Equations Differentielles D’ordre 1 Ou 2 Flashcards
Qu’est-ce qu’une équation différentielle du premier ordre sans second membre ? Quelle est la résolution ?
Forme : s•(t) + s(t)/τ = 0
Résolution : s(t)=s0.exp(-t/τ)
Qu’est-ce qu’une équation différentielle du premier ordre avec second membre constant ? Quelle est la résolution ?
Forme : s•(t) + s(t)/τ = s∞/ τ
Résolution : s(t)=A × exp(-t/τ) + s∞
Quelles sont les courbes pouvant représenter le signal d’une équation différentielle du premier ordre avec second membre constant ? Comment est appelé τ et comment le déterminer ?
τ est appelé constante de temps, ou constante de relaxation.
On le détermine en traçant la tangente initiale, il correspond à l’abscisse du croisement de cette tangente avec l’asymptote.
Qu’est-ce qu’une équation différentielle du second ordre sans second membre ? Quelle est la résolution ? (Pour Q<1/2)
Forme : s••(t) + w0/Q * s•(t) + w0^2 * s(t) = 0 ; avec w0>0 la pulsation (en s-1) et Q>0 le facteur de qualité (sans unité), on appelle w0/Q l’amortissement ou terme d’irréversibilité.
Attention, s’il y a un coefficient négatif c’est qu’il y a une erreur !
Résolution : s(t)=exp(ω0.t/2Q) × (A.exp(Ω.t) + B.exp(-Ω.t)) ; avec Ω=ω0.√(1 - 1/4Q²) et A et B deux constantes (sans unité)
Quelles sont les courbes pouvant représenter le signal d’une équation différentielle du second ordre sans second membre ? (Pour Q≤1/2)
Noir : Q<1/2
Vert : Q=1/2 (moyen d’atteindre le plus rapidement possible le régime stationnaire à s=0)
Comment déterminer les constantes (A1, A2, A, a1, ou a2) dans une équation différentielle du second ordre sans second membre ?
- Calculer s•(t)
- Calculer s(0) et s•(0)
- Combiner les deux expressions
Qu’est-ce qu’une équation différentielle du second ordre sans second membre ? Quelle est la résolution ? (Pour Q=1/2), comment qualifie-t-on s lorsque Q=1/2 ?
Forme : s••(t) + w0/Q * s•(t) + w0^2 * s(t) = 0 ; avec w0>0 la pulsation (en s-1) et Q le facteur de qualité (sans unité), on appelle w0/Q l’amortissement ou terme d’irréversibilité.
Pour Q=1/2, on dit que s est en régime critique.
Attention, s’il y a un coefficient négatif c’est qu’il y a une erreur !
Résolution : s(t)=(A1+t.A2)*exp(-w0.t) ; avec A1 et A2 deux constantes (sans unité)
Quelle est la résolution d’une équation différentielle du second ordre sans second membre ? (Pour Q>1/2) quelles sont les deux manières dont on qualifie s lorsque Q>1/2 ?
Lorsque Q>1/2, on dit que s est en régime pseudo-périodique ou que s est en régime amorti oscillatoire.
Résolution : s(t)=exp(-ω0.t/2Q) × (a1.cos(Ω.t) + a2.sin(Ω.t)), avec a1 et a2 des constantes (sans unité), Ω la pseudo pulsation (Ω=ω0.√(1-1/4Q²)). Donc si Q≥2, Ω≈ω0.
Quelles sont les courbes pouvant représenter le signal d’une équation différentielle du second ordre sans second membre ? (Pour Q>1/2)
T est la pseudo-période
(Normalement chaque maximum est espacé du précédent par la même valeur T)
Qu’est-ce qu’une équation différentielle du second ordre sans second membre ? Quelle est la résolution ? (Pour Q tendant vers +infini) comment qualifie-t-on s lorsque Q tend vers +infini ?
Forme : s••(t) + w0^2 * s(t) = 0 ; avec w0>0 la pulsation (en s-1).
Dans ce cas là on dit que s est un oscillateur harmonique (théorie mathématique idéale mais fictive).
Résolution : s(t)=A*cos(w0.t+ϕ)=a1.cos(w0.t) + a2.sin(w0.t), avec A,a1 et a2 des constantes (sans unité).
Qu’est-ce qu’une équation différentielle du second ordre avec second membre constant ? Quelle est la résolution ? Quelle est sa courbe ?
Forme : s••(t) + (ω0/Q)s•(t) + ω0^2 * s(t) = ω0^2 * s_infini ; avec ω0>0 la pulsation (en s-1).
Résolution : s(t)=^solution générale sans second membre^ + s_infini
Comment appliquer ces formules à un signal en fonction d’une distance ?
On remplace τ par δ et w0 par 1/δ
