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Physique SUP > Filtres > Flashcards

Filtres Flashcards

1
Q

Quel est le lien entre l’équation différentielle et H(jω) ?

A

En haut de H(jω), on a les coefficients du second membre de l’équation différentielle et en bas les coefficients du premier membre de l’équation différentielle.

Ex: H=(3+2(jω)+4(jω)^2)/(5+2(jω)+2(jω)^2) <=> 2s••(t) + 2s•(t) + 5s(t) = 4e••(t) + 2e•(t) + 3e(t)

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2
Q

Pourquoi ne peut-on pas faire un diagramme linéaire de H en fonction de ω ?

A

Car 100Hz<=f<=1MHz, donc on ne peut mettre ω, il faut mettre une échelle logarithmique

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3
Q

Qu’est-ce que le diagramme de Bode ?

A

C’est la courbe de gain (G_dB en fonction de log(x)) et la courbe de phase (φ en fonction de log(x))

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4
Q

Quelle est la relation entre H et G_dB ?

A

20.log(H)=G_dB

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5
Q

Comment traduire H=H_M/√(2) en G_dB ?

A

H=H_M/sqrt(2) <=> G_dB=G_M - 3

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6
Q

Quelle est la forme canonique de H dans un filtre du premier ordre ?

A

H(jx)=…/(1+jx) avec x=ω/ω0

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7
Q

Quelle est la forme canonique de H dans un filtre du second ordre ?

A

H(jx)=…/(1 + jx/Q + (jx)^2) avec x=ω/ω0

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8
Q

Dans quel cas peut-on factoriser le dénominateur de H et comment ?

A

Si Q<1/2, on peut factoriser le dénominateur à la forme (1+jω/ω1)(1+jω/ω2)

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9
Q

Que valent ω1 et ω2 si Q«1 ? (après avoir factorisé le dénominateur de H)

A

ω1≈Q.ω0 et ω2≈ω0/Q

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10
Q

Quels sont les 4 types de filtres passif ?

A
  1. Passe-bas
  2. Passe-haut
  3. Passe-bande
  4. Coupe-bande/réjecteur de bande
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11
Q

Qu’est-ce qu’un filtre passe-bas ? (Idéal ? Réel ?) Quelle est la bande passante ?

A
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12
Q

Qu’est-ce qu’un filtre passe-haut ? (Idéal ? Réel ?) Quelle est la bande passante ?

A
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13
Q

Qu’est-ce qu’un filtre passe-bande ? (Idéal ? Réel ?) Quelle est la bande passante ?

A
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14
Q

Qu’est-ce qu’un filtre coupe-bande ? (Idéal ? Réel ?) Quelle est la bande passante ?

A
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15
Q

Existe-t-il des filtres passe-bande du premier ordre ?

A

❌❌❌

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16
Q

Comment tracer le diagramme de Bode asymptotique pour un filtre du premier ordre ?

A

Séparer en deux cas x»1 et x«1, et dans chaque cas déterminer le G_dB et φ à partir de H.
Considérer comme si x>1 et x<1

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17
Q

Quelle est la forme canonique de H dans un filtre passe bas du premier ordre ?

A

H(jx)=H0/(1+jx)

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18
Q

Quelle est la forme canonique de H dans un filtre passe haut du premier ordre ?

A

H(jx)=H_∞×(jx)/(1+jx)

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19
Q

Quelle est la pente caractéristique d’un filtre passe-bas du premier ordre sur son diagramme de Bode asymptotique ? Comment le qualifie-t-on alors ?

A

Pente de -20dB/décade pour log(x)≥0, c’est un caractère intégrateur

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20
Q

Quelle est la pente caractéristique d’un filtre passe-haut du premier ordre sur son diagramme de Bode asymptotique en gain ? Comment le qualifie-t-on alors ?

A

Pente de +20dB/décade pour log(x)≤0, c’est un caractère dérivateur .

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21
Q

Qu’est-ce ce qu’un caractère dérivateur ?

A

Il y a un ×(jω) dans la formule de H et une asymptote de 20dB/décade sur son diagramme de Bode en gain.

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22
Q

Qu’est-ce ce qu’un caractère intégrateur ?

A

Il y a un /(jω) dans la formule de H et une asymptote de -20dB/décade sur son diagramme de Bode en gain.

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23
Q

Quelle est la forme canonique de H dans un filtre passe-bas du deuxième ordre ?

A

H=H0/(1+(jx)/Q+(jx)²)

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24
Q

Dans quel cas peut-on préciser le diagramme de Bode asymptotique classique pour un filtre du second ordre ? Comment ?

A

Si Q«1, on peut factoriser H sous la forme H=H0/(1+(jx1))(1+(jx2)) et en déduire donc H=_H_1 * _H_2 et ainsi G_dB = G_dB1 + G_dB2 et φ=φ1 + φ2. On trace alors les deux à chaque fois en reconnaissant les filtres du premier ordre puis on superpose.
On a donc une pente à +20dB/décade ou -20dB/décade entre la pente à 0dB/décade et celle à +-40dB/décade.

25
Q

Quelle est la forme canonique de H dans un filtre passe-bande ?

A

H=(H_M*(jx)/Q)/(1+(jx)/Q+(jx)²)

26
Q

Quel est le lien entre un signal rectangulaire, triangulaire et hyperbolique ?

A
27
Q

Comment savoir la nature d’un filtre en observant certaines valeurs de H ?

A

On observe les valeurs pour ω → 0 (basses fréquences) et pour ω → ∞

28
Q

Quelle est la forme canonique de H dans un filtre passe haut du deuxième ordre ?

A

H=(H_∞×(jx)²)/(1+(jx)/Q+(jx)²)

29
Q

Comment modifier la forme canonique de H dans un filtre du deuxième ordre, pour déterminer la phase ?

A

Il est plus simple de tout multiplier par Q

30
Q

Qu’est-ce qu’un bon filtre passe bas/passe haut du second ordre ?

A
  • Il ne faut pas de résonance, c’est-à-dire il faut Q<1/√(2), pour bien filtrer
  • Il faut Q → 1/√(2) car le G_bD est stable lorsqu’il le faut (x<1 pour un passe bas et x>1 pour un passe haut)
31
Q

Quelle est la pente caractéristique d’un filtre passe-bas du deuxième ordre sur son diagramme de Bode asymptotique en gain ? Comment le qualifie-t-on alors ?

A

-40dB/décade, caractère de double intégrateur

32
Q

Quelle est la pente caractéristique d’un filtre passe-haut du deuxième ordre sur son diagramme de Bode asymptotique en gain ? Comment le qualifie-t-on alors ?

A

+40dB/décade, caractère double dérivateur

33
Q

Quelle est la pente caractéristique d’un filtre passe-bande sur son diagramme de Bode asymptotique en gain ? Comment le qualifie-t-on alors ?

A

+20dB/décade puis -20dB/décade, caractère dérivateur puis intégrateur

34
Q

Entre combien et combien varie la phase d’un filtre passe-bas du premier ordre ?

A

0 → -π/2

35
Q

Entre combien et combien varie la phase d’un filtre passe-haut du premier ordre ?

A

π/2 → 0

36
Q

Entre combien et combien varie la phase d’un filtre passe-bas du deuxième ordre ?

A

0 → -π

37
Q

Entre combien et combien varie la phase d’un filtre passe-bande ?

A

π/2 → -π/2

38
Q

Entre combien et combien varie la phase d’un filtre passe-haut du deuxième ordre ?

A

π → 0

39
Q

Quelles sont les deux formes «décomposées en série de Fourrier» d’un signal e(t) de période T1=2π/ω1

A

e(t)=Σ<n→∞>(A_n × cos(n.ω1.t + φ_n))

Ou

e(t)=Σ<n→∞>(a_n×cos(n.ω1.t) + b_n×sin(n.ω1.t))

40
Q

Qu’est-ce que la fondamentale d’un signal e(t) de période T1=2π/ω1 ?

A

C’est le signal : A1 × cos(ω1.t + φ1)

41
Q

Qu’est-ce qu’une harmonique d’un signal e(t) de période T1=2π/ω1 ?

A

A_n × cos(n.ω1.t + φ_n)
Avec n>1

42
Q

Qu’est-ce qu’un spectre en amplitude ? A quoi faut-il faire attention en le traçant ?

A

C’est la représentation de l’amplitude de la composante continue, de la fondamentale et des harmoniques, en fonction de la fréquence.
Il faut faire attention à ne pas oublier de tracer la composante continue sur l’axe des ordonnées lorsqu’on le trace.

43
Q

On sait qu’habituellement, e(t)=Σ<n→∞>(a_n×cos(n.ω1.t) + b_n×sin(n.ω1.t)), comment modifier cette expression si e(t) est pair ou impair ? (Parité en terme de fonction)

A
  • Si pair :

e(t)=Σ<n→∞>(a_n×cos(n.ω1.t)) car les sinus sont impairs

  • Si impair :

e(t)=Σ<n→∞>(b_n×sin(n.ω1.t)) car les cosinus sont pairs

44
Q

Comment évolue l’amplitude des harmoniques dans un signal en créneaux (=rectangulaire) ? Et la fréquence ? Au fil des harmoniques

A

Plus on avance en harmonique (n-ième harmonique) plus l’amplitude diminue. Elle diminue en 1/n. En revanche, la fréquence augmente (+ d’oscillations).

45
Q

Comment reconstituer un signal a partir de sa décomposition en série de Fourrier ? A quoi faut-il faire attention ?

A

On trace la fondamentale et les premières harmoniques, puis on trace le signal résultant de la superposition de ceux tracés précédemment.

Il faut faire attention au fait que la n-ième harmonique va avoir n-période en une période de la fondamentale. Il faut également faire attention à ne tracer que les harmoniques qui interviennent, par exemple dans un signal pair on ne tracera pas les harmoniques 1;3;5;etc…

46
Q

Comment évolue l’amplitude des harmoniques dans un signal triangulaire ?

A

Plus on avance en harmonique (n-ième harmonique) plus l’amplitude diminue. Elle diminue en 1/n² (plus vite que le signal en créneaux), car on a intégré un signal en créneau qui diminuait en 1/n

47
Q

Qu’est-ce qu’une pulsation de coupure dans un filtre passif ?

A

Une pulsation de coupure est une pulsation à laquelle le gain maximal est diminué de 3dB.

48
Q

Qu’est-ce que le filtrage ?

A

On fait entrer un signal e(t) pas forcément sinusoïdal mais périodique dans un filtre pour lequel on a déterminé H(jω) et on cherche à déterminer le signal s(t) de sortie

49
Q

Quelle est l’expression du signal de sortie lors d’un filtrage et pourquoi ?

A

s(t)=Σ(n=0 → ∞)(A_n×H(n.ω1)×cos(n.ω1.t + φ_n + φ(n.ω1))
Avec s0=H0.A0, H0 le transfert statique, et avec φ0 = 0

On décompose e_(t) en série de Fourrier, e(t)=Σ(n=0 → n)(e_n(t)) (cf. Fourrier)
Soit s_n(t) la sortie de e_n(t) par le filtre, par linéarité s(t)= Σ(n=0 → ∞)(s_n(t))
e_n(t)=A_n×cos(n.ω1.t + φ_n) → s_n(t)=A_n×H(n.ω1)×cos(n.ω1.t + φ_n + φ(n.ω1)), par le filtre (modification de l’amplitude et de la phase, principe d’un filtre),
Donc s(t) = Σ(n=0 → ∞)(A_n×H(n.ω1)×cos(n.ω1.t + φ_n + φ(n.ω1))

50
Q

Que se passe-t-il lorsqu’on fait passer un signal dans un filtre passe bas réel ? (Deux possibilités). Par exemple pour un signal en créneaux

A

Pour la forme du signal :

  • Si ω1«ω0, la forme du signal n’est pas modifiée (signal en créneaux identique),
  • Si ω1»ω0, l’ensemble des harmoniques est intégré et l’amplitude diminuée (caractéristiques du filtre passe bas) et le signal est donc intégré (signal triangulaire).

Pour l’emplacement du signal :

  • la composante continue est multipliée par H0, on modifie donc la «hauteur» de la courbe
51
Q

Que se passe-t-il lorsqu’on fait passer un signal dans un filtre passe bas idéal ? (Deux possibilités)
Quel est l’intérêt ?

A

Pour la forme du signal :

  • Si ω1«ω0, le signal n’est pas modifié (signal en créneaux identique),
  • Si ω1»ω0, l’ensemble des harmoniques est filtré, mis à part la composante continue, on a donc une droite

Pour l’emplacement du signal :

  • la composante continue est multipliée par H0, on modifie donc la «hauteur» de la courbe

Cela permet donc de déterminer la composante continue

52
Q

Comment faire si on veut que la fondamentale soit atténuée d’un facteur 100 par rapport à la composante continue dans un filtre passe bas ?
Justif

A

Il faut faire en sorte que G_dB(ω1)=G_dB0 - 40dB
Cad : si filtre passe bas d’ordre 1, il faut ω1≥100.ω0 (2 décades donc -40dB) et si filtre passe bas d’ordre 2, il faut ω1≥10.ω0 (1 décade donc -40dB)

Il faut H(ω1)=H0/100 ⇔ G_dB(ω1)=G_dB0 - 20.log(100)=G_dB0 - 40dB

53
Q

Que se passe-t-il lorsqu’on fait passer un signal dans un filtre passe bande idéal de pulsations de coupure ω_c1 et ω_c2 ?
Justif

A

Le signal qui ressort est s(t)=Σ(n=p → q)(H_max × A_n × cos(n.ω1.t + φ_n)
Avec p tel que p.ω1 soit la première pulsation d’harmonique supérieure à ω_c1 et q tel que q.ω1 soit la dernière pulsation d’harmonique inférieure à ω_c2.
La composante continue est toujours filtrée, donc la sortie est toujours centrée en 0.

En effet, le signal ne prend que les pulsations d’harmonique entre ω_c1 et ω_c2, c’est-à-dire à partir de p.ω1 jusqu’à q.ω1. Et les amplitudes de ces harmoniques sont multipliées par H(n.ω1) = H_max à chaque fois.

54
Q

Quelle est l’utilité d’un filtre passe bande très sélectif ? Comment ?

A

Si Q»1, le filtre est très sélectif et permet de garder uniquement l’harmonique qui nous intéresse en accordant le filtre sur sa fréquence (mettre ω0=ω1.p avec p l’harmonique qui nous intéresse) et en éliminant les deux harmoniques voisines (et donc les autres) c’est à dire en mettant Δω«2.ω1=2.ω0/p, c’est à dire en prenant Q»p/2.
Le filtre passe bande devient ainsi un analyseur de spectre.

55
Q

Quelle est l’utilité d’un filtre passe-bande très peu sélectif ? Comment ?

A

Si Q»1, le filtre passe bande est très peu sélectif, ce qui permet de reconstituer le signal d’entrée sans le modifier, en l’atténuant ou l’amplifiant. Pour cela il faut faire en sorte que ω0/Q≤ω1«ω0.Q (car ce sont les deux pulsations de coupure).

56
Q

Lorsqu’on filtre un signal d’entrée non sinusoïdal, que faut-il faire ? Par exemple e(t)=E.cos²(ω0.t/2)

A

Il faut le transformer en somme de signaux sinusoïdaux (le linéariser)

57
Q

Qu’est-ce que l’énergie transportée par un signal e(t) non sinusoïdal, périodique de période T1=2π/ω1 ?
Justif

A

Avec e(t)=A0 + Σ(k=1 → +∞)(A_k × cos(k.ω1.t + φ_k)),

ξ=A0² + Σ(k=1 → ∞)(A_k²/2), car A0² est une constante, Σ(k=1 → ∞)(A_k²/2) également et que la moyenne des cosinus carrés est 1/2.

58
Q

Que représente la composante continue dans une décomposition en série de Fourier d’un signal périodique ?

A

La «hauteur» de sa courbe : la valeur moyenne du signal

Physique SUP (23 decks)

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