Kapitel 12 - Teil 2 - Geometrische Transformationen Flashcards
Was sind geometrische Transformationen und was transformieren sie?
Abbildungen, die Punkte eines Raums auf einen anderen abbilden und die Lage sowie Gestalt von Objekten ändern.
Welche Grundtypen der affinen Transformation gibt es?
-Translation: Verschieben eines Objekts um einen festen Vektor.
-Rotation: Drehung eines Objekts um einen festen Punkt (im 2D) oder eine Achse (im 3D)
-Skalierung: Veränderung der Größe eines Objekts, meist proportional in alle Richtungen.
-Spiegelung: Abbildung eines Objekts an einer Geraden (2D) oder Ebene (3D)
-Scherung/Transvektion: Verzerrung eines Objekts, bei der Parallelen erhalten bleiben, aber Winkel sich ändern.
Was ist der Unterschied zwischen Varianten und invarianz?
Varianten werden verwendet, um die Beendigung eines iterativen Prozesses zu demonstrieren. Eine Invariante ist eine Beziehung zwischen den Zustandselementen eines iterativen Prozesses, die für die gesamte Dauer der Ausführung des Prozesses bestehen bleibt.
Variante Markiert die einzelnen Teile.
Invarianz zeigt die allgemeinen Gemeinsamkeiten die sich über alle Varianten hindurch ziehen.
Was ist eine affine Rotation? (Laienhaft erklärt)
Wenn sich ein Objekt um einen festen Punkt (2D) oder eine feste Achse (3D) dreht.
Bsp.:
Schlüssel im Schloss drehen.
Was gehört alles zu einer Rotation? (Laienhaft erklärt)
-Drehzentrum oder Rotationsachse
-Drehwinkel
-Drehrichtung ( Im oder gegen den Uhrzeigersinn )
Was ist eine Rotation? ( Mathematisch erklärt)
Eine spezielle isometrische Transformation, die Länge und Winkel erhält
und
im Rahmen der Linearen Algebra durch eine orthogonale Matrix mit Determinante 1 dargestellt wird.
Wie wird die Rotation in 2D dargestellt?
Die Rotation im 2D wird durch einen Winkel und der möglichen Translation beschrieben:
R(ϑ) =
cosϑ - sinϑ
sinϑ cosϑ
und kombiniert die Matrix wenn die Rotation um einen beliebigen Punkt stattfindet:
f(x)=p+R(ϑ)(x−p).
Kannst du Schritt für Schritt erklären wie die Rotation im 2D um einen beliebigen Punkt stattfindet?
-Man verschiebt das Objekt zur Erst in den Ursprung:
→ (x−p)
-Dann wird das Objekt rotiert.
R(ϑ)(x−p)
-Zum Schluss verschiebt man das Objekt zurück an seinen Platz.
f(x) = p+R(ϑ)(x−p)
Welchen Gestallt hat die Rotationsmatrix?
R(ϑ) =
cosϑ - sinϑ
sinϑ cosϑ
Welche besondere Eigenschaft hat die Rotationsmatrix?
Sie ist invertierbar.
Zusehen an der Determinante 1.
Welche Wechselwirkung hat die Rotationsmatrix multipliziert mit seiner inversen?
Wird ein Objekt rotiert, also mit seiner zugehörigen Rotationsmatrix multipliziert, so führt die Multiplikation mit der Inversen der Rotationsmatrix in die Ursprünglichen Ausgangslage.
Wie sieht die Formel für die Rotation im 2D aus?
Erkläre um welchen Punkt rotiert wird.
p’ = Rotationsmatrix * p
Das Objekt dreht sich um den Ursprung.
Wie rotiere ich mein Objekt wenn es aus drei Punkten besteht?
Dann wird jedes Punkt mit der Rotationsmatrix multipliziert.
Wie wird die Rotation im 3D beschrieben?
Sie wird durch eine 3x3 Matrix beschrieben, die Orthogonal ist und vom Rotationswinkel sowie eine Rotationsachse bestimmt wird.
Wie sieht die Rotationsmatrix an der x-Achse aus? 3 x 3!!!
Dₛ =
1 0 0
0 cos -sin
0 sin cos
Wie sieht die Rotationsmatrix um die Y-Achse aus?
Dₛ =
cos 0 sin
0 1 0
-sin 0 cos
Wie sieht die Rotationsmatrix um die Z-Achse aus?
Dₛ =
cos -sin 0
sin cos 0
0 0 1
Wie rotiert man um alle drei Achsen gleichzeitig?
Beispielsweise:
30° um die X-Achse
45° um die Y-Achse
60° um die Z-Achse
Man multipliziert die drei Rotationsmatrizen in der Reihenfolge der Anwendung von Rechts nach Links.
Zur Veranschaulichung:
D(60°) * D(45°) * D(30°).
Was macht die Lösung von Problemen im 3D so kompliziert?
Da man nicht nur einen Rotationswinkel festlegen muss sondern auch eine Rotationsache.
Welche Methoden gibt es die Rotation im 3D zu ermöglichen?
-Rodrigues-Formel
-Euler-Winkel
-Quaternionen
-Direkte Konstruktion von Rotationsmatrizen
Wie bestimmt man mit Hilfe der Achsen-Winkel-Darstellung und der Rodriguez-Formel die Rotation sowohl darstellen als auch berechnen?
Die Darstellung: (AWD)
-Rotationsachse: Einheitsvektor wählen
u=(uₓ ,uᵧ ,u ) → Richtung der Roationsachse.
-Rotationswinkel:
Der Winkel ϑ um den sich das Objekt rotiert.
Erkläre die Rodriguez-Formel / Rotationsformel.
Mit der Achsen-Winkel-Darstellung berechnet sich die Rotationsmatrix wie folgt:
R =
R=I cos(θ) + (1−cos(θ)) 𝑢 ⃗ * 𝑢 ⃗ ᵗ + [u]× sin(θ),
-I die 3×3 - Einheitsmatrix ist,
-𝑢 ⃗𝑢 ⃗ᵗ das äußere Produkt des Einheitsvektors 𝑢 ⃗ mit sich selbst,
-[ 𝑢 ⃗ ]× die Schiefsymmetrische Matrix von 𝑢 ⃗
Was wenn sich die Rotation im 3D nicht um den Ursprung dreht sondern um einen festen Punkt?
Dann wendet man auch hier wie im 2D fall die Formel:
x′ = p + R( x−p).
Was sind die Eigenschaften der Rotation?
- Isometrie
- Linearität ( Um den Ursprung )
- Invertierbarkeit
- Erhaltung des Ursprungs ( bei linearen Rotationen )
