Kapitel 10 - Geometrische Grundlemente - Teil 1 Flashcards
Was bedeutet Affinität?
Wesensverwandtschaft, Ähnlichkeit und dadurch bedingte Anziehung
Was ist die analytische Geometrie?
Ein Teilbereich der Mathematik, der geometrische Figuren wie Punkte, Linien und Flächen nicht zeichnerisch sondern mit Gleichungen und Koordinatensysteme löst.
Wie werden die Figuren und Ebenen in der analytischen Geometrie dargestellt?
Punkte werden durch Vektoren oder Koordinaten dargestellt,
Linien, Ebenen, und allgemeine geometrische Figuren durch Gleichungen.
Wozu nutzt man den Gaußalgorithmus in der analytischen Geometrie?
Um die Schnittobjekte geometrischer Räume zu ermitteln.
Wo setzt die analytische Geometrie in der linearen Algebra an?
Bei den Vektorräumen.
Was ist das einfachste geometrische Objekt?
Ein Punkt
Als was bezeichnet man eine Menge von Punkten in der Mathematik und wieso?
Als einen affinen Raum weil er konzeptuell mit dem uns umgebende Raum verwandt ist.
Wie stehen die Punkte aus einem affinen Raum in Beziehung zum Vektorraum?
Je zwei Punkte aus R spezifizieren einen Vektor aus v.
Was ist ein Richtungsvektor?
Ein Vektor der durch zwei Punkte spezifiziert wird.
Nenne einen besonderen Punkt im affinen Raum.
Der Ursprung.
Wie nennt man den Ursprung noch?
Referenzpunkt
Nullpunkt
Wobei hilft der Ursprung?
Bei der Identifikation jedes einzelnen Punktes im Raum.
Was ist der Ortsvektor?
Der Vektor der einen Punkt zum Ursprung verbindet.
Was ist bei der Auswahl der Begriffe Ursprungsvektor und Richtungsvektor zu beachten?
Man kann die Begriffe beliebig aussuchen, sollte jedoch auf den Einsatz achten.
Nenne eine Liste affiner Räume die man sich merken sollte.
-Der euklidische n-Dimensionale Raum
-Die Lösungen der zugehörigen inhomogenen LGS dessen Ursprungs Vektorraum ein homogenes lineares Gleichungssystem war mit nuller Konstantenspalte
-Die algebraische Struktur der Körper
Was ist ein homogenes lineares Gleichungssystem?
Ein Gleichungssystem dessen Konstantenspalte Null ist und die allgemeine Form:
Ax = 0 herscht.
Was ist ein inhomogenes lineares Gleichungssystem?
Ein Gleichungssystem dessen Konstantenspalte ungleich Null ist und die allgemeine Form:
Ax = b,
wobei b ≠ 0.
Warum ist die Lösungsmenge eines homogenen LGS ein Vektorraum?
Weil:
-Wenn x₁ und x₂ Lösungen sind dann ist auch x₁ + x₂ eine Lösung.
-Wenn x eine Lösung ist dann ist λ ∈ R für λx auch eine Lösung.
und das alles geschieht nur weil die Vektoraddition und skalarmultiplikation Null nicht verändern.
Warum ist die Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems kein Vektorraum?
Weil:
-Die Null nicht immer eine Lösung ist. sollte x doch Null sein so fehlt das neutrale Element.
-Nicht Skalierbar. Wenn x eine Lösung ist so ist 2x nicht unbedingt eine Lösung.
Was ist die Lösungsmenge eines inhomogenen linearen Gleichungssystems?
Eine Affine Verschiebung des Lösungsraums des homogenen linearen Gleichungssystems.
Welche geometrische Bedeutung hat die Verbindung der Lösungsmenge eines homogenen und inhomogenen LGS?
Die Menge der Lösungen eines homogenen LGS ist eine lineare Unterstruktur.
Die Menge der Lösungen eines inhomogenen LGS ist ein affiner Raum also eine verschobene Version des homogenen Raums.
Welche Darstellungsmöglichkeiten von Geraden im euklidischen Raum hat man?
-Die Parameterform
G = { x = a + λ r | λ ∈ R }
-Die Gleichungsform
y = m x + b
Erkläre die Parameterform und seine Einzelteile.
Die Parameterform
G = { x = a + λ r | λ ∈ R },
Stellt eine Möglichkeit dar um die genaue position eines Punktes entlang einer definierten Gerade ( definiert durch die Parameterform) zu bestimmen.
-a ist ein Fixpunkt oder Orientierungspunkt.
-r ist der Richtungsvektor und gibt an in welche Richtung die Gerade verläuft.
-λ ist die Variable, die die Position eines Punktes auf der Gerade bestimmt.
Was ist beim Bilden einer n-dimensionalen Ebene zu beachten?
Die Ursprungsvektoren müssen linear unabhängig sein.
Was ist das Kreuzprodukt?
Ein Vektor der Senkrecht auf zwei weitere Vektoren steht, welche zusammen eine Ebene Aufspannen.
Was bedeutet es für die analytische Geometrie wenn das Kreuzprodukt Null ist?
Es bedeutet dass die Ursprungsgeraden linear Abhängig sind. Ist das Kreuzprodukt Null so liegt es auf der Ebene und spannt keinen Raum auf.
Wie sieht die Paramterform der darstellungsmöglichkeiten einer Ebene aus?
E = {x = a + λ r₁ + u r₂ | λ,u ∈ R}
Was ist ein Normalenvektor?
Ein Vektor der senkrecht auf dem betrachteten Objekt steht.
Wie formuliert man die Paramterform einer Ebene und was braucht man alles dazu?
Allgemeine Form lautet:
E = { a + λ₁r₁ + λ₂r₂ | λ₁, λ₂ ∈ R }
Man braucht insgesamt drei Linear Unabhängige Punkte.
Punkt 1 ist der Fixpunkt.
Der Richtungsvektor r₁ ist der Differenzvektor von P₂ und P₁.
Der Richtungsvektor r₂ ist der Differenzvektor von P₃ und P₁.
