Kapitel 11 - Abstand halten und schneiden Flashcards
Was ist der Abstand zweier geometrischer Objekte?
Die kürzeste Strecke.
Ein Vektor dessen Anfang sich im ersten Objekt befindet und das End Teil des zweiten Objekts ist.
Welche Vektorabhängige Elemente benötigt man in der Regel zur Abstandsmessung?
Den Differenzvektor.
Die Norm eines Vektors.
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren
Das Skalarprodukt.
Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte unter Angabe der Vektoren?
-Differenzvektor bestimmen.
-Betrag ermitteln
Wie berechnet man den Abstand eines Punktes zu einer Gerade?
Man benötigt den Aufpunkt der Gerade a und die Koordinaten des Punktes p, der Abstandsvektor ist d.
d = | p - a | * sin(α)
Wie wird die Formel für den Abstand eines Punktes zu einer Gerade modifiziert um den Winkel sin(α) zu eliminieren wenn sie nicht bekannt ist?
Ausgehend von der Formel:
“d = | p - a | * sin(α)”
Nutzen wir das Kreuzprodukt der Hypotenuse und dem Richtungsvektor:
| p - a | x r
Was gleich zu setzen ist mit
| p - a | * | r | * sin
= | p - a | x r = d
Um geformt ergibt das
d = [| (p - a) x r |] / [| r |]
Wie berechnet man den Abstand eines Punktes zur Eben?
d = |( p - a ) * n | / || n ||
d der Abstand des Punktes P zur Ebene,
𝑝 ⃗ der Punkt, dessen Abstand zur Ebene berechnet wird,
𝑎 ⃗ ein Punkt auf der Ebene,
𝑛 ⃗ der Normalenvektor der Ebene,
⋅ das Skalarprodukt,
∣ ∣ 𝑛 ⃗ ∣ ∣ die Länge des Normalenvektors der Ebene.
Kannst du die Formel für die Berechnung des Abstandes eines Punktes zur Ebene erklären?
Wir benötigen
1-Die Normalenform einer Ebene
n(x - a) = 0
2-Den Vektor vom Punkt P zur Ebene.
p - a → Differenzvektor P zu einem Punkt auf der Ebene.
3-Berechnung des Abstandes mit dem Skalarprodukt.
Der Abstand ist die Projektion der Gerade p - a auf die Normale n.
4-Die Länge des Normalenvektors beachten.
Skalarprodukt / | n |
Wie liegen zwei Geraden im Dreidimensionalen Raum zu einander?
-Sie schneiden sich
-Sie sind parallel
-Sie sind Kollinear
-Sie sind Windschief
Wie berechnet man den Abstand zwei Paralleler Geraden?
Da jeder Punkt auf Gerade A den selben kurzen Abstand zur Gerade B hat ergibt sich folgende Schlussfolgerung.
einen Punkt aus a nehmen und den Abstand zur Gerade berechnen.
Für
G₁= a₁ + λ₁r₁
G₂ = a₂ + λ₂r₂
d = |( a₁- a₂ ) * r₂ | / | r₂ |
Worauf ist bei der Berechnung des Abstandes paralleler Geraden zu beachten?
In die Formel darf nur eine der beiden Richtungsvektoren verwendet werden.
d = |( a₁- a₂ ) * r₂ | / | r₂ |
Welche geometrische Bedeutung hat das Kreuzprodukt?
Richtung: Der resultierende Vektor ist senkrecht zu den beiden Eingangsvektoren und gibt somit die Richtung des Normalenvektors zur Ebene an, die durch diese Vektoren aufgespannt wird.
Betrag: Die Länge des Kreuzprodukts gibt die Fläche des Parallelogramms an, das von den beiden Vektoren aufgespannt wird.
Orientierung: Die Rechte-Hand-Regel hilft, die Orientierung des resultierenden Vektors zu bestimmen.
Volumen: In Kombination mit dem Skalarprodukt kann das Kreuzprodukt verwendet werden, um das Volumen eines Parallelepipeds zu berechnen.
Wie lautet die Formel zur Berechnung des Abstandes zweier windschiefer Geraden?
Seinen die Geraden in der Parameterform angegeben:
G₁ = a₁ + λ₁r₁
G₂ = a₂ + λ₂r₂
d =
( a₁ - a₂ ) * ( r₁ x r₂ ) | / | r₁ x r₂ |
Kannst du die Formel zur Berechnung des Abstandes windschiefer Geraden interpretieren?
d =
( a₁ - a₂ ) * ( r₁ x r₂ ) | / | r₁ x r₂ |
- a₁ - a₂ → Der Vektor, der von einem Punkt zum anderen Zeigt.
- r₁ x r₂ → Ein Vektor der Senkrecht auf die Vektoren sitzt.
- ( a₁ - a₂ ) * ( r₁ x r₂ ) →
Berechnung der Projektion also des Abstandes und anschließende Division durch || r₁ x r₂ || zur Skalierung.
Wie berechnet man den Schnittpunkt zweier Geraden in n-Dimenionalem Raum?
Durch Gleichsetzen der x Vektoren in der Parameterdarstellung und das anschließende Ausmultiplizieren.
x₁ = a₁ + λ₁r₁
x₂ = a₂ + λ₂r₂
a₁ + λ₁r₁ = a₂ + λ₂r₂
man sucht nach den unbekannten λ₁ und λ₂.
Wie berechnet man den Schnittwinkel zweier Geraden?
Mit dem Skalarprodukt der Richtungsvektoren:
r₁ * r₂ = |r₁| * |r₂| * cos(α)
oder
Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:
|r₁ x r₂| = |r₁| * |r₂| * sin(α)
Wie muss der Winkel behandelt werden wenn das Ergebnis der Berechnung der Schnittwinkel ein stumpfer Winkel ist?
Den Winkel von 180° subtrahieren.
Welche Schnitt-Möglichkeiten ergeben sich wenn man eine Gerade und Ebene betrachtet?
-Die Gerade schneidet die Ebene im Durchstoßpunkt.
-Die Gerade befindet sich auf der Ebene. (Verschmolzen)
-Die Gerade und Ebene sind parallel.
Wann ist eine Gerade Parallel zu einer Ebene?
Wenn das Skalarprodukt von Richtungsvektor der Gerade und den Normalenvektor der Ebene Null ergibt.
Was bedeutet es wenn das Skalarprodukt null ist?
Dann sind die Geraden Orthogonal zu einander.
Wie berechnet man den Abstand einer Gerade und einer Ebene, die parallel sind?
Seien:
G₁→ x = a₁ + λr
E₁ → e = n( x - a₂ ) = 0
so lautet die Formel:
d = |(a₁ - a₂) * n | / | n |
Wie kann ich den Schnittpunkt einer Gerade und Ebene mit Hilfe der Ebene in Normalenform und Gerade in Parameterform berechnen?
Man Setzt die komplette Parameterdarstellung in die Normalenform ein.
-Nach λ auflösen und das Ergebnis in die Parameterform einsetzen.
Wie lautet die Formel zur Berechnung des Durchstoßwinkles einer Gerade zur Ebene?
sin(α) = n * r / |n| * |r|
Der Zähler beinhaltet das Skalarprodukt.
Wie berechnet man den Abstand zweier paralleler Ebenen?
Die Ebenen sind in der Normalenform angegeben !
d = ( a₁ - a₂ ) *n₂ / |n₂|
Wie kann ich feststellen dass die Ebenen parallel sind?
Ist das Kreuzprodukt der Normalenvektoren, entnommen aus der Normalenform der Ebenen der Nullvektor oder eins ist das vielfache des anderen.
Was ist der erste Schritt um die Schnittgerade zweier Ebenen zu berechnen die in der Normalenform vorliegen?
Die Normalenform ausmultiplizieren um eine lineare Gleichung zu erhalten.
Welche Ergebnisse sind beim Berechnen der Schnittgerade zweier Ebenen möglich?
-Widerspruch, denn die Ebenen sind parallel.
-Ein einziges Freiheitsgrad, es existiert eine Schnittgerade.
-Zwei Freiheitsgerade, da die Ebenen zusammenfallen und die Koordinaten linear Abhängig sind.
Wie geht man beim Berechnen der Schnittgerade vor, wenn die Ebenen in der Parameterform vorliegen?
Sie ausmultiplizieren, gleichsetzen
-Daraus ergibt sich dann ein lineares Gleichungssystem mit mehr Unbekannten als Gleichungen.
Wie berechnet man die Schnittgerade zweier Ebenen?
1- Normalenform in die Gleichungsform umwandeln.
2- Die Gleichungen in ein System überführen.
3- Gleichungen lösen.(Ergebnis ist in Parameterform).
4- Parameterform der Lösungsgleichung bestimmen.
4.1- Der Richtungsvektor ist das Kreuzprodukt der Normalenvektoren der Ebenen.
Wenn das Ergebnis eine Schnittgerade darstellt, sollte das Ergebnis so aussehen:
x = a + λₙrₙ + … + λ₁r₁
wobei λ ∈ R
Wie berechnet man den Schnittwinkel zweier Ebenen?
cos(α) = n₁n₁ / |n₁||n₂|
