Kapitel 3 - Körper und andere Welten

Question 1

Was ist mit Körper in der Mathematik gemeint?

Answer 1

Eine Grundmenge mit darauf definierten binären Operatoren oder Verknüpfungen.
Auch eine geschlossene Struktur genannt.

Question 2

Was ist ein binärer Operator?

Answer 2

Ein Operator der für seine Operation zwei Operanden benötigt.

Question 3

Welche Arten von binären Operatoren gibt es?

Answer 3

Arithmetische
Logische
Vergleichsoperatoren
Mengenoperatoren

Question 4

Wie nennt man einen Zahlenkörper oder einfach nur Körper, in der Mathematik auf Englisch?

Answer 4

Field

Question 5

Wer war der Erfinder des Begriffes Körper im mathematischen Sinne?

Answer 5

Richard Dedekind
1893

Question 6

Ab wann spricht man von einem Körper? Was müssen Zahlenmenge und der Operator tun um als Körper akzeptiert zu werden?

Answer 6

Wenn die Grundmenge und die Operatoren strengen Regeln befolgen, gelten sie als Körper.

Question 7

Wie heißt der bedeutsamste Gruppe von Körpern?

Answer 7

Die Zahlkörper

Question 8

Auf welche Gruppe von Zahlen werden die wichtigsten Zahlkörper definiert?

Answer 8

Auf den
reellen
komplexen
rationalen.

Question 9

Auf welche Gruppe von Zahlen lassen sich die Zahlkörper nicht definieren?

Answer 9

Auf die Natürlichen oder ganzen Zahlen.

Question 10

Was ist das Assoziativgesetz?

Answer 10

Ein Körpergesetz der drei beliebige Elemente der Grundmenge, etwa x,y,z durch einen Operator führt.

Question 11

Was ist beim Assoziativgesetz zu beachten?

Answer 11

Die reihen folge der drei Elemente müssen in beiden Varianten gleich sein.

Question 12

Wann ist das Assoziativgesetz erfüllt?

Answer 12

Wenn für alle denkbaren Kombinationen von Eingängen jede Reihenfolge der Verarbeitung zum selben Ergebnis führt.

Question 13

Wie lautet die mathematische Formulierung für das Assoziativgesetz?

Answer 13

∀ x,y,z ∈ M :
x ⦻ ( y ⦻ z ) = ( x ⦻ y ) ⦻ z
Für alle x,y,z Elemente der Menge M gilt …

Question 14

Wie stehen der Allquantor und Existenzquantor im Verhältnis zur leeren Menge?

Answer 14

Eine Aussage mit dem Allquantor auf die leere Menge ist stets wahr und der Existenzquantor auf die leere Menge ist falsch.

Question 15

Für welche Operatoren gilt das Assoziativgesetz?

Answer 15

Addition
Multiplikation

Question 16

Was bedeutet maritim?

Answer 16

Das Meer betreffend, von ihm beeinflusst, geprägt.
Das Seewesen betreffend,
die Schifffahrt betreffend.

Question 17

Was bedeutet sinnieren?

Answer 17

Grübeln, versunken über etwas nachdenken

Question 18

Was bedeutet Commutare?

Answer 18

lateinisch für vertauschen

Question 19

Wann ist das Kommutativgesetz erfüllt?

Answer 19

Wenn für alle denkbaren Kombinationen von Eingaben die beiden Operanden vertauscht werden dürfen, ohne dass sich das Ergebnis ändert

Question 20

Wie lautet die mathematische Formulierung für das Kommutativgesetz?

Answer 20

∀ x,y ∈ M :
x ⦻ y = y ⦻ x

Question 21

Für welche Operationen ist das Kommutativgesetz gültig?

Answer 21

Addition und Multiplikation

Question 22

Was ist ein neutrales Element?

Answer 22

Ein Element e welcher in Operation mit einem anderen Element x das Element x wiedergibt.

Question 23

Wie lautet die mathematische Definition eines neutralen Elements?

Answer 23

∃ e ∈ M : ∀ x ∈ M : e ⦻ x = x

Question 24

Was ist das neutrale Element in der Addition?

Answer 24

Null
0 + x = x

Question 25

Was ist das neutrale Element in Bezug auf die Multiplikation?

Answer 25

1

Question 26

Wie wird das neutrale Element in Bezug auf die Addition genannt?

Answer 26

Nullelement

Question 27

Wie wird das neutrale Element in Bezug auf die Multiplikation genannt?

Answer 27

Einslement

Question 28

Was ist das inverse Element?

Answer 28

Ein Inverses Element x⁻¹ ist ein Element, dass verknüpft mit einem Element x, das neutrale Element e ergibt.

Question 29

Wie lautet die mathematische Formulierung für das inverse Element e?

Answer 29

∀x ∈ M : ∃ x⁻¹ : x ⦻ x⁻¹ = e

Question 30

Was sollte man beim Suchen des inversen Elements beachten?

Answer 30

Es kann sein dass ein Element ein inverses, kein oder mehrere hat.

Question 31

Was ist das inverse Element im Bezug auf die Addition?

Answer 31

Das Element mit dem umgekehrten Vorzeichen.

Question 32

Was ist das inverse Element im Bezug auf die Multiplikation?

Answer 32

Der Kehrwert des Elements.

Question 33

Was ist das multiplikative Inverse für Null?

Answer 33

Gibt es nicht da kein Element multipliziert mit Null eins ergibt.

Question 34

Was ist das Distributivgesetz?

Answer 34

Ein Gesetz, welches besagt wie die Elemente im Bezug auf die Operationen verteilt werden so dass zum Schluss das selbe Ergebnis erzielt wird.

Question 35

Was wird im Vergleich zu den anderen Gesetzen für das Distributivgesetz benötigt?

Answer 35

Zwei Operatoren

Question 36

Wie lautet die mathematische Definition für das Distributivgesetz?

Answer 36

∀ x,y,z ∈ M :
x ⦻ ( y ⊕ z ) = ( x ⦻ y ) ⊕ ( x ⦻ z )

Question 37

Warum ist die Verknüpfung von 1 mit 1 mit der Operation + auf der Grundmenge M = { 0, 1} gleich 0?
Also 1 + 1 = 0.

Answer 37

Da Null das neutrale Element ist und man für jeden Körper bezüglich der Addition eine inverse benötigt. Was wiederum wegen der Regel
Inverse * Element = neutralElement
nur zulässt dass die 1 auch sein inverses ist. So ergibt das 1 + 1 = 0.

Question 38

Woraus besteht die Struktur eines Körpers grundsätzlich?

Answer 38

Aus drei Komponenten
Auch 3-Tupel genannt.

Question 39

Warum bilden die natürlichen und ganzen Zahlen keinen Körper?

Answer 39

da bei den Natürlichen das neutrale Element im Bezug auf die Addition fehlt, und bei den Ganzen das Inverse im Bezug auf die Multiplikation.

Question 40

Warum werden die rationalen Zahlen um die Reellen erweitert?

Answer 40

Da die rationalen Zahlen keine Lösung für gleichungen wie
x² = 2 liefern können.

Question 41

Was bedeutet algebraisch abgeschlossen?

Answer 41

Es bedeutet dass jede Gleichung lösbar ist.
“Die komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen”.

Question 42

Wie kann man systematisch überprüfen ob eine Menge einen Körper darstellt?

Answer 42

bezüglich der Verknüpfung:
-Ist das Kommutativgesetz erfüllt?
-Gibt es Neutralelemente?
-Ist das Assoziativgesetz erfüllt?
-Ist das Disstributivgesetz erfüllt?