Cinématique du point matériel Flashcards
Que signifie «cinématique» ?
C’est l’étude du mouvement, indépendamment des causes (forces)
Qu’est-ce qu’un référentiel ?
C’est l’association d’un repère d’espace (origine + base orthonormée directe) et d’un repère de temps
Qu’est-ce que le produit vectoriel de deux vecteurs non colinéaires ?
Pour le sens : on dirige α du premier vers le deuxième (sens anti horaire), et le signe de la norme donne le sens (si + vers nous, si - vers le fond)
Qu’est-ce que le produit vectoriel de B# et A#, par rapport au produit vectoriel de A# et B# ?
Que vaut le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires ? Et donc le produit vectoriel de A# par A# ?
Que peut-on dire du produit vectoriel des axes dans un repère orthonormé direct ?
Comment calculer le produit vectoriel de A# et B# ? Grâce au déterminant
Pour chaque coordonnée, on barre la ligne correspondante et on calcule le déterminant des deux autres
Quelles sont les trois systèmes de coordonnées usuels ?
- Cartésiennes
- Cylindriques
- Sphériques
Que vaut le vecteur OM# en coordonnées cartésiennes ?
Qu’appelle-t-on vecteur déplacement élémentaire ?
MM’# = δl# = dl# = d(OM#)
Quelles sont les coordonnées du vecteur déplacement élémentaire en coordonnées cartésiennes ?
Que sont les coordonnées cylindriques ? (représenter dans l’espace (x, y, z) classique et vu de y en fonction de x)
On définit la position M(t) en fonction de r, θ et z
Comment appelle-t-on e_r# et e_θ#, en coordonnées cylindriques ? Quelles sont leurs expressions ?
Quel est le lien entre coordonnées cartésiennes et coordonnées cylindriques ?
Que valent d(e_r#)/dθ et d(e_θ#)/dθ, en coordonnées cylindriques ? Comment le justifier ?
On exprimer ces vecteurs en coordonnées cartésiennes pour le justifier
Que peut-on dire de la base (e_r#, e_θ#) ? Pourquoi ?
On dit que c’est une base «locale» ou «mobile», car ils varient en fonction de θ
Que vaut de_r#/dt ?
Et de_θ#/dt ? Justif
e_r(θ(t)), donc de_r#/dt = de_r#/dθ × dθ/dt = θ• × e_θ#
De même, de_θ#/dt = -θ• × e_r#
En représentant le vecteur F# d’une force dans un repère (e_x#, e_y#), exprimer F# en cartésiennes, en introduisant θ
Donner l’expression du vecteur position en coordonnées cylindriques
Donner l’expression du vecteur déplacement élémentaire en coordonnées cylindriques, justif
Que sont les coordonnées sphériques ?
On exprime M(t) en fonction de r(t), θ(t) et φ(t)
Que vaut dl# en coordonnées sphériques ?
Exprimer en coordonnées cartésiennes, la vitesse et l’accélération d’un point M dans un référentiel R
Exprimer en coordonnées cylindriques, la vitesse et l’accélération d’un point M dans un référentiel R
Justif
v# = r•×e_r# + r×θ•×e_θ# + z•×z#
a# = (r•• - r×(θ•)²)×e_r# + (2×r•×θ• + r×θ••)×e_θ# + z••×e_z#
Exprimer le vecteur position, le vecteur vitesse, θ(t) et le vecteur accélération, en coordonnées cylindriques et dans le cas d’un mouvement circulaire
Justif
Exprimer le vecteur vitesse et le vecteur accélération, en coordonnées cylindriques et dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme
Justif
Car de manière générale :
v# = R×ω(t)×e_θ#
a# = R×θ••×e_θ# - R×(θ•)²×e_r# et θ• est constant, donc θ••=0
Qu’est-ce qu’un mouvement à accélération centrale ?
Justifier que le mouvement est plan dans le cas d’une accélération centrale
Qu’est-ce que la loi des aires ?
Le segment OM balaie des aires égales pendant des durées égales, dans le cas d’un mouvement à accélération centrale.
r² × θ• = cste
Montrer que la deuxième loi de Kepler s’applique en accélération centrale
Si on a image et C=r²×θ•, comment montrer que r_p × v_p = r_a × v_a
Quelle est l’aire d’un arc de cercle de rayon R, de centre O et d’angle α ?
1/2 × R² × α
Comment faire pour trouver une équation polaire r(θ) ?
Il faut s’arranger pour faire disparaître le temps et intégrer dr/dθ
Quelles sont les deux méthodes pour montrer qu’un mouvement respecte la loi des aires ?
- Montrer que : r² × θ• = cste
- Montrer que : l’accélération est centrale
Quel est l’avantage des coordonnées cartésiennes pour calculer la vitesse et l’accélération ?
Pas besoin de dériver des vecteurs
Comment étudier un mouvement complexe (ex : hélicoïdal)
Décomposer en mouvements simples.
Ex : Translation vers le haut et rotation
Comment passer des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes ?
OM# = r × u_r# = r × sinθ × cosφ × u_x# + r × sinθ × sinφ × u_y# + r × cosθ × u_z#
Qu’appelle-t-on équation du mouvement ?
C’est l’équation différentielle décrivant le mouvement de l’objet
Que sont les équations horaires ?
Ce sont les équations donnant les coordonnées en fonction du temps
Qu’est-ce que l’équation de la trajectoire ?
C’est une courbe paramétrée par le temps, donnant l’expression d’une coordonnée en fonction d’une autre
Que peut-on dire de la vitesse d’un mouvement uniforme ?
||v#||=cste, mais attention : v# ≠ cste#, car elle n’est pas forcément toujours dirigée de la même manière
Comment réécrire a# dans un mouvement circulaire, pour faire apparaître v ?
Que vaut l’aire d’un cercle de rayon r ?
π.r²
Que vaut le volume d’une sphère de rayon r ?
4/3 × π × r³
Que vaut le périmètre d’un cercle de rayon r ?
2.π.r
Que vaut la surface d’une sphère de rayon r ?
4.π.r²
