Kapitel 7 - Matrix

Question 1

Was ist eine Matrix?

Answer 1

Eine Tabelle aus Zeilen und Spalten die bestimmte Elemente enthält.

Question 2

Was ist die Größe einer Matrix?

Answer 2

Seine Dimension, die Anzahl der Zeilen und Spalten.

Question 3

Was trägt man an Stelle der fehlenden Unbekannten bei der Übertragung eines LGS in eine Matrix?

Answer 3

Null

Question 4

Wie spricht man m*n Matrix aus?

Answer 4

m- kreuz n Matrix

Question 5

Wie addiert man zwei Matrizen?

Answer 5

Man addierte die entsprechenden Elemente mit einander. (Sie müssen an den selben Stellen vorkommen)

Question 6

Was ist bei der Addition von Matrizen zu beachten?

Answer 6

Man kann nur Matrizen addieren, die die gleiche Dimension haben.

Question 7

Welche Gesetze sind bei der Addition von Matrizen zu beachten?

Answer 7

Assoziativgesetz:
A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
Kommutativgesetz:
A + B = B + A
Die Nullmatrix als Neutralelement:
A + 0 = 0 + A = A
Inverses Element:
A - A = 0

Question 8

Wie erfolgt die skalare Multiplikation mit einer Matrix?

Answer 8

Der Skalar wir von links mit jedem Element multipliziert.

Question 9

Was ist bei der skalaren Multiplikation zu beachten?

Answer 9

-Der Zahlkörper des Skalares darf nicht höher sein als der, der Elemente vom Matrix.
Die skalare Multiplikation ist nicht Assoziativ.

Question 10

Was erlaubt uns der Skalar noch außer der Veränderung der Werte?

Answer 10

Es kennzeichnet auch die Anzahl der Matrizen die miteinander addiert werden.
ähnlich wie bei der klassischen Multiplikation.

Question 11

Welche Regeln gelten im Bezug auf die Skalaremultiplikation?

Answer 11

Seien r, s ∈ K und A ∈ M
Assoziativgesetz:
r(sA) = (rs)A
Distributivgesetz:
(r + s)A = rA + sA
Neutrales Element:
A1=1*A = A
Inverses Element:
A - A = 0

Question 12

Wie erfolgt die Matrix Vektor Multiplikation?

Answer 12

In dem man die erste Zeile einer Matrix mit der ersten Spalte der nächsten Matrix multipliziert als wären es einfache Zahlen. die Ergebnisse werden dann addiert und ergeben dann das neue Element für die neue Matrix.

Question 13

Was ist bei der Matrix Vektor multiplikation zu beachten?

Answer 13

Die erste Zeile einer Matrix muss genauso viele Elemente haben wie die erste Spalte der zweiten Matrix.

Question 14

Was bedeutet Transposition?

Answer 14

umsetzen
Herkunft latein: transponere

Question 15

Wie transponiert man eine Matrix?

Answer 15

Indem man jede Zeile als Spalte wieder schreibt.

Question 16

Was passiert beim Transponieren mit den Operatoren einer Matrix-Addition?

Answer 16

Die Elemente werden ebenfalls transponiert.
(A + B)ᵗ = Aᵗ + Bᵗ

Question 17

Was passiert beim transponieren mit den Operatoren einer Matrizenmultiplikation?

Answer 17

Die Elemente werden vertauscht und transponiert.
(A*B)ᵗ = Bᵗ * Aᵗ

Question 18

Was ist der Rang einer Matrix?

Answer 18

Die Anzahl an verwertbaren Information, ( Zeilen und Spalten ), nachdem man den Gaußalgorithmus angewendet hat.

Question 19

Wie kennzeichnet man den Rang einer Matrix?

Answer 19

Rg(A) = x

Question 20

Welcher Matrix hat den niedrigsten Rang?

Answer 20

Die Nullmatrix
Rg(N) = 0

Question 21

Welche wichtigen Zusammenhänge im Bezug auf den Rang treten auf?

Answer 21

-Der Rang wir durch das transponieren nicht verändert.
-Der Rang wird durch die komplexe Konjugation nicht verändert
-Der Rang der Summe zweier Matrizen ist höchstens so groß wie die Summe der Einzelränge
-Bei der Matrizenmultiplikation überträgt sich der kleinere Rang auf das Ergebnis.

Question 22

Was sind quadratische Matrizen?

Answer 22

Matrizen, die dieselbe Anzahl an Zeilen und Spalten besitzen.

Question 23

Was sind die Eigenschaften der quadratischen Matrizen?

Answer 23

-Quadratische Matrizen ändern ihre Dimension durch Transposition nicht.
-Sie können potenziert werden.
-Sie haben Einheitsmatrizen.

Question 24

Wie sieht eine Einheitsmatrix aus?

Answer 24

Eine Quadratische Nullmatrix mit 1 Elementen auf der Hauptdiagonale.
(Oben links nach unten rechts)

Question 25

Was ist das besondere an Einheitsmatrizen?

Answer 25

Man kann sie von rechts oder von links mit der Matrix multiplizieren und das änder nichts am Ergebnis.

Question 26

Was ist das Produkt einer Matrix mit seiner inversen?

Answer 26

Die zugehörige Einheitsmatrix.

Question 27

Ab wann ist eine Matrix regulär?

Answer 27

Wenn sie invertierbar ist.

Question 28

Was ist eine idempotente Matrix?

Answer 28

Eine Matrix die sich durch das potenzieren nicht ändert.

Question 29

Was sind Nilpotenze Matrizen?

Answer 29

Matrizen dessen potenzierung ab einer bestimmten Potenz die Nullmatrix ergibt.

Question 30

Wie erzeugt man eine Idempotente Matrix?

Answer 30

1- Eine beliebige n x m Matrix B
erzeugen.
2- Die zweite Matrix ist gleich:
A = B(Bᵗ * B)⁻¹ * Bᵗ

Question 31

Was sind Diagonal Matrizen?

Answer 31

Matrizen die nur Elemente entlang ihrer Hauptdiagonale besitzen.

Question 32

Was ist der Rang einer diagonalen Matrix?

Answer 32

Die Anzahl der Elemente entlang der Diagonale.

Question 33

Was sind Skalarmatrizen?

Answer 33

Eine Erweiterung der Diagonalmatrizen und Einheitsmatrizen. Sie besitzen entlang der Hauptdiagonale die selben Zahlen jedoch sind das nicht zwingend einsen.

Question 34

Was ist das besondere an Skalarmatrizen?

Answer 34

Sie sind Kommutativ.
Es macht keinen Unterschied ob man sie von Links oder rechts mit einer anderen Matrix multipliziert.

Question 35

Was heißt profan?

Answer 35

einfach, alltäglich, trivial.

Question 36

Was ist eine adjungierte Matrix?

Answer 36

Eine Matrix dessen Elemente Transponiert und zusäztliche komplex konjugiert sind.
Adjungieren erfolgt nur mit komplexen Matrizen.

Question 37

Was ist eine komplementäre Matrix oder auch adjunkte genannt?

Answer 37

Das Ergebnis der transponierten vorzeichenbehafteten Unterdeterminante.
! Es ist eine weitere Matrix. !

Question 38

Wie berechnet man die Adjunkte?

Answer 38

Gegeben ist eine Matrix A.
1-Die Kofaktormatrix bestimmen
2-Die Kofaktromatrix Transponieren

Question 39

Was ist die Kofaktorenmatrix?

Answer 39

Eine Matrix bestehend aus den Kofaktoren der Elemente von Matrix A.

Question 40

Wie berechnet man ein Kofaktor?

Answer 40

Cⱼᵢ = (-1)^i+j * Mᵢⱼ
Wobei Mᵢⱼ die Minor-Determinante ist.
Also man setzt Vorzeichen für die jeweiligen Elemente der Minor-Determinante-Matrix.
Es ist Schachbrett-Artig und fängt oben links mit einem Pluszeichen an.

Question 41

Was ist die Minordeterminante?

Answer 41

die Determinante einer Matrix, die entsteht wenn die i-te Zeile und j-te Spalte aus A entfernt werden.

Question 42

Wie berechnet man die Minoren einer Matrix?

Answer 42

-Die i-te Zeile und j-te Spalte entfernen.
-Die Determinante zeilenweise bestimmen.

Question 43

Wie bestimmt man die Determinante einer Matrix? 2x2

Answer 43

geg.:
a b
c d
(ad) - (bc)

Question 44

Wie bestimmt man die Determinante einer 3x3 Matrix?

Answer 44

geg.:
a b c
d e f
g h i
det(A)=+a(ei−fh)−b(di−fg)+c(dh−eg).

Question 45

Wie lautet die Formel für die Berechnung der inversen einer Matrix?

Answer 45

A⁻¹ = 1/det(A) * A→ adjunkte

Question 46

Welche Methode gibt es noch um die Inverse einer Matrix zu berechnen?

Answer 46

Mit der Gauß-Jordan-Algorithmus

Question 47

Wie berechnet man die Inverse einer Matrix mittels Gauß-Jordan-Algorithmus?

Answer 47

1- Neben der Matrix die zugehörige Einheitsmatrix notieren.
2- Die Matrix mit Hilfe des Algorithmus zu einer Einheitmatrix umformen.
3-Während dieses Vorgangs die selben Operationen auf die Einheitsmatrix übernehmen.

Question 48

Was ist eine Unitäre Matrix?

Answer 48

Eine Komplexe Matrix matrix dessen adjungierte Matrix die Inverse ergibt.
Aᵗ * A = I = Aᵗ

Question 49

Wie werden unitäre Matrizen mit reellen Einträgen genannt?

Answer 49

orthogonale Matrizen
Die länge der der Spalten Einträge haben die Größe 1

Question 50

Welche Charakteristika gelten für alle unitäre Matrizen?

Answer 50

-Die Determinante ist 1
-Die Spalten entrsprechen Einheitsvektoren.
-Die Spaltenvektoren sind Orhtogonal zu einander.

Question 51

was bedeutet hermetisch?

Answer 51

Luftdicht, undurchlässig, verschlossen

Question 52

Ab wann ist eine Matrix hermitesch?

Answer 52

Wenn eine komplexe Matrix adjungiert sich selbst ergibt.

Question 53

Was ist das besondere an den Elementen einer hermiteschen Matrix?

Answer 53

Die Elemente der Hauptdiagonale müssen reeller Natur sein.

Question 54

Was ist eine Schiefhermitesche Matrix?

Answer 54

Eine komplexe Matrix dessen Adjungtion die Matrix selbst multipliziert mit -1 ergibt.

Question 55

Was sind ähnliche Matrizen?

Answer 55

Matrizen die aufgrund einer bestimmten Operation in relation zu einander stehen.

Question 56

Wie lautet die Formel für ähnliche Matrizen?

Answer 56

A = C⁻¹ B C
Man benötigt eine weitere Matrix C, welcher invertierbar ist und auf eine besondere weise A und B miteinander verbinden.