Kapitel 6 - LGS - Teil 2 Flashcards
Wer ist Carl Friedrich Gauß?
Ein deutscher Mathematiker, der im 18ten Jahrhundert lebte und große mathematische Leistungen hervorbrachte.
Was ist das gauß’sche Eliminationsverfahren?
Ein Verfahren mit dessen Hilfe man die Stufenform eines LGS erreicht und somit das System lösen kann.
Welche Regeln schreibt das System vor?
-Zeilen vertauschen
-Spalten vertauschen
-Eine Zeile durch die Summe derselbigen mit dem beliebigen Vielfachen einer anderen Zeile ersetzen.
Wie läuft der Algorithmus des Gaußverfahrens genaustens ab?
1-Zeilen und spalten so vertauschen dass ganz oben links eine Unbekannte mit einem Koeffizienten >= 1 steht
2-Ziel ist es alle Einträge unterhalb der ersten Zeile/Spalte Null werden zu lassen. ( dazu die dritte Gauß Regel anwenden )
3-Ist der Eintrag der Letzte in der Zeile bzw. Spalte dann zum nächsten gehen und den Vorgang wiederholen.
Was ist das Gauß-Jordan-Algorithmus?
Eine Erweiterung des Gauß’sche Eliminationsverfahren um die Regel:
-Eine Zeile der LGS mit einem beliebigen Wert ungleich Null multiplizieren.
-Von unten nach oben, die selben Regeln anwenden.
Was ist die Koeffizientenmatrix ?
Eine Vereinfachung eines LGS als Matrix und die vektorielle Schreibweise der Unbekannten und Erbenissen.
Die Matrix wird mit dem Vektor multipliziert.
A = Matrix ; b = Unbekannten-Vektor; x = Ergebniss-Vektor
A b = x
Was sind Dreiecksmatrizen?
Matrizen dessen unterhalb oder oberhalb der Hauptdiagonale Null sind.
Was sind untere Dreiecksmatrizen?
Matrizen dessen Elemente oberhalb der Hauptdiagonale Null sind.
Was sind obere Dreiecksmatrizen?
Matrizen dessen Elemente unterhalb der Hauptdiagonale Null sind.
Was sind Determinanten?
Zahlen, die die Eigenschaften eines mathematischen Objektes klar darstellen.
Wie kann man die Determinante einer 3x3 Matrix bestimmen?
Man weist den Elementen einer Matrix buchstaben wie folgt.
a b c
d e f
g h j
und nimmt die folgende Rechnung vor.
det(A)=a(ei−fh)−b(di−fg)+c(dh−eg)
Ab Wann ist eine Matrix regulär?
Wenn ihre Determinante ≠ 0 ist.
Wie kann man mit Hilfe der inversen einer Matrix ein LGS lösen?
Es soll für ein LGS gelten:
A x = b
So lautet die Lösung der LGS mit dem Inversen der Koeffizientenmatrix:
A⁻¹ A x = A⁻¹ b
x = A⁻¹ b
erhalten.
Was ist die Technik der Parametrisierung?
Wenn man in einer Gleichung (LGS) einen zusätzlichen Parameter erhält und diesen nach dem Parameter lösen muss.
Wie löst man das parametrisierte LGS?
1-Das System aufräumen
2-Den Gauß Algorithmus anwenden
3-Den Gauß Jordan Algorithmus anwenden.
Jedes mal wenn Parameter Einfluss auf die Lösbarkeit des Systems hat machen wir eine Fallunterscheidung.
