Propagation D’un Signal

Question 1

Qu’est-ce qu’un train d’onde ?

Answer 1

Question 2

Pourquoi doit-on moduler l’amplitude d’un signal audible, si l’on veut le transmettre ?

Answer 2

Question 3

Comment remarquer qu’un terme sinusoïdal est très rapide par rapport à un autre ?

Answer 3

Si les deux terme sont de la forme cos(a×t) et cos(b×t), si a»b, une petite variation de t augmente une variation beaucoup plus grande de a×t que de b×t, donc cos(a×t) «réagit» plus vite, c’est le terme rapide.

Question 4

Lorsqu’on doit tracer la courbe d’un signal formé du produit de deux signaux sinusoïdaux, l’un rapide et l’autre lent, comment procède-t-on ?

Answer 4

On tracer d’abord une période entière de signal lent, sur l’entièreté du graphique, et de - signal lent, qui forment «l’enveloppe» pour le signal rapide. On trace ensuite beaucoup de périodes du signal rapide, qui oscille entre signal lent et - signal lent, en se rappelant que T_lent&raquo_space; T_rapide.

Question 5

Lorsqu’on récupère un signal modulé en amplitude, quelle partie du signal interprète-t-on ?

Answer 5

On interprète la partie positive de l’enveloppe.

Question 6

Que signifie «moduler» un signal ?

Answer 6

C’est le transformer sous une nouvelle forme qui va être propice à sa transmission, mais qui garde les informations nécessaires à sa reconstitution.

Question 7

Qu’est-ce que le phénomène de battement ?

Answer 7

Lorsque deux signaux sinusoïdaux de fréquences voisines mais différentes se superposent, il en résulte un signal qui est la somme de ces deux signaux. Ce signal varie périodiquement en amplitude. C’est une sinusoïdale dont la période est la demi-différence des fréquences des signaux, oscillant dans une enveloppe sinusoïdale dont la fréquence est la moyenne des deux signaux.

Question 8

Que peut-on dire de Δω pour deux signaux en battement ?

Answer 8

Δω«(ω1 + ω2)/2, car les fréquences sont voisines

Question 9

Qu’est-ce que le théorème de Schwarz ?

Answer 9

∂²s/∂x∂t = ∂²s/∂t∂x

Question 10

Qu’est-ce que l’équation de D’Alembert ?

Answer 10

Dans un cadre idéal (= sans absorption)

Question 11

Qu’est-ce qu’une onde plane ?

Answer 11

C’est une onde sur une seule dimension plus le temps. La surface d’onde est donc constituée de l’ensemble des points à l’abscisse x, c’est un plan.

Question 12

Qu’est-ce qu’une onde plane progressive ?

Answer 12

C’est une onde plane qui se propage selon l’axe Ox à la célérité c.

Question 13

Comment s’écrit le signal d’une onde plane progressive qui se déplace selon l’axe Ox croissant (dans le sens «direct») ?

Answer 13

s(x;t) = F(t - x/c) = F(ct - x)

Question 14

Comment peut-on écrire la formule de propagation d’une onde plane progressive qui se déplace selon l’axe Ox décroissant (dans le sens «indirect») ?

Answer 14

s(x;t) = F(t + x/c) = F(ct + x)

Question 15

Qu’est-ce qu’une onde plane progressive harmonique, comment l’appelle-t-on également ?

Answer 15

On l’appelle également onde plane progressive sinusoïdale ou onde plane progressive monochromatique.
C’est une onde plane progressive qui se propage selon s(x;t) = S_M × cos(ω(t-x/c)+φ) (si elle se propage selon Ox croissant, sinon s(x;t) = S_M × cos(ω(t+x/c)+φ)).

Question 16

Comment s’écrit un cosinus temporel périodique de période T ?

Answer 16

cos(2π/T × t)

Question 17

Comment s’écrit un signal spatial périodique de période λ ?

Answer 17

cos(2π/λ × x)

Question 18

Qu’est-ce que k ?

Answer 18

k=2π/λ, c’est l’équivalent spatial de la pulsation

Question 19

Comment peut-on écrire la formule de propagation d’une onde plane progressive harmonique en fonction de la période T temporelle et de la période λ spatiale ? Et en fonction de ω et k ?

Answer 19

s(x;t) = S_M × cos(t×2π/T - x×2π/λ + φ)
= S_M × cos(ω×t - k×x + φ)

Question 20

Comment représenter s(x;t) en fonction de x à divers instant t ?

Answer 20

Calculer s(x;t) pour certaines valeurs spéciales de t (0, 1/4 de période, 1/2 période, 3/4 de période) :

Question 21

Comment représenter s(x;t) en fonction de t à divers emplacements x ?

Answer 21

Calculer s(x;t) pour certaines valeurs spéciales de x (0, 1/4 de période, 1/2 période, 3/4 de période)

Question 22

Comment utiliser la notation complexe pour l’équation de propagation d’une onde plane progressive harmonique ? Et quelles sont alors ses dérivées partielles ?

Answer 22

Question 23

Qu’est-ce qu’une onde ?

Answer 23

C’est la perturbation d’une ou plusieurs propriétés d’un milieu, sans déplacement global de matière

Question 24

Qu’est-ce qu’une onde transversale ?

Answer 24

Question 25

Qu’est-ce qu’une onde longitudinale ?

Answer 25

Question 26

Qu’est-ce qu’une onde cylindrique ?

Answer 26

C’est une onde dont les plans d’onde sont des cylindres

Question 27

Qu’est-ce qu’une onde sphérique ?

Answer 27

C’est une onde qui se propage en divergeant d’un point O fixe. On appelle r la distance à O d’un point, l’onde dépend uniquement de r et du temps. La surface d’onde est donc composée de l’ensemble des points à une distance r de O, c’est une sphère.

Question 28

Pourquoi l’amplitude d’une onde non plane n’est-elle pas constante ?

Answer 28

Car la surfaces des plans d’ondes augmente, l’énergie totale est donc répartie sur une surface plus grandes et moins «concentrée», ainsi l’amplitude (qui est la même en tout point de l’onde à un instant t) diminue au cours du temps.

Question 29

Comment s’écrit le signal d’une onde sphérique divergente (dans le sens «direct») ?

Answer 29

s(x;t) = F(t - r/c) = F(ct - r)

Question 30

Comment s’écrit le signal d’une onde sphérique convergente (dans le sens «indirect») ?

Answer 30

s(x;t) = F(t + r/c) = F(ct + r)

Question 31

Comment peut-on écrire la formule de propagation d’une onde sphérique progressive harmonique en fonction de la période T temporelle et de la période λ spatiale ? Et en fonction de ω et k ?

Answer 31

s(x;t) = S_M × cos(t×2π/T - r×2π/λ + φ)
= S_M × cos(ω×t - k×r + φ)

Question 32

Qu’est-ce qu’une onde stationnaire ?

Answer 32

Question 33

Comment obtenir les expressions de f(t) et g(x) pour une onde stationnaire ? A partir de l’équation de D’Alembert ?

Answer 33

Question 34

Qu’est-ce que le coefficient de réflexion en amplitude ? Quelles sont ses deux expressions ?

Answer 34

Question 35

Comment traduire r=-1 ? Donner deux exemple pour lesquels r=-1

Answer 35

Question 36

Dans le cas r=-1, donner et justifier une expression de s(x;t)

Answer 36

Question 37

Donner deux exemples ou r=-1 et s(0;t)=0

Answer 37

• un tuyau acoustique ouvert des deux côtés
• une corde fixée des deux côtés

Question 38

Sachant que si r=1, s(x;t)=2A×sin(ωt-kl)×sin(k(x-l)), si de plus s(0;t)=0, déterminer l’expression des fréquences propres

Answer 38

*f_p = pc/2l

Question 39

Qu’est-ce qu’un fuseau dans un mode propre ?

Answer 39

C’est la distance entre deux noeuds

Question 40

Qu’est-ce qu’un noeud en vibration ?

Answer 40

C’est un point où s est constamment minimal (=0 en général)

Question 41

Comment trouver facilement les f_p dans le cas d’une onde stationnaire ? Lorsque r=-1 et s(0;t)=0

Answer 41

Question 42

A quoi est liée la hauteur d’un son ?

Answer 42

Elle est liée à la fréquence propre 1 : plus f1 est grande plus le son est dit «haut»

Question 43

A quoi est lié le timbre d’un son ?

Answer 43

Il est lié à sa forme (donc aux A_p, à la répartition des harmoniques).

Question 44

Lorsque r=1, qu’a-t-on en x=l ?

Answer 44

Un ventre car s=s+ + s-=2×s+

Question 45

Qu’appelle-t-on des «conditions aux limites impaires» ?

Answer 45

Lorsqu’il y’a un ventre et un noeud

Question 46

Qu’appelle-t-on des «conditions aux limites paires» ?

Answer 46

Lorsqu’il y a deux noeuds ou deux ventres

Question 47

Donner un exemple de conditions aux limites impaires

Answer 47

Le tuyau acoustique fermé/ouvert : on à une pression maximale en x=0, un ventre, et une pression nulle en x=l, un noeud

Question 48

Quelles sont les fréquences propres de vibration dans le cas de conditions aux limites impaires ?
Justif

Answer 48

f_p = c/λ = (p+1/2)*c/2l

Question 49

Qu’est-ce qu’un ventre en vibration ?

Answer 49

C’est un point où s est maximal, avec s le signal d’une onde stationnaire

Question 50

Au mode propre p, combien y a-t-il de fuseaux ?

Answer 50

Il y a p fuseaux

Question 51

Lorsqu’on a un signal de la forme s(x;t)=f(t)×sin(k×x + φ) et que s(0;t)=0, que peut-on dire ?

Answer 51

Il faut que sin(k×x + φ)=0, en x=0, c’est à dire sin(φ)=0 ⇔ φ ≡ 0 [π] ⇔ φ=0 car φ€]-π;π[

Question 52

Lorsqu’on a un signal de la forme s(x;t)=f(t)×sin(k×x) et que |s(x;t)| est maximal en x=l, que peut-on dire ?

Answer 52

On a s(k×l)=+/- 1, c’est-à-dire k×l= π/2 + pπ

Question 53

Lorsque les conditions aux limites sont paires, comment évolue la hauteur du son d’une corde en fonction de l ? Sachant que c=√(T/μ) dans une corde, T la tension et μ=m/l la masse linéique

Answer 53

f1=c/2l=1/2l × √(T/μ) = 1/2 × √(T/(m*l)), donc lorsque l diminue, f1 augmente et la hauteur augmente, l est donc corrélé négativement à la hauteur du son

Question 54

Lorsque les conditions aux limites sont paires, comment évolue la hauteur du son d’une corde en fonction de la température ? Sachant que c=√(T/μ) dans une corde, T la tension et μ=m/l la masse linéique

Answer 54

f1=c/2l=1/2l × √(T/μ) = 1/2 × √(T/m*l), or lorsque la température augmente, l augmente par dilatation, donc f1 diminue et la hauteur diminue, la température est corrélée négativement à la hauteur

Question 55

Lorsque les conditions aux limites sont paires, comment évolue la hauteur du son d’un tuyau acoustique d’un instrument à vent, en fonction de la température t ? Sachant que c=√(γ×R×t/M) dans un gaz

Answer 55

Question 56

Que détectent les capteurs de signaux ?

Answer 56

Il détectent son «énergie» : ξ=√(<s²>)

Question 57

A quelle condition sur les pulsations des deux signaux peut-il y avoir des interférences ? Justif

Answer 57

s1×s2 est un cosinus, sauf si ω1=ω2 (formules somme → produit), on observe donc des interférences ssi ω1=ω2

Question 58

Démontrer la formule de Fresnel

Answer 58

Juste écrire avant (s1 + s2)² et faire la valeur moyenne

Question 59

Comment transformer la formule de Fresnel si l’amplitude des deux signaux est la même ?

Answer 59

Question 60

En pratique comment obtient-on des interférences ? Et que vaut ΔΦ, en acoustique et en optique ?
Justif

Answer 60

Question 61

Qu’est-ce qu’une frange ?

Answer 61

C’est l’ensemble des points M tels que ξ(M) soit égale, c’est-à-dire ΔΦ(M) soit égale, c’est-à-dire δ(M) soit égale (en optique)

Question 62

Qu’est-ce que l’ordre d’interférence ?

Answer 62

Ça représente «combien de fois il se sont dephasés puis remis en phase»

Question 63

Qu’appelle-t-on frange brillante en optique ? (4 caractéristiques)

Answer 63

Question 64

Qu’appelle-t-on frange sombre en optique ? (4 caractéristiques)

Answer 64

Question 65

Comment représenter ξ en fonction de ΔΦ, δ, ou p ?

Answer 65

Question 66

Que valent ξ_min et ξ_max si s1 et s2 ont la même amplitude ?

Answer 66

Question 67

Comment trouver la formule de Fresnel en passant en notation complexe ?

Answer 67

Question 68

De manière générale, que sont les franges qu’on observe sur un écran parallèle à S1S2 ?

Answer 68

Ce sont des branches d’hyperboles

Question 69

Dans quel cas peut-on considérer que les franges qu’on observe sur un écran parallèle à S1S2 sont rectilignes ?

Answer 69

Si D»a, D»|X| et D»|Y|

Question 70

Qu’observe-t-on comme franges sur un écran placé perpendiculairement à S1S2 dans des trous d’Young ?

Answer 70

Les franges sont des cercles concentriques de rayon R et de centre Ω

Question 71

Qu’est-ce que le théorème d’Al Kashi ?

Answer 71

Question 72

Que sont des signaux «synchrones» ?

Answer 72

Ce sont des signaux de même pulsation

Question 73

Que sont des sources «cohérentes» ?

Answer 73

Ce sont des sources qui émettent des signaux de même nature et de même pulsation

Question 74

Pour quelles valeurs de la différence de marche δ deux signaux font-ils des interférences constructives ? Destructives ?

Answer 74

Constructive : lorsque δ est un multiple de λ, la longueur d’onde, car les signaux sont «rephasés», ils se resuperposent

Destructive : lorsque δ est un multiple de λ, la longueur d’onde, +1/2λ car les signaux sont «redéphasés», leurs points hauts et points bas se resuperposent

Question 75

Qu’est-ce qu’un mode propre ?

Answer 75

C’est un modèle de vibration particulier où le signal est sinusoïdal de même fréquence en chaque point.

Question 76

Exprimer ΔΦ en fonction de k et δ

Answer 76

ΔΦ = 2π×δ/λ = k×δ

Question 77

Comment exprimer s(x;t) lorsqu’on connaît s(0;t) ?

Answer 77

On a s(x;t)=s(0;t’), t’ représente l’instant où à été émis l’onde, or l’onde se trouve à une distance x et possède une célérité c, donc elle s’est déplacée pendant un temps x/c, donc t’=t-x/c,
Donc s(x;t)=s(0;t-x/c)

Question 78

Quel est le domaine de validité de l’expression d’une onde au cours du temps ?

Answer 78

Il faut que |x|<c×t, c’est à dire qu’on s’intéresse à un x atteint à l’instant t

Question 79

Quelle est la distance entre deux noeuds de vibrations consécutifs d’une onde stationnaire ? En déduire la longueur d’onde au n-ième mode propre et la n-ième fréquence propre

Answer 79

λ/2 avec λ la longueur d’onde,

Donc, puisque la corde forme n fuseaux au n-ième mode propre, L=n×λ_n/2 ⇔ λ_n = 2L/n,

Donc, f_n = c / λ_n = n×c/2L

Question 80

Comment exprimer la n-ième fréquence propre en fonction de la première ?

Answer 80

On a : f_n = n×c/2L et donc f1= c/2L,
Donc, f_n = n×f1

Question 81

Comment vibrent deux points situés dans deux fuseaux voisins sur un mode propre ?

Answer 81

En opposition de phase

Question 82

Lorsqu’on passe d’une frange brillante à la suivante, de combien sont modifiées :
- la phase
- la différence de marche
- l’ordre d’interférence

Answer 82

• phase : +2π
• différence de marche : +λ
• ordre d’interférence : +1

Question 83

Comment calculer le rayon du k-ième anneau brillant à partir du centre (k-ième frange brillante sur un écran perpendiculaire aux trous d’Young) ? Sachant que p0 = p_max = a/λ et p_k = a/λ × (1 - R²_k/D²)

Answer 83

• Puisque p0=p_max, p_k = p0 - k
• Or, p_k = a/λ - a/λ × R²_k/2D²
• Donc, k = a/λ × R²_k/2D²
• D’où R_k = √(k) × R1, avec R1=D×√(2λ/a)

Question 84

Qu’est-ce que la fonction sinus cardinal ? Représenter sinc(x), |sinc(x)| et sinc²(x)

Answer 84

Question 85

Comment être à l’infini lorsqu’on observe une diffraction ?

Answer 85

On place une lentille sur le chemin de la diffraction et l’écran dans le plan focal image de la lentille

Question 86

Soit une fente de hauteur a et de longueur b, quelle est la condition sur b et sur a pour avoir un unique plan de diffraction ?

Answer 86

b»a

Question 87

Lorsqu’on éclaire une fente, quel est le motif diffracté ? Selon quel angle ?

Answer 87

Question 88

On fait passer un laser par photo, qu’observe-t-on sur un écran placé à l’infini (plan focal image d’une lentille mince convergente) ?
Quelle est la figure diffractée et selon quel angle ?

Answer 88

On appelle ce motif (tache principale) la tache d’Airy

0,61*

Question 89

Que se passe-t-il si on fait passer deux rayons par des ouvertures très grandes devant la longueur d’onde ?

Answer 89

Il n’y a pas d’interférences car pas de diffraction.
C’est donc grâce à la diffraction qu’il peut y avoir des interférences

Question 90

Comment se comportent des trous d’Young ponctuels ?

Answer 90

Il diffractent de manière isotrope dans toutes les directions du demi-espace (plus loins que le plan des fentes).
Chaque trou se comporte donc comme s’il réemettait la lumière de la source primaire par diffraction, donc comme une source secondaire.

Question 91

Qu’est-ce qu’une interfrange ?

Answer 91

C’est la plus petite distance entre deux points d’un écran où l’éclairement est le même

Question 92

Quelle est la formule de l’interfrange ?

Answer 92

i=λ×D/a, pour D»a, avec a la distance entre les deux trous d’Young et D la distance à l’écran

Question 93

Les franges créées par des trous d’Young ponctuels sont-elles localisées ?

Answer 93

Non

Question 94

Que signifie-t-il de dire que des franche sont localisées ?

Answer 94

On ne peut pas placer l’écran où on veut pour les observer

Question 95

Comment se comportent des trous d’Young circulaires dont le rayon est petit devant la distance qui les sépare, mais qui sont non ponctuels ?

Answer 95

Question 96

Lorsqu’on a deux phénomènes de diffraction identiques qui se superposent et créent ainsi des interférences, comment trace-t-on la figure sur l’écran ?

Answer 96

On trace d’abord la figure due au phénomène de diffraction, puis on ajoute les franges, dans la figure précédente

Question 97

Qu’est-ce qu’un champ d’interférence ?

Answer 97

C’est la zone de l’espace où il y a des interférences

Question 98

Tracer la figure sur l’écran, créée par des trous d’Young circulaires, espacés de a, et de rayon petits devant a mais non ponctuels
Que peut-on dire de l’éclairement ?

Answer 98

0,61.λ.f’/ε*, avec ε le rayon du trou

Question 99

Tracer la figure sur l’écran, créée par des fentes d’Young, espacées de a
Que peut-on dire de l’éclairement ?

Answer 99

Question 100

Qu’est-ce que la propriété du miroir tournant ?

Answer 100

Lorsqu’on incline le miroir d’un angle α, l’angle de réflexion augmente de 2α

Question 101

Quelle est la longueur d’un arc de cercle de rayon R et d’angle α ?

Answer 101

R×α

Question 102

Comment appelle-t-on les dispositifs type trou d’Young ?

Answer 102

On les appelle «diviseurs d’onde»

Question 103

Quels sont les avantage et inconvénient des diviseurs d’onde ?

Answer 103

Avantage :

• ils permettent d’avoir des franges non localisées

Inconvénient :

• la source doit être ponctuelle et monochromatique. Sinon il y a un brouillage des franges.

Question 104

En notation complexe, lorsqu’on ajoute un déphasage φ, comment cela se traduit-il ?

Answer 104

Cela se traduit par une multiplication par exp(iφ)

Question 105

Exprimer le retard t’ d’une onde par rapport à une autre, sachant qu’elles ont une différence de marche de δ et qu’elles vont à la célérité c ?

Answer 105

c=δ/t’, donc t’=δ/c

Question 106

Comment passe-t-on d’un octave au suivant ?

Answer 106

On multiplie par 2 la fréquence

Question 107

Pour deux trous d’Young espacés de a, à une distance D de l’écran, exprimer la différence de marche δ entre les rayons émis par les deux trous, en fonction de la hauteur X sur l’écran

Answer 107

δ = a.X/D

Question 108

Montrer que δ = a.x/D

Answer 108

δ = S2M - S1M,
Donc

Question 109

Donner en justifiant les abscisses des franges brillantes et des franges sombres

Answer 109

Question 110

Donner, en justifiant, l’expression de l’interfrange ?

Answer 110

Question 111

Comment mesurer la différence de fréquence entre deux signaux qui font des battements, disposant du graphique des battements ?

Answer 111

La fréquence de l’enveloppe est de Δf/2, donc on mesure la période et on en déduit Δf