Planos tangentes y aproximaciones lineales Flashcards
¿Que pasa con la grafica de una superficie (DE UNA FUNCION EN DOS VARIABLES DERIVABLE) cuando nos acercamos mucho a un determinado punto?
Esta grafica comienza a parecerse cada vez mas a un plano
Entonces, como podemos aproximar esa funcion en ese determinado valor con otra funcion pero lineal?
La podemos aproximar mediante un plano (funcion lineal de dos variables) que sea tangente en ese punto
Que seria el plano tangente?
Seria el plano que contiene las rectas tangentes a las curvas C1 Y C2, es decir, las que se forman al cortar la superficie con los planos y=y0, x=x0 y que pasa por el punto P (por el cual tambien pasan C1 y C2)
Se podria decir que el plano tangente contiene unicamente a esas dos rectas entonces?
No, contiene a todas las rectas tangentes a la superficie que pasen por el punto P
Extra:
Reformulando la definicion de plano tangente:
El plano tangente a S en P consiste de todas las tangentes posibles en P a curvas que quedan en S y pasan por P. El plano tangente en P es el plano que más se aproxima a la superficie S cerca del punto P
Como formamos el plano tangente?
Z-Z0=Fx(X0,Y0)(X-X0)+Fy(X0,Y0)(Y-Y0)
Teniendo en cuenta lo que se meciono sobre que al acercarnos a la superficie esta se parece a un plano, si lo que hacemos es acercarnos a un mapa de contorno de la func. en ese punto (curvas de nivel), que pasaria?
Estas curvas de nivel comenzarias a parecerse cada vez mas a una recta, quedando en el mapa de contorno varias lineas rectas paralelas y separadas uniformemente
(Ver graficos pagina 917)
Que es una linealizacion de una funcion de dos variables en el punto (x,y)
Se llama linealizacion a la funcion L(x,y)=P (siendo P la ecuacion del plano tangente en ese punto)
Luego, ¿Que es la aproximacion lineal de una funcion de dos variables en el punto x,y?, ¿Cual es su diferencia con la linealizacion?
La aproximacion lineal (o del plano tangente) es f(x,y)≈P (siendo P la ecuacion del plano tangente en ese punto) y basicamente al introducir las coordenadas nos devuelve un valor muy cercano al que toma la funcion en ese punto)
CREO que la diferencia radica en que la linealizacion es la funcion f(x,y)=P mientras que la aproximacion es el resultante de poner los valores en la linealizacion (es decir, “el resultado”)
¿Que es una funcion diferenciable?
Una función diferenciable es una para la cual la aproximación lineal es una buena aproximación cuando (x, y) está cerca de (a, b), en otras palabras, el plano tangente se aproxima a la gráfica de f muy cerca al punto de tangencia
(ver definicion formal en la pagina 918)
¿Como podemos demostrar que una funcion es diferenciable? (la forma mas sencilla)
Si las derivadas parciales fx y fy existen cerca de (a, b) y son continuas en (a, b), entonces f es diferenciable en (a, b)
Si sobre la grafica de una superficie nos movemos de un punto A hasta un punto B, que va a ser el diferencial de z (dz) y que va a ser delta z (Δz)?
ΔZ es la variacion de la altura de la grafica entre el punto A y B, mientras que el diferencial es la diferencia de altura del PLANO TANGENTE entre el punto A y B
En el caso de una funcion de dos variables, dx y dy son variables dependientes o independientes?, ¿Porque?
Tanto dx como dy son variables independientes ya que pueden tomar cualquier valor: representan cambios independientes en las variables x e y, respectivamente.
Como se forma el diferencial de z o diferencial total (dz o df)?
dz=Fx(x,y)dx+Fy(x,y)dy
Nota:
Gracias a esta definicion de diferencial, podemos escribir la ecuacion para la aproximacion lineal como f(a,b)+dz
Ver figura 7 pagina 920
