Kapitel 12 - Teil 2 - Geometrische Transformationen Flashcards
Was sind geometrische Transformationen und was transformieren sie?
Abbildungen, die Punkte eines Raums auf einen anderen abbilden und die Lage sowie Gestalt von Objekten ändern.
Welche Grundtypen der affinen Transformation gibt es?
-Translation: Verschieben eines Objekts um einen festen Vektor.
-Rotation: Drehung eines Objekts um einen festen Punkt (im 2D) oder eine Achse (im 3D)
-Skalierung: Veränderung der Größe eines Objekts, meist proportional in alle Richtungen.
-Spiegelung: Abbildung eines Objekts an einer Geraden (2D) oder Ebene (3D)
-Scherung/Transvektion: Verzerrung eines Objekts, bei der Parallelen erhalten bleiben, aber Winkel sich ändern.
Was ist der Unterschied zwischen Varianten und invarianz?
Varianten werden verwendet, um die Beendigung eines iterativen Prozesses zu demonstrieren. Eine Invariante ist eine Beziehung zwischen den Zustandselementen eines iterativen Prozesses, die für die gesamte Dauer der Ausführung des Prozesses bestehen bleibt.
Variante Markiert die einzelnen Teile.
Invarianz zeigt die allgemeinen Gemeinsamkeiten die sich über alle Varianten hindurch zeihen.
Was ist eine Rotation? (Laienhaft erklärt)
Wenn sich ein Objekt um einen festen Punkt (2D) oder eine feste Achse (3D) dreht.
Bsp.:
Schlüssel im Schloss drehen.
Was gehört alles zu einer Rotation? (Laienhaft erklärt)
-Drehzentrum oder Rotationsachse
-Drehwinkel
-Drehrichtung ( Im oder gegen den Uhrzeigersinn )
Was ist eine Rotation? ( Mathematisch erklärt)
Eine spezielle isometrische Transformation, die Länge und Winkel erhält
und
im Rahmen der Linearen Algebra durch eine orthogonale Matrix mit Determinante 1 dargestellt wird.
Wie wird die Rotation in 2D dargestellt?
Die Rotation im 2D wird durch einen Winkel und der möglichen Translation beschrieben:
R(ϑ) =
cosϑ - sinϑ
sinϑ cosϑ
und kombiniert die Matrix wenn die Rotation um einen beliebigen Punkt stattfindet:
f(x)=p+R(ϑ)(x−p).
Wie wird die Rotation im 3D beschrieben?
Sie wird durch eine 3x3 Matrix beschrieben, die Orthogonal ist und vom Rotationswinkel sowie eine Rotationsachse bestimmt wird.
Was macht die Lösung von Problemen im 3D so kompliziert?
Da man nicht nur einen Rotationswinkel festlegen muss sondern auch eine Rotationsache.
Welche Methoden gibt es die Rotation im 3D zu ermöglichen?
-Rodrigues-Formel
-Euler-Winkel
-Quaternionen
-Direkte Konstruktion von Rotationsmatrizen
Wie bestimmt man mit Hilfe der Achsen-Winkel-Darstellung und der Rodriguez-Formel die Rotation sowohl darstellen als auch berechnen?
Die Darstellung: (AWD)
-Rotationsachse: Einheitsvektor wählen
u=(uₓ ,uᵧ ,u ) → Richtung der Roationsachse.
-Rotationswinkel:
Der Winkel ϑ um den sich das Objekt rotiert.
Erkläre die Rodriguez-Formel / Rotationsformel.
Mit der Achsen-Winkel-Darstellung berechnet sich die Rotationsmatrix wie folgt:
R =
R=I cos(θ) + (1−cos(θ)) 𝑢 ⃗ * 𝑢 ⃗ ᵗ + [u]× sin(θ),
-I die 3×3 - Einheitsmatrix ist,
-𝑢 ⃗𝑢 ⃗ᵗ das äußere Produkt des Einheitsvektors 𝑢 ⃗ mit sich selbst,
-[ 𝑢 ⃗ ]× die Schiefsymmetrische Matrix von 𝑢 ⃗
Was wenn sich die Rotation im 3D nicht um den Ursprung dreht sondern um einen festen Punkt?
Dann wendet man auch hier wie im 2D fall die Formel:
x′ = p + R( x−p).
Was sind die Eigenschaften der Rotation?
- Isometrie
- Linearität ( Um den Ursprung )
- Invertierbarkeit
- Erhaltung des Ursprungs ( bei linearen Rotationen )
Was benötigt man für eine Rotation?
-Rotationsparameter:
Im 2D: Winkel ϑ und Drehzentrum
Im 3D: Winekl ϑ und Rotationsachse
-Matrixdarstellung:
Zur rechnerischen Umsetzung.
-Affine Komponente:
Für Rotationen die nicht um den Ursprung geschehen.
