Forces Centrales Flashcards
Qu’est-ce qu’un mouvement à force centrale ?
Montrer qu’un mouvement à accélération centrale est plan
Démontrer qu’un mouvement à force centrale respecte la loi des aires
Que vaut l’aire balayée par unité de temps dans un mouvement qui respecte la loi des aires ?
Justif
dS/dt = 1/2 × C
Car dA = (r².dθ)/2 (aire d’une portion de cercle) ⇒ dA/dt = C/2
Si F ne dépend que de la distance, F=F(r)×e_r#, donner une expression de F(r)
Que peut-on dire de l’énergie mécanique dans un mouvement à accélération centrale ?
Car la seule force est centrale, donc s’écrit dEp(r)/dt, donc il n’y a que des forces conservatives
Montrer que
Sachant que le mouvement est plan
En remplaçant v par son expression
Donner l’expression de l’énergie potentielle efficace
Exprimer E_m en fonction de E_p_eff
A quelle condition sur Ep_eff le mouvement est-il possible ?
Ep_eff ≤ E_m
Que dit-on si l’intervalle de valeurs que peut prendre r est borné ?
C’est un état lié
Que dit-on si l’intervalle de valeurs que peut prendre r n’est pas borné ?
C’est un état de diffusion
Donner l’énergie potentielle effective dans le cas F(r) = -k×r, k>0, et tracer le diagramme Ep_eff(r), en déduire l’état
Déterminer que
Lorsque F(r) = -k×r, k>0
C’est donc un ellipse
En supposant qu’à t=0, x•=0, y•=v0, x=x0, y=0, déterminer le type de trajectoire, déterminer r_min et r_max
Qu’appelle-t-on «force Newtonienne» ?
C’est une force centrale en 1/r²
Quelles sont les deux manières d’écrire une force Newtonienne ?
Que vaut la norme de cette force ?
Pour une force Newtonienne, dans quel cas est-elle attractive (donner 2 exemples), dans quelle cas est-elle répulsive (donner 1 exemple) ?
Pour une force Newtonienne, donner Ep(r)
Montrer que L# = cste# et L# est dans le plan de la trajectoire, dans le cas d’une force Newtonienne
Dans le cas d’une force Newtonienne déterminer r(θ), en calculant L# • OM# de deux manières différentes, avec θ l’angle (L#, OM#)
On place les axes de telle façon à ce que L# soit selon ex#, alors θ est l’angle (L#, OM#)
- L# ^ OM# = L × r × cos(θ)
- L# ^ OM# = (v# ^ σ(O)# - K×er#) • OM#
= (v# ^ σ(O)#) • OM# - K×er# • OM#
=
Sachant que
Montrer, lorsque K<0, que la trajectoire est une conique
Tracer Ep_eff(r) dans le cas d’une force Newtonienne répulsive, dire si c’est un état lié ou de diffusion
Sachant que
Montrer, lorsque K>0, que la trajectoire est une conique
Déterminer le graphique de l’énergie potentielle effective dans le cas d’une force newtonienne attractive.
Sachant que ce graphe représente l’énergie potentielle effective pour d’une force Newtonienne attractive, déterminer et représenter la nature de la trajectoire, en fonction du signe de l’énergie mécanique, et déterminer rm et rM lorsqu’ils existent
Montrer que p=a×(1 - e²) et que, lorsque e«1, vM/vm ≈ 1 + 2e
D’une part, 2p/(1 - e²) = rm + rM = 2a
Donc, p=a×(1 - e²)
Montrer que v-∞ = v+∞
On introduit L# = v# ^ σ(O)# - K×er# = cste#, et on suppose v-∞=v+∞, que l’on note v∞
Déterminer que tan(φ/2) = K/m.C.v∞, indication : L-∞# = L+∞#
On écrit l’égalité d’une des deux composantes et on utilise les formules trigo :
- 1+cos(φ) = 2×cos(φ/2)²
- 1-cos(φ) = 2×sin(φ/2)²
- sin(φ) = 2×sin(φ/2)×cos(φ/2)
On obtient tan(φ/2) = K/m.C.v∞
Sachant que tan(φ/2) = K/m.C.v∞, déterminer C en fonction de b et v∞ puis reporter dans tan(φ/2), commenter
Montrer que le mouvement est uniforme et qu’il respecte la loi troisième loi de Kepler
Montrer que Em = - Ec
Déterminer la période synodique d’une des planètes par rapport aux périodes sidérales de la Terre et de cette même planète
On sera re en face lorsque la Terre aura mis un tour d’avance
Donner puis justifier l’expression de la vitesse de libération
Donner la condition pour que l’observateur voit le satellite comme fixe. En déduire l’expression de h en fonction de Ω_T
Avec h la hauteur du satellite
Que vaut F_G / F_e dans la cas d’un proton et un électron (modèle de Bohr de l’atome H), que peut-on en conclure
≈ 10^-40, donc F_G est négligeable devant F_e
Exprimer θ• et en déduire v
Déterminer que Em = -E_c = ?
Que signifie-t-il de dire qu’une grandeur est quantifiée ?
Elle ne peut prendre d’une plage de valeurs discrètes
On rappelle que la trajectoire de l’électron autour du proton est un cercle
Montrer que : (en donnant les valeurs de r1 et E1)
-13,6eV*
Le n.h = …√(…) vient d’un RFD
L’expression de Em vient de Ep/2
Méthode :
- Exprimer v à partir de σOz
- Faire un RFD
Quelle est la signification de l’Em d’un électron dans le modèle de Bohr, expliquer son signe
Elle est négative car on est dans un état lié (l’électron est sous l’emprise du proton), si on apporte cette énergie à l’électron son énergie devient positive et il passe à un état de diffusion : il se sépare du neutron et on a un ion
Que vaut l’énergie du photon émis par un électron qui passe d’un couche n à une couche p, p<n
C’est l’énergie que perds l’électron : h×ν_n;p = En - Ep
Montrer que 1/λ_n;p = R_H × (1/p² - 1/n²), avec R_H = - E1/h×c,
Donner un ordre de grandeur de R_H
Donner l’expression de Em en fonction de K et a puis la justifier
Sachant que p=a(1-e²)
Apres on ecrit ~vA = vA + ΔvA et c’est bon
Déterminer ~v1 = v1 + Δv1 en fonction de r1, r2, G et MT
Déterminer v2
En utilisant la conservation de l’énergie mécanique, avec r• = 0 aux deux extrémités
Quelle est la caractéristique du mouvement à force centrale ?
Il est plan
Donner les trois lois de Kepler
Définir la première vitesse cosmique et donner son expression, donner son ordre de grandeur pour la Terre
C’est la vitesse minimale qu’il faudrait théoriquement communiquer à un corps au départ d’un astre pour le satelliser au plus près de ce dernier sur une orbite circulaire.
Pour la Terre elle vaut environ 8 km.s-1
Définir la deuxième vitesse cosmique (vitesse de libération) et donner son expression, donner son ordre de grandeur pour la Terre
C’est la vitesse qu’il faudrait théoriquement fournir à un objet en le projetant depuis la surface d’un astre, pour qu’il échappe totalement à l’attraction gravitationnelle et parte à l’infini.
Sur Terre elle vaut à peu près 11km.s-1
Donner l’expression de l’accélération dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme à force centrale
C’est l’accélération radiale : -v²/r × er#
Donner l’expression de l’énergie mécanique dans le cas d’un mouvement à force centrale circulaire, en fonction des autres énergies puis plus précisément dans le cas de la gravitation
Exprimer la troisième loi de Kepler dans le cas d’un mouvement circulaire soumis uniquement à la force gravitationnelle
Découle d’un RFD
Que peut-on dire de la vitesse dans un mouvement à force centrale circulaire ? Plus précisément dans le cas de la gravitation ?
Elle est constante (le mouvement est uniforme) et :
Donner l’énergie mécanique dans le cas de la gravitation
Ep/2 : -K/2.r
Exprimer la troisième loi de Kepler dans le cas d’un mouvement elliptique soumis uniquement à la force gravitationnelle
(1+e)/(1-e) ~ ?
e«1
1 + 2×e
Si on a une force de frottements atmosphériques de la forme F# = -α×Ms×v×v#, déterminer l’unité de α
m-1 (F/m.v²)
Que se passe-t-il lorsqu’on ajoute des frottements atmosphériques pour un satellite en orbite autour de la Terre (qualitativement), pour v puis pour r
Em diminue, donc Ec augmente (Em=-Ec), donc v augmente.
Or, v=√(G.Mt/r), donc r diminue
En déduire l’expression de Em(t) et v(t)
Puisqu’elle varient très lentement, on garde les mêmes formules mais avec r(t) au lieu de r car r n’est plus constant
Déterminer que r=r0(1-t/τ), en précisant l’expression de r0/τ
Qu’appelle-t-on rayonnement d’accélération ?
P(t) est la puissance des rayonnements émis.
Déterminer r(t)³ = r0³ × (1 - t/τ), en précisant l’expression de r0³/τ, pour un électron et un proton
Donner les expressions de Em0 et v0, sachant que c’est un cercle
Rappeler la condition sur v pour libérer le satellite de l’emprise terrestre, sachant qu’on augmente v d’un coup, de manière discontinue
Calculer v∞
On procède en deux étapes : premièrement on diminue la vitesse de v0 à v0/2 d’un coup, cela nous donne une trajectoire elliptique de demi-grand axe a, déterminer a, donner également rA et rP
Sachant qu’à l’apogée, v=v0/2
Déterminer ~v∞, la vitesse à l’infini
Donner l’expression de σO(M)# dans le cas d’une force centrale
σO(M)# = m.C.ez#
L# est constant.
Déterminer que tan(Φ/2)=-G.Ms/C.v∞ en écrivant l’égalité L-∞# = L+∞#
Dans le cas d’une trajectoire parabolique, que vaut v∞ ?
Justif
Comment passer de r(θ) à θ(t) dans un mouvement à accélération centrale
On passe par la loi des aires, on remplace r par son expression et on mets les intégrales
Déterminer p
Déterminer vS et donner une approximation de sa valeur, sachant que l’Em est nulle
Donc, vS ≈ 60 km.s-1
Déterminer C, sachant que rS=r0/2 et vS=2.v0
Déterminer v0
Déterminer C puis Em
A quelle condition l’orbite est-elle stable ? Déterminer pour quelles valeurs de r elle est stable
Que vaut 1al ?
1al=10^16 m
Que vaut 1 parsec en al ?
1 parsec = 3,26 al
Déterminer r_min
Quelle est l’altitude d’un satellite en orbite géostationnaire ?
36 000 km
Que vaut l’accélération d’un objet en mouvement circulaire uniforme ?
-v²/R × ur#
Que valent les énergies mécanique, cinétique et potentielle d’un objet en translation circulaire ou elliptique soumis à une force Newtonienne ?
Comment retrouver ?
Exprimer la troisième loi de Kepler dans le cas d’un mouvement circulaire
Donner la norme de la vitesse dans un mouvement circulaire uniforme
v = √(GM/r), découle directement du RFD
Que vaut l’énergie mécanique dans un mouvement elliptique ?
Exprimer la troisième loi de Kepler dans un mouvement elliptique
Quelle est l’expression de g0 ?
g0 = GM_T/(R_T)²
Champ de pesanteur terrestre au sol
Exprimer v en fonction de K, r et m, dans un mouvement circulaire ?
v = √(K/r.m)
Comment déterminer sur un graphe d’Ep(r) d’une force centrale pour quelles valeurs de r la force est attractive et pour lesquelles elle est répulsive ?
On a F(r) = -dEp/dr,
Donc, si Ep(r) est décroissante, F(r) est positive et la force est répulsive
Et, si Ep(r) est croissante, F(r) est négative et la force est attractive
Donner la formule qui défini le travail d’une force
δW(F#) = F# • dl#
Comment re démontrer l’expression de la vitesse d’un satellite ?
RFD, avec a = -v²/R
Doit-on redémontrer v = √(G×MT/R) à chaque fois qu’on l’utilise ?
Oui !
À quoi faut-il faire attention lorsqu’on écrit l’énergie potentielle dont dérive la force gravitationnelle ?
Il ne faut pas oublier d’ajouter un «- » devant, car FG# = -grad#(E)
Pourquoi la conservation du moment cinétique d’un mouvement à force centrale est-elle logique ?
On a dσ#/dt = Σm#(F#) = 0…
Comment montrer en deux secondes qu’on a Em = - Ec = Ep/2 pour un mouvement circulaire à force centrale ?
- RFD avec -v²/R pour l’accélération
- reporter dans l’expression de Em
