper? Was müssen Zahlenmenge und der Operator tun um als Körper akzeptiert zu werden?
Wenn die Grundmenge und die Operatoren strengen Regeln befolgen, gelten sie als Körper.
Wie heißt der bedeutsamste Gruppe von Körpern?
Der Zahlkörper
Auf welche Gruppe von Zahlen werden die wichtigsten Zahlkörper definiert?
Auf den
reellen
komplexen
rationalen.
Auf welche Gruppe von Zahlen lassen sich die Zahlkörper nicht definieren?
Auf die Natürlichen oder ganzen Zahlen.
Was ist das Assoziativgesetz?
Ein Körpergesetz der drei beliebige Elemente der Grundmenge, etwa x,y,z durch einen Operator führt.
Was ist beim Assoziativgesetz zu beachten?
Die reihen folge der drei Elemente müssen in beiden Varianten gleich sein.
Wann ist das Assoziativgesetz erfüllt?
Wenn für alle denkbaren Kombinationen von Eingängen jede Reihenfolge der Verarbeitung zum selben Ergebnis führt.
Wie lautet die mathematische Formulierung für das Assoziativgesetz?
∀ x,y,z ∈ M :
x ⦻ ( y ⦻ z ) = ( x ⦻ y ) ⦻ z
Für alle x,y,z Elemente der Menge M gilt …
Wie stehen der Allquantor und Existenzquantor im Verhältnis zur leeren Menge?
Eine Aussage mit dem Allquantor auf die leere Menge ist stets wahr und der Existenzquantor auf die leere Menge ist falsch.
Für welche Operatoren gilt das Assoziativgesetz?
Addition
Multiplikation
Was bedeutet maritim?
Das Meer betreffend, von ihm beeinflusst, geprägt.
Das Seewesen betreffend,
die Schifffahrt betreffend.
Was bedeutet sinnieren?
Grübeln, versunken über etwas nachdenken
Was bedeutet Commutare?
lateinisch für vertauschen
Wann ist das Kommutativgesetz erfüllt?
Wenn für alle denkbaren Kombinationen von Eingaben die beiden Operanden vertauscht werden dürfen, ohne dass sich das Ergebnis ändert
Wie lautet die mathematische Formulierung für das Kommutativgesetz?
∀ x,y ∈ M :
x ⦻ y = y ⦻ x
Für welche Operationen ist das Kommutativgesetz gültig?
Addition und Multiplikation
Was ist ein neutrales Element?
Ein Element e welcher in Operation mit einem anderen Element x das Element x wiedergibt.
Wie lautet die mathematische Definition eines neutralen Elements?
∃ e ∈ M : ∀ x ∈ M : e ⦻ x = x
Was ist das neutrale Element in der Addition?
Null
0 + x = x
