Minimos y maximos Flashcards
Tecnicamente, ¿cuando hay un maximo o minimo relativo en una funcion de dos variables?, ¿y absoluto?
Se dice que F(x,y) tiene un maximo local en f(a,b) si
f(a,b) > f(x,y) para todos los puntos dentro de un disco con centro (a,b), o tiene un minimo local si f(a,b) < f(x,y) para todos los puntos en ese disco
Luego, es absoluto si las desigualdades anteriores se cumplen para todos los puntos (x, y) en el dominio de f
¿Que pasa con las derivadas parciales en el punto si este es un maximo o minimo en (a,b) (sea absoluto o relativo)?
Fx(a,b)=0 y Fy(a,b)=0
¿Como podemos relacionar ese hecho con la idea de plano tangente?
Si hacemos Fx(a,b)=0 y Fy(a,b)=0 en la ecuación de un plano tangente obtenemos z = z0, por lo que, si la gráfica de F tiene un plano tangente en un máximo local o en un mínimo local, entonces el plano tangente debe ser horizontal.
¿En que casos se considera a un punto como critico?, ¿Que implicancia hay entre este concecpto y el de maximo/minimo local?
Se considera a un punto como critico en dos ocasiones:
1- Cuando ambas derivadas parciales Fx y Fy son iguales a 0 en ese punto
2- Cuando una de esas derivadas, ya sea Fx o Fy, NO EXISTE en el punto
Luego, la implicancia es: si en (a,b) hay un maximo o minimo, entonces ese es un punto critico, lo cual NO IMPLICA que si hay un punto critico, haya un maximo/minimo
¿Que pasa con los maximos o minimos de una funcion, si esta es una silla de montar?
En dicho caso, al sacar sus derivadas parciales vemos que el unico punto critico es el “centro” de la superficie, pero si miramos la grafica, vemos que si bien, viniendo desde un sentido (por ejemplo por el eje de las x) tenemos un maximo, si venimos perpendicularmente, tenemos un minimo, por lo cual, ese punto critico NO ES NI MAXIMO NI MINIMO
Nota: este punto se conoce como silla de montar
Nota:
A la hora de buscar puntos criticos, si en ambas derivadas me quedan x e y, hay que buscar despejar una de las variables en una de las derivadas, y reemplazarla en la otra
¿Como sabemos si un punto critico es maximo, minimo o silla de montar?
Para ello necesitamos las segundas derivadas, y luego realizamos el siguiente calculo:
D=Fxx*Fyy-(Fxy)^2
y en base a su resultado debemos clasificar:
A) Si D>0 y fxx(a, b)>0, entonces f (a,b) es un mínimo local
B) Si D>0 y fxx(a,b)<0, entonces f (a,b) es un máximo local
C) Si D<0, entonces f (a,b) no es un máximo local ni un mínimo local
D) Si D=0, la prueba no proporciona información: f podría tener un máximo o minimo o punto silla
¿Que metodo mas sencillo puedo utilizar para recordar esta formula?
La puedo recordar como un determinante:
|Fxx Fxy|
|Fyx Fyy|
Si tengo las curvas de nivel de una funcion, y un punto critico, ¿como puedo evaluar graficamente que pasa alli?
-Si el punto esta donde se “cruzan” (recordar que es a distintos niveles) dos curvas
-Si al rededor del punto hay ovalos cada vez mas grandes, significa que todos los valores al rededor del mismo son crecientes/decrecientes (me falta diferenciar cuando es uno u otro) en la direccion mas amplia del ovalo
Nota: ver grafica y anotacion de la pagina 950
¿Como puedo utilizar el contenido de maximos y minimos locales para hallar valores maximos de distancia, volumen, area, entre otros?
Para ello debo plantear la funcion a maximizar (por ejemplo para un volumen maximo, f=xyz) y luego debo hallar alguna otra ecuaciones que me permita despejar z para reemplazarla en la anterior (si me dan el area total, podria plantear la funcion area y despejar z)
Asi, obtengo una funcion de dos variables que representa lo que quiero maximizar, y luego solo resta encontrarle el maximo o minimo (segun lo que busque) y con este punto encontrar el valor
Nota: tengo que tener cuidado con los puntos criticos, por ejemplo, que no me hagan 0 la funcion original, o si hay mas de 1 PC, revisar bien cual es (ver pags 950-951)
Entrando en cuestiones de minimos y maximos ABSOLUTOS, ¿Que es un CONJUNTO cerrado y un punto frontera?
Un conjunto cerrado en R2 es uno que contiene todos sus puntos frontera:
Un punto frontera de D es un punto (a,b) tal que todo disco con centro (a,b) contiene puntos en D y también puntos que no están en D.
Para que un conjunto sea cerrado, ¿es necesario que Absoluramente todos los puntos sobre la curva limite esten incluidos o que excepciones hay que tener en cuenta?
Para que un conjunto sea cerrado, TODOS LOS PUNTOS de la curva limite deben estar incluidos, si un punto en la curva límite se omitiera, el conjunto no sería cerrado.
Nota:
Ejemplo de conjunto cerrado:
D={(x,y)|x^2+y^2 =< 1} consiste en todos los puntos sobre y dentro de la circunferencia x^2+y^2 = 1
¿Que es un conjunto acotado?
Un conjunto acotado en !2 es uno que está contenido dentro de algún disco: en otras palabras, su extensión es FINITA.
Ahora, ¿Cuales son las condiciones para que podamos afirmar que una funcion tiene minimo y maximo ABSOLUTO?
Si f es continua sobre un conjunto D CERRADO Y ACOTADO en R2, entonces f alcanza un valor máximo absoluto f(x1,y1) y un valor mínimo absoluto f (x2,y2) en algunos puntos (x1, y1) y (x2, y2) pertenecientes a ese conjunto D
¿Como calculo estos valores maximos/minimos absolutos?
Para encontrar los valores máximo y mínimo absolutos de una función continua f sobre un conjunto cerrado y acotado D:
1. Se calculan los valores de f en los puntos críticos de f en D.
2. Se determinan los valores extremos de f sobre la frontera de D.
3. El más grande de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto; el más pequeño de estos valores es el valor mínimo absoluto.
Nota:
Cuando tengo que evaluar los extremos, lo que debo hacer es agarrar los extremos de la figura que se forma y reemplazar uno de los valores de su coordenada (ya sea el valor X o el valor Y, y reemplazarlo en la funcion original, quedando asi, de una sola variable.
Finalmente, a esa funcion que me queda, veo cual es su valor minimo y su valor maximo entre los puntos de la variable que contiene (ver ejemplo pagina 952)
